Lgica Proposicional Formas Normais e Resoluo Formas normais

Lógica Proposicional Formas Normais e Resolução

Formas normais e { , v, ^} n n n Um literal é um símbolo proposicional ou sua negação Um bom conjunto completo é { , v, ^} Formas normais são obtidas a partir desse conjunto de conectivos

Forma normal disjuntiva n n Uma fórmula está na forma normal disjuntiva (fnd ou DNF, em inglês) se é uma disjunção de conjunções de literais F é da forma F 1 v F 2 v. . . v Fn, onde n n n Fi é uma conjunção (da forma A 1 ^ A 2 ^. . . ^ An ) e Ai é um literal Ex: H=( P^Q) v ( R^ Q^P) v (P^S)

Forma normal conjuntiva n n Uma fórmula está na forma normal conjuntiva (fnc ou CNF, em inglês) se é uma conjunção de disjunções de literais F é da forma F 1 ^ F 2 ^. . . ^ Fn, onde n n n Fi é uma disjunção (da forma A 1 v A 2 v. . . v An ) e Ai é um literal Ex: G=( Pv. Q) ^ ( Rv Qv. P) ^ (Pv. S)

Obtenção de formas normais n Observe que H e G são parecidos n n n H=( P^Q) v ( R^ Q^P) v (P^S), DNF G=( Pv. Q) ^ ( Rv Q v. P) ^ (Pv. S), CNF Para obtê-las a partir de fórmulas quaisquer usam-se algoritmos duais n Os mesmos, trocando-se T por F

Algoritmos usando leis (repetidamente) n 1 -Leis de eliminação n n n 2 -Lei da negação n n ( H) H 2 -Leis de De Morgan n P Q = ( Pv. Q) P Q = (P Q)^(Q P) (Pv. Q) = P ^ Q (P^Q) = P v Q 3 -Leis distributivas: n n F v (G^H) = (Fv. G) ^ (Fv. H) F ^ (Gv. H) = (F^G) v (F^H)

Exercícios n Obter DNF de (P v Q) R n n = (Pv Q) v R (eliminação de ) = ( P ^ ( Q)) v R (De Morgan) = ( P ^ Q) v R (negação) Obter CNF de (P^(Q R)) S

Exercícios de obtenção de formas normais n n Obter DNF de (P ^Q) R Obter CNF de (P ^Q) R

Notação na forma de conjuntos n n H=(Pv Qv. R)^(Pv Q)^(Pv. P) Representação na forma de conjuntos: H={[P, Q, R], [P, Q], [P]} Note que n n (Pv Qv. R) = [P, Q, R] (Pv. P)=[P] n Não é necessário representar duplicidade na forma de conjuntos

Cláusulas e literais complementares n Cláusula em lógica proposicional é uma disjunção de literais n n n Usando a notação de conjuntos: C 1={P, Q, R}, C 2={P, Q}, C 3={P} Dois literais são complementares quando um é a negação do outro

Resolvente de 2 cláusulas n Supondo 2 cláusulas C 1={A 1, . . . , An} e C 2={B 1, . . . , Bn}, com literais complementares n n n A, um conjunto de literais em C 1, tal que -A, um conjunto de literais complementares a A, estão em C 2 Resolvente de C 1 e C 2: Res(C 1, C 2)=(C 1 -A)U(C 2 - -A) Res(C 1, C 2) pode ser {} n Resolvente vazio ou trivial

Exemplo de resolvente n n C 1={P, Q, R} e C 2={ P, R} Res (C 1, C 2) = { Q, R}, que também é uma cláusula D 1={P, Q} e D 2={ P, Q} Res (D 1, D 2) = {}, que também é uma cláusula

Sistema com Resolução n n n Alfabeto da Lógica Proposicional Conjunto de cláusulas da Lógica Proposicional A regra de resolução

Regra de Resolução n Supondo 2 cláusulas C 1={A 1, . . . , An} e C 2={B 1, . . . , Bn}, a Regra de Resolução aplicada a C 1 e C 2 é: n n Deduzir Res(C 1, C 2) Para verificar satisfabilidade n n Empregar várias vezes até obter a cláusula vazia Expansão por resolução

Expansão por resolução n n n n {[ P, Q, R], [P, R]} 1. [ P, Q, R] 2. [P, R] 3. [P, R] 4. [Q, R] Res (1, 2) 5. [Q, P] Res (3, 4) 6. [P] Res (2, 3) (Não conseguimos obter a cláusula vazia. . . )

Exemplo de expansão por resolução n n n n n {[ P, Q], [P, R], [P, Q], [ Q, R]} 1. [ P, Q] 2. [P, R] 3. [P, Q] 4. [ Q, R] 5. [Q, R] Res (1, 2) 6. [P, R] Res (3, 5) 7. [Q, R] Res (1, 6) 8. {} Res(4, 7) Expansão fechada – contém a cláusula vazia

Forma clausal n Dada uma fórmula H, a forma clausal associada a H é n n Uma fórmula Hc, uma conjunção de cláusulas equivalente a H Toda fórmula proposicional possui uma forma clausal associada

Exercício n n Achar a a forma clausal associada a: (H^(Gv. H)) (H^G)v(H^H) (H G) ( (H) H

Prova por resolução n n n Dadas uma fórmula H e Hc, a forma clausal associada a H Uma Prova de H por resolução é uma expansão fechada sobre Hc H é um teorema do sistema de resolução

Exemplo de Prova por resolução n n n n H=((P 1 v. P 2 v. P 3)^(P 1 P 4)^(P 2 P 4)^ (P 3 P 4)) P 4 Determinar Hc associada a H Hc= (((P 1 v. P 2 v. P 3)^(P 1 P 4)^(P 2 P 4)^ (P 3 P 4)) = ( ((P 1 v. P 2 v. P 3)^(P 1 P 4)^(P 2 P 4)^(P 3 P 4)) v. P 4) =(P 1 v. P 2 v. P 3)^( P 1 v. P 4)^( P 2 v. P 4)^( P 3 v. P 4)^ P 4 ={[P 1, P 2, P 3], [ P 1, P 4], [ P 2, P 4], [ P 3, P 4], [ P 4]} Agora, é só fazer a expansão por resolução!

Exemplo de Prova por resolução (cont. ) n n n n n 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. [P 1, P 2, P 3] [ P 1, P 4] [ P 2, P 4] [ P 3, P 4] [P 2, P 3, P 4] [P 4] {} Res(1, 2) Res(3, 6) Res(4, 7) Res(5, 8)

Exercício n n n H=((P 1 v. P 2)^(P 1 P 4)^(P 2 P 4)^ (P 3 P 4)) P 3 Determinar Hc associada a H Fazer a expansão por resolução n Aberta ou fechada?

Conseqüência lógica na resolução n n Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses b={H 1, H 2, . . . Hn}, então H é conseqüência lógica de b por resolução se existe uma prova por resolução de n (H 1^H 2^. . . ^Hn) H

Notação de Conseqüência Lógica por Resolução n Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses b={H 1, H 2, . . . Hn} por resolução, diz-se que: n b├ H ou n {H 1, H 2, . . . Hn}├ H

Exercício de Conseqüência Lógica por Resolução n n n Guga é determinado Guga é inteligente Se Guga é determinado, ele não é um perdedor Guga é um atleta se é amante do tênis Guga é amante do tênis se é inteligente “Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima? ?

Solução n n n Provar H=(P^Q^((P^R) P 1)^(Q 1 R)^(Q Q 1)) P 1 Mostrando que H é absurdo (P^Q^((P^R) P 1)^(Q 1 R)^(Q Q 1)) P 1) gera uma expansão por resolução fechada a partir da sua forma clausal?

Resolução e Tableaux n Quais as relações entre eles? ?

Resolução e Tableaux [Fitting 1990] n n Métodos por negação Implementáveis n n n Resolução [Julia Robinson 1965] Prolog [Colmerauer 1972] Uma expansão fechada por resolução equivale a um tableau fechado

Resolução n n n x Tableaux Olha para o significado da fórmula Uma disjunção mantémse numa cláusula Uma conjunção “bifurca” cláusulas Linhas de resoluções Pega-se uma conjunção de disjunções e tenta-se simplificá-la n n n Olha para o valor da fórmula As regras disjuntivas bifurcam tableaux São usadas árvores n Representam naturalmente disjunções entre ramos

Em resolução. . . n Na CNF, para converter uma fórmula para a forma clausal, os ‘v’s criam cláusulas seqüenciais e os ‘^’s separam os termos n n n Exs: Av. B = {[A, B]}; A^B ={[A], [B]} o que, na prática, vira uma bifurcação Resolução ocorre sobre CNFs

Exercícios de Formalização n A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sextafeira. (C, S, A)

Solução n A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira. C: A proposta de auxílio está no correio. S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira. A: Os árbitros analisarão a proposta. {C, S A, C S} |-- A

Exercício n Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.

Exercício n Se hoje é Quinta-feira, então amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sextafeira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.