LGICA PROPOSICIONAL CONCEPTOS BSICOS Proposiciones atmicas o elementales

LÓGICA PROPOSICIONAL

CONCEPTOS BÁSICOS Proposiciones atómicas o elementales: enunciados (oraciones que son verdaderas o falsas) simples, enunciados cuya verdad o falsedad no puede analizarse en función de enunciados más simples que ellos. Por ejemplo: Mañana lloverá y nevará no es una proposición atómica: podemos analizar que será verdadera si son verdaderas dos proposiciones más simples que aparecen en ella: Mañana lloverá y Mañana nevará. Y podemos analizar que será falsa si una cualquiera de esas dos proposiciones más simples es falsa.

No lloverá mañana no es una proposición atómica: su verdad o falsedad dependen de una proposición más simple que ella: Lloverá mañana. Si ésta última proposición es verdadera, su negación será falsa. Y si fuese falsa, su negación será verdadera. Por tanto, No lloverá mañana depende de Lloverá mañana y por eso no es una proposición atómica. Mañana lloverá es una proposición atómica: su verdad o falsedad sólo depende de un hecho: que mañana llueva. No hay una oración más sencilla de la que dependa la verdad o falsedad de Mañana lloverá.

Conectivas lógicas: maneras de combinar la verdad o falsedad de proposiciones atómicas para calcular la verdad o falsedad de proposiciones complejas. Por ejemplo: La conectiva conjunción sirve para calcular el valor de verdad (verdad o falsedad) de la proposición Mañana lloverá y nevará. Cuando Mañana lloverá es verdadera y Mañana nevará son ambas verdaderas la proposición conjunción de ambas es verdadera. En cambio, cuando cualquiera de las dos es falsa, la conjunción es falsa.

La conectiva disyunción permite calcular el valor de verdad de la proposición Mañana lloverá o nevará. Cuando Mañana lloverá es verdadera o bien Mañana nevará es verdadera. En cambio, cuando ambas son falsas, la disyunción es falsa. La conectiva implicación permite expresar la relación entre dos proposiciones cuando la verdad de la primera nos permite afirmar la verdad de la segunda: si Juan llega pronto, entonces comerá helado. La conectiva negación sirve para calcular el valor de verdad de la proposición No quiero café. Cuando Quiero café es verdadera, No quiero café es falsa y viceversa.

Símbolos de la lógica de proposiciones Para escribir las fórmulas de la lógica de proposiciones, emplearemos los siguientes símbolos: Proposiciones atómicas: p, q, r, s, . . . Negación: ¬ Conjunción: ∧ Disyunción: ∨ Implicación: → Equivalencia: ↔

p: La capital de La Provincia del Huasco es Vallenar q: La capital de la provincia de Copiapo es Tierra Amarilla Así, dentro de cada apartado, cada vez que aparezca “p” nos estaremos refiriendo a la proposición así nombrada y no a otra, sin necesidad de reescribirla. La veracidad o falsedad de una proposición se denomina su “valor de verdad”. Veamos la notación correspondiente en los ejemplos anteriores: v(p) = V , el valor de verdad de p es verdadero, o bien, p es una proposición verdadera. v(q) = F, q es una proposición falsa, o bien, el valor de verdad de q es falso.

Proposiciones simples y compuestas Una proposición se denomina compuesta si puede expresarse mediante 2 o más proposiciones relacionadas entre sí. Si una proposición no es compuesta, se denomina simple. EJEMPLOS: 1. s: Tierra Amarilla es la capital de la provincia de Copiapo y vallenar de La Provincia del Huasco. La proposición s es compuesta pues puede expresarse como “p y q” , siendo p y q las proposiciones dadas en el apartado I-2. p: La capital de La Provincia del Huasco es Vallenar No es compuesta, pues no hay “descomposición” posible de este enunciado en otras proposiciones. Se trata de una proposición simple.

3. Si Juan va al cine hoy, entonces, María también. En este enunciado, se esconden dos proposiciones simples: p: Juan va al cine hoy q: María va al cine hoy (o María va al cine también) La estructura del enunciado es: “si p… entonces q”. La proposición dada es una proposición compuesta, obtenida combinando las proposiciones t y w.

4. Esta noche vamos al cine o a tomar un café. La estructura de esta proposición compuesta es: m o n, siendo: m: Esta noche vamos al cine. n: Esta noche vamos a tomar un café 5. Esta noche vamos al cine y a tomar un café Observa que las proposiciones componentes son las del ejemplo anterior, sin embargo, el sentido de la nueva proposición es diferente, habiendo cambiado el modo de combinarlas, de “conectarlas”

VALORES DE VERDAD DE LOS OPERADORES LÓGICOS Dada la importancia de los conectivos señalados anteriormente, es pertinente establecer los valores de verdad (v ó f) de cada proposición compuesta (molecular o resultante) para cada conectivo. A tal efecto, se utiliza la Tabla de Verdad, la cual se construye partiendo de la valoración de cada una de las proposiciones componentes (atómicas).

a) Negación Es útil para estas lecturas, tener en cuenta que el signo utilizado para negar una proposición es variable según el autor. Presentamos a continuación algunos signos utilizados para negar una proposición. Ejemplo: p: Luis habla inglés ~p: No es cierto que Luis habla inglés Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad: p V ~ p F F V � Si p es V (verdadera entonces, la negación le corresponde el valor de F falsa) Si p es F entonces, la negación le corresponde el valor de V Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación.

b) Conjunción Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p ∧ q (se lee " p y q "), que establece que la conjunción es verdadera sólo si las dos proposiciones componentes son verdaderas. Cuando una de ellas no se cumple, es decir, es falsa, la proposición resultante es falsa. A continuación presentamos la tabla de verdad de la conjunción p ∧ q: Si las dos son verdaderas Si por lo menos una de ellas es falsa p V q V p Λ q V V F F F F La conjunción es verdadera La conjunción es falsa

Ejemplo: Sea la proposición molecular: La fresa es una fruta y 3 es un número par. Esta conjunción es falsa, pues: p: La fresa es una fruta, es verdadera, mientras que q: 3 es un número par, es falsa. Por tanto, esta proposición p Λ q es falsa, ya que ambas proposiciones no pueden ser simultáneamente verdaderas.

c) Disyunción Inclusiva: Dadas dos proposiciones p y q, se denomina disyunción inclusiva de estas proposiciones a la proposición p v q (se lee " p o q "), que establece que la disyunción inclusiva es verdadera si al menos una de las dos proposiciones componentes es verdadera. Cuando todas ellas son falsas, la proposición resultante es falsa. A continuación presentamos la tabla de verdad de la disyunción inclusiva p v q: p V Si por lo menos una V de ellas es verdadera F Si las dos son falsas F q V F p v q V V La disyunción es verdadera V F La disyunción es falsa

Ejemplo 1: Sea la proposición molecular: El cielo es azul o la farmacia nacional la llaman Lonza. Esta disyunción es verdadera, pues: p: El cielo es azul, es verdadera y q: la farmacia nacional la llaman Lonza es verdadera, por tanto, esta proposición p v q es verdadera, ya que ambas proposiciones son simultáneamente verdaderas. Ejemplo 2: Sea la proposición molecular: El número uno, es el elemento neutro de la suma o el número 44 es par. Esta disyunción es verdadera, pues: p: El número uno es el elemento neutro de la suma, es falsa y q: el número 44 es par es verdadera, por tanto, la proposición p v q es verdadera, pues por lo menos una de ellas es verdadera

Ejemplo 3: Sea la proposición molecular: La cruz de mayo se celebra en el mes de Diciembre o La navidad es en el mes de Agosto. Esta disyunción es falsa, pues: p: , La cruz de mayo se celebra en el mes de Diciembre es falsa y q: La Navidad es en el mes de Agosto, es falsa, por tanto, la proposición p v q es falsa, ya que las dos proposiciones son falsas.

d) La disyunción exclusiva Dadas dos proposiciones p y q, se denomina disyunción exclusiva de estas proposiciones a la proposición p Ú q Símbolo: “Ú ” , se lee: “uno u otro”: “p Ú q” se lee: “o p o q” (no ambas) La misma establece que la disyunción exclusiva es verdadera si sólo una de las dos proposiciones componentes es verdadera. Cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambas falsas, la proposición resultante es falsa. A continuación presentamos la tabla de verdad de la disyunción exclusiva p Ú q: p V V F F q V F p Ú q F V V F

Ejemplo 1: Sea la proposición molecular: O el número uno es el elemento neutro de la multiplicación o el número 44 es par. Esta disyunción exclusiva es falsa, pues: p: El número uno, es el elemento neutro de la multiplicación, es verdadera y q: el número 44 es par es verdadera, por tanto, la proposición p v q es falsa, ya que ambas proposiciones son verdaderas y por definición, sólo una debe ser verdad. Ejemplo 2: Sea la proposición molecular: Los Carnavales se celebran en el primer trimestre del año o La navidad es en el mes de Agosto. Esta disyunción exclusiva es verdadera, pues: p: Los Carnavales se celebran en el primer trimestre del año, es verdadera y q: La Navidad es en el mes de Agosto, es falsa, por tanto, la proposición p v q es verdadera, pues una y sólo una de las dos proposiciones es verdadera.

e) El Condicional o de implicación El condicional de las proposiciones " p y q " es la proposición p → q (si p entonces q ) cuya tabla de verdad es: p V V F F q p → q V V F F V V F V

Ejemplo 1. Si apruebas los parciales, entonces te presto el auto. También podría haberse expresado como: “Si apruebas los parciales, te voy a prestar el auto”, para la lógica, la lectura habría sido la misma. p: Apruebas los parciales. q: Te voy a prestar el auto. La proposición dada es: “p ® q”. ¿Cuándo será verdadero el enunciado? - Si apruebas los parciales y te los presto, el enunciado es verdadero. - Si los apruebas y no te lo presto, te habré mentido, el enunciado sería falso. ¿Qué pasa si no aprobaste? Ya sea que te los preste o no, no te habría mentido, pues nada dije respecto a lo que pasaría en caso de no aprobar.

2. Si el triángulo es equilátero, entonces es isósceles. p: El triángulo es equilátero q: El triángulo es isósceles. Proposición: p ® q, v(p ® q) = V Observemos cómo interpretar en este ejemplo la condición necesaria: Si el triángulo no es isósceles, no tiene dos lados iguales, por lo tanto, tampoco los tres, por lo que seguro no es equilátero. Si q no se cumple, p no puede cumplirse, siendo verdadera la implicación.

f) El Bicondicional o doble implicación Sean P y Q dos proposiciones (atómicas o moleculares), entonces se puede indicar la proposición bicondicional de la siguiente manera: P ↔ Q Se lee “P si solo si Q” Esto significa que P es verdadera si y solo si Q es también verdadera. O bien, P es falsa si y solo si Q también lo es. El sí y sólo si de las proposiciones p y q es la proposición p ↔ q (se lee "p si y sólo si q") cuya tabla de verdad es: p V V F F q V F p ↔ q V F F V Si y sólo si o el bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. El bicondicional puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca.

Ejemplo 1: “Mauricio es excelente estudiante si y solo si, tiene promedio de calificaciones entre 6. 4 y 7. 0” Donde: P: Mauricio es excelente estudiante Q: Tiene promedio de calificaciones entre 6. 4 y 7. 0 Por lo tanto, podemos decir que: La proposición Bicondicional solamente es verdadera si tanto p como q, son falsas o bien ambas verdaderas

Ejercicio P: Pago la luz. Q: Me cortarán la corriente eléctrica. R: Me quedaré sin dinero. S: Tengo que pedir prestado. T: Puedo pagar la deuda. W: Soy desorganizado. ( ¬P ® Q ) Ù [ P ® ( R Ú S ) ] Ù [ ( R Ù S) ® ( ¬T ) ] « W Escribe la notación anterior convirtiéndolo en un texto

Recordando

Conjunción Negación p V F ~ p F V p V V F F q V F Disyunción Inclusiva p q p v q V V F F F La disyunción exclusiva p V V F F q V F p Ú q F V V F Condicional p Λ q V F F F p V V F F q p → q V V F F V V F V Bicondicional p V V F F q V F p ↔ q V F F V

Como construir tablas de verdad

En la proposición (~ p V q) Λ ~ q, intervienen dos variables, proposiciones (p y q), el número de combinaciones para construir la tabla sería 2 n = 22 = 4, por lo tanto el margen queda como lo muestra la tabla: 1º Agregamos al cuerpo de la tabla la proposición ~ p Agregamos al cuerpo de la tabla, (~ p V q) 3º 2º

4º 5º Y por último, agregamos la fórmula (~ p V q) Λ ~ q y valoramos el conectivo Λ

1. - Si no estuvo aquí el asesino, entonces no llegó a verle o lo supo demasiado tarde: ¬p→(¬q∨r) 2. - Sólo si tú no lo has matado, te dejaremos libre: ¬ p ↔ q - O lo recoges todo o no vas de excursión y no te regalo el vestido: p ∨ ( ¬ q ∧ ¬ r )