Lgica Proposicional Tableaux semnticos Sistema de Tableaux Semnticos

Lógica Proposicional Tableaux semânticos

Sistema de Tableaux Semânticos n n n Alfabeto da Lógica Proposicional Conjunto de fórmulas da Lógica Proposicional Conjunto de regras de dedução (ou regras de inferência)

R 1=H^G H G R 2=Hv. G R 3=H G H H R 4=H G R 5= H H H^G H^ G R 7= (Hv. G) H G G G R 6= (H^G) H G R 8= (H G) R 9= (H G) H G H^ G

Características do Método de Tableau Semântico n Baseado em árvores n n Ramos são decomposições de H em subfórmulas ou seja, possibilidades de interpretações da fórmula Cada ramo representa uma ou mais interpretações Adequado para implementação!

Idéia Básica de Tableaux Semânticos n n n Concebido por E. Beth (1954) e Jaako Hintikka (1955) Cada interpretação representa um mundo possível Interpretação – caminho da raiz da árvore a uma folha “Semântica dos Mundos Possíveis” Buscam admissões de interpretações

Características do Método de Tableau Semântico (cont. ) n n n Sistema de refutação Prova por negação ou absurdo Para provar H supõe-se inicialmente, por absurdo, H As deduções desta fórmula levam a um fato contraditório (ou absurdo) Então H é verdade!!

Construção de um Tableau n n n Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(Av. B), (A^ B)} 1. Av. B 2. A^ B 3. A B R 2, 1. 4. A A R 1, 2. 5. B B R 1, 2.

Construção do mesmo Tableau mais curto n Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(Av. B), (A^ B)} 1. Av. B 2. A^ B 3. A R 1, 2. 4. B R 1, 2. n 5. A n n B R 2, 1.

Heurística para aplicação de regras para tableau n Advindas do sistema de tableau analítico n n n “First Order Logic”, R. Smullyan (1970) Adiar a bifurcação Aplicar primeiro as regras que não bifurquem n Árvore menor => menos interpretações a serem analisadas

Construção de um Tableau Semântico – Definição (recursiva) n n Dado o conjunto de fórmulas {A 1, A 2, . . . , An} A seguinte árvore, com um ramo, é um tableau associado a {A 1, A 2, . . . , An} n n n 1. A 1 2. A 2, . . . n. An Se Tree é um tableau associado a {A 1, A 2, . . . , An}, então Tree* (Tree submetida a alguma das regras R 1 a R 9) também é

Exemplo de Construção de um Tableau Semântico n n {(A B) (Av. B), (C A)} Tree 1: n n n 1. A B 2. (Av. B) 3. (C A)

Exemplo de Construção de um Tableau Semântico (cont. ) n n {(A B) (Av. B), (C A)} Tree 2 (=R 7 aplicada a Tree 1): n n n 1. 2. 3. 4. 5. A B (Av. B) (C A) A R 7, 2. B R 7, 2.

Exemplo de Construção de um Tableau Semântico (cont. ) n n {(A B) (Av. B), (C A)} Tree 3 (=R 3 aplicada a Tree 2): n 1. 2. 3. 4. 5. n 6. A n n A B (Av. B) (C A) A R 7, 2. B R 7, 2. B R 3, 1.

Exemplo de Construção de um Tableau Semântico (cont. ) n n {(A B) (Av. B), (C A)} Tree 4 n n R 8 aplicada a Tree 3 O ramo da esquerda contém B e B n Como essa informação pode ser útil? n n n n 1. 2. 3. 4. 5. A B (Av. B) (C A) A B 6. A 7. C 8. A B C A R 7, 2. R 3, 1 R 8, 3.

Ramo aberto e fechado n n Ramo fechado – contém uma fórmula B e sua negação B, ou o símbolo de verdade false Tableau fechado – não contém ramos abertos

Prova e Teorema em Tableaux Semânticos n Uma prova de H usando tableaux semânticos é. . . n n n Um tableau fechado associado a. . . H! Neste caso, H é um teorema do sistema de tableaux semânticos

Exemplo de Prova em Tableaux Semânticos n n Como provar H= ((P Q)^¬(P Q)^( P))? ? Gerar um tableau fechado para H: n ( ((P Q)^¬(P Q)^( P)))

n n n 1. ( ((P Q)^¬(P Q)^( P))) 2. (P Q)^¬(P Q)^( P) R 5, 1. 3. P Q 4. ¬(P Q) 5. P 6. P 7. P Q fechado n 8. P^ Q P^Q n 9. P P n 10. Q Q fechado n R 1, R 5, 2. 2. 2. 5. R 3, 3. R 9, 4. R 1, 8.

n n n 1. ((P Q)v P)) 2. (P Q) 3. P 4. P^ Q 5. P 6. Q aberto P^Q P Q fechado

Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos n n Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses b={H 1, H 2, . . . Hn}, então H é conseqüência lógica em tableaux semânticos de b se existe uma prova, usando tableaux semânticos de n (H 1^H 2^. . . ^Hn) H

Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos n Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses b={H 1, H 2, . . . Hn} em tableaux semânticos, diz-se que: n b├ H ou n {H 1, H 2, . . . Hn}├ H

Exemplo de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos n n n Guga é determinado Guga é inteligente Se Guga é determinado, ele não é um perdedor Guga é um atleta se é amante do tênis Guga é amante do tênis se é inteligente “Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima? ?

Solução n n n Provar H=(P^Q^((P^R) P 1)^(Q 1 R)^(Q Q 1)) P 1 Mostrando que H é absurdo (P^Q^((P^R) P 1)^(Q 1 R)^(Q Q 1)) P 1) gera um tableau fechado?

Conjunto insatisfatível n n n Como provar que um conjunto de fórmulas é insatisfatível? Por exemplo: b={ Av. B, (Bv C), C D, ( Av. D)}

Conjunto insatisfatível (cont. ) n n b é insatisfatível sse não existe I tal que I[ Av. B]=I[ (Bv C)]=I[C D]=I[ ( Av. D)]=T n I, I[( Av. B)^ (Bv C)^(C D)^ ( Av. D)]=F I, I[ (( Av. B)^ (Bv C)^(C D)^ ( Av. D))]=T n Portanto para provar que b é insatisfatível n n Provar que (( Av. B)^ (Bv C)^(C D)^ ( Av. D)) é tautologia

Conjunto insatisfatível (cont. ) n b ={ Av. B, (Bv C), C D, ( Av. D)} é insatisfatível? n n Provar que (( Av. B)^ (Bv C)^(C D)^ ( Av. D)) é tautologia Vimos na parte de semântica (Validade e factibilidade) n n H é válida D H é contraditória Em tableaux semânticos n Gerar um tableau fechado para ( (( Av. B)^ (Bv C)^(C D)^ ( Av. D)))

Exemplo de conjunto insatisfatível n n n Olhando o tableau de { Av. B, (Bv C), C D, ( Av. D)}, quais outros conjuntos de fórmulas são insatisfatíveis? { Av. B, (Bv C), C D} { Av. B, (Bv C), ( Av. D)} { Av. B, C D, ( Av. D)} { (Bv C), C D, ( Av. D)}

Tableaux Completamente Abertos n n Como provar que H é tautologia? E se eu construir um tableau direto a partir de H (e não de H)? n n n Ex: H=(Av A)^(A B) Construir os tableaux de H e de H O que um tableau completamente aberto nos diz? ?

Tableaux Completamente Abertos (cont. ) n n Nada!! Ex: G=(Av A)^(B B) Construir os tableaux de G e de G Conclusões?

Conclusões n Dada uma fórmula da lógica proposicional H n n n H é tautologia D Tableau associado a H é fechado H é contraditória (insatisfatível) D H é tautologia D Tableau associado a H é fechado H é refutável D Tableau associado a H é aberto (não necessariamente aberto completamente)

Exercícios de Formalização n A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sextafeira. (C, S, A)

Solução n A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira. C: A proposta de auxílio está no correio. S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira. A: Os árbitros analisarão a proposta. {C, S A, C S} |-- A

Exercício n Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.

Exercício n Se hoje é Quinta-feira, então amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sextafeira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.