Lgica Proposicional Mtodos para determinao de validade de

Lógica Proposicional Métodos para determinação de validade de fórmulas

Métodos para determinação de validade de fórmulas n n n Tabela verdade Árvore semântica Método da negação ou absurdo

Árvore 1 2 3 4 Nós - números Raiz – 1 Folhas – 2, 6, 7, 8 6 5 7 8

Método da árvore semântica (cont. ) n n n n Nó 2: H=(P Q) (( Q) ( P)) T T T FT Nó 3: H=(P Q) (( Q) ( P)) FT T T TF 1 I[P]=T 2 I[P]=F 3 T

Método da árvore semântica n n n n Nó 4: H=(P Q) (( Q) ( P)) T T FT Nó 5: H=(P Q) (( Q) ( P)) TF F T TF T FT Satisfazível? Contraditória? 1 I[P]=T I[P]=F 1 I[Q]=T 4 T 2 I[Q]=F T 5 3 T

Método da negação ou absurdo n Acabamos de provar a lei da contradição: n n n (P Q) (( Q) ( P)) e portanto P a Q D Q a P, ou seja: Há 2 formas de demonstrar P Q: n n Demonstrar P a Q normalmente Demonstrar ( Q) a ( P) n n Método da negação ou absurdo, que é um Método geral de demonstração

Método da negação ou absurdo (cont. ) n Para provar que H é uma tautologia n Supõe-se inicialmente, por absurdo que n n n H NÃO é uma tautologia As deduções desta fórmula levam a um fato contraditório (ou absurdo) Portanto, a suposição inicial é falsa e: n n H é uma tautologia (A não-validade de H é um absurdo)

Exemplo do método da negação ou absurdo n Lei da transitividade: n n ((P Q)^(Q R)) (P R) Por absurdo: n n n ((P Q)^(Q R)) (P R) F I[(P Q)^(Q R) ]=T e I[(P R)]=F ((P Q)^(Q R)) (P R) T T T F F

Exemplo do método da negação ou absurdo (cont. ) n n n n ((P Q)^(Q R)) T T T T F TF Portanto: ((P Q)^(Q R)) n n Então, sempre (P F T F R) F F F (P R) F não pode existir! T!!! (tautologia!)

Exercícios n n n Por árvore semântica e por negação: ( H) H (P Q) (( P) ( Q))

Aplicações do método da negação ou absurdo n Demonstração da contradição n n Para provar que H é contraditória Supõe-se que H é satisfazível n n Fórmulas com o conectivo n Só existe uma possibilidade de absurdo n n Existe I[H]=T I[Antecedente]=T e I[Conseqüente]=F Fórmulas com o conectivo ^ n Também 1 só forma: I[A]=T e I[B]=T

Ausência de absurdo n Se uma asserção é negada, mas o absurdo não aparece, n n Nada se pode concluir sobre a veracidade da asserção Exemplo: n n n (P Q) (( P) ( Q)) Por absurdo: Possibilidade 1: T Possibilidade 2: F F F T

Exemplo de Ausência de absurdo n Exemplo: H= (P Q) (( P) ( Q)) n n n Possibilidade 1: T FTT Possibilidade 2: F TFF F F TF F FT T FT F TF Não se pode concluir que H é tautologia n Se I[P]=F e I[Q]=T, então I[H]=F

Exercício do método de negação ou absurdo n H=(P^Q) (( Pv. Q)) é tautologia? n Só se H levar a absurdo em TODAS as possibilidades