Lgica Proposicional Mtodos para determinao de validade de

Lógica Proposicional Métodos para determinação de validade de fórmulas

Métodos para determinação de validade de fórmulas n n n Tabela verdade Árvore semântica Método da negação ou absurdo

Conseqüência Lógica n n n B é conseqüência lógica de A se toda valorização v que satisfaz A também satisfaz B B pode ser satisfeito por valores que não satisfazem A Podemos usar: A implica logicamente em B

Conseqüência Lógica Se eu ganhar na loteria, serei rico. Eu ganhei na Loteria. Logo, sou rico. G = Ganhar na loteria R = Ser rico G V V F F R V F G R V F V V (G R)^G V F F F

Tabelas-verdade n n n Método exaustivo Criar uma valorização para cada subfórumla Descobrir se é válida(tautologia)/satisfazível/ intetisfazível(contraditória)/falsificavél

Tabelas-verdade n Tabelas verdade associada a fórmulas n n Como fazer para obter a tabela verdade associada à fórmula H=(( P)v. Q) (Q^P)? Colunas intermediárias: P, Q, P, Pv. Q e Q^P

Tabelas-verdade n Tabelas das Principais Operações do Cálculo Proposicional Negação n Conjunção n

Tabelas-verdade n Tabelas das Principais Operações do Cálculo Proposicional Disjunção n Condicional n

Tabelas-verdade n n Tabelas das Principais Operações do Cálculo Proposicional Bi-Condicional

Árvore 1 2 3 4 Nós - números Raiz – 1 Folhas – 2, 6, 7, 8 6 5 7 8

Método da árvore semântica n n Usa a estrutura de árvore para determinar a validade de uma fórmula Determinar: (P Q) (( Q) ( P))

Método da árvore semântica n n n n Nó 2: H=(P Q) (( Q) ( P)) T T T FT Nó 3: H=(P Q) (( Q) ( P)) FT T T TF 1 I[P]=T 2 I[P]=F 3 T

Método da árvore semântica n n n Nó 4: H=(P Q) (( Q) ( P)) T T FT Nó 5: H=(P Q) (( Q) ( P)) TF F T TF T FT 1 I[P]=T I[P]=F 1 I[Q]=T 4 T 2 I[Q]=F T 5 3 T

Método da negação ou absurdo n Para provar que H é uma tautologia n Supõe-se inicialmente, por absurdo que n n n H NÃO é uma tautologia As deduções desta fórmula levam a um fato contraditório (ou absurdo) Portanto, a suposição inicial é falsa e: n n H é uma tautologia (A não-validade de H é um absurdo)

Exemplo do método da negação ou absurdo n Lei da transitividade: n n ((P Q)^(Q R)) (P R) Por absurdo: n n n ((P Q)^(Q R)) (P R) F I[(P Q)^(Q R) ]=T e I[(P R)]=F ((P Q)^(Q R)) (P R) T T T F F

Exemplo do método da negação ou absurdo (cont. ) n n n n ((P Q)^(Q R)) T T T T F TF Portanto: ((P Q)^(Q R)) n n Então, sempre (P F T F R) F F F (P R) F não pode existir! T (tautologia!)

Aplicações do método da negação ou absurdo n Fórmulas com o conectivo n Só existe uma possibilidade de absurdo n n I[Antecedente]=T e I[Conseqüente]=F Fórmulas com o conectivo ^ n Também 1 só forma: I[A]=T e I[B]=T

Ausência de absurdo n Se uma asserção é negada, mas o absurdo não aparece, n n Nada se pode concluir sobre a veracidade da asserção Exemplo: n n n (P Q) (( P) ( Q)) Por absurdo: Possibilidade 1: T Possibilidade 2: F F F T

Exemplo de Ausência de absurdo n Exemplo: H= (P Q) (( P) ( Q)) n n n Possibilidade 1: T FTT Possibilidade 2: F TFF F F TF F FT T FT F TF Não se pode concluir que H é tautologia n Se I[P]=F e I[Q]=T, então I[H]=F

Exercício do método de negação ou absurdo n H=(P^Q) (( Pv. Q)) é tautologia? n Só se H levar a absurdo em TODAS as possibilidades