LGICA MATEMTICA Prezado a Aluno a Seja bemvinda

LÓGICA MATEMÁTICA Prezado (a) Aluno (a), Seja bem-vinda ao aprendizado da disciplina Lógica Matemática que, por sua vez, faz parte da grade curricular de várias ciências, como informática, Engenharia, Matemática, Física etc. Sabe-se quando há diálogo entre professor e aluno (viceversa), o ensino-aprendizado flui tranquilamente e, em decorrência disso, sempre que precisar entre em contato com o seu professor. O conteúdo desse tópico da matemática objetiva auxiliar o alunado no desenvolvimento do raciocínio lógico, da compreensão de conceitos básicos e da verificação formal da linguagem matemática visando disciplinas futuras que utilizam algoritmo e programação.

• Sistemas numéricos • Definição: São sistemas de notação usados para representar quantidades abstratas denominadas números. Um sistema numérico é definido pela base que utiliza. A base é o número de símbolos diferentes, ou algarismos, necessários para representar um número qualquer, dos infinitos possíveis no sistema. Por exemplo, o sistema decimal, utilizado hoje de forma universal, emprega dez símbolos diferentes ou dígitos para representar um número sendo, portanto, um sistema numérico na base 10.

• Valores posicionais • Em um sistema de número posicional, um número é representado por uma seqüência de dígitos onde cada posição de dígito tem um peso associado. Tomando como exemplo o sistema decimal, ou base 10, que é sistema numérico que utilizamos diariamente (0, 1, 2, . . . 9), o valor D de um número decimal de 4 dígitos d 3 d 2 d 1 d 0 é D = d 3*103 + d 2*102+ d 1*101 + d 0*100. Cada dígito di tem um peso de 10 i. Por exemplo, o número 3. 098. 323 (base 10) é a representação de 3*106 + 0*105 + 9*104 + 8*103 + 3*102 + 2*101 + 3*100.

Aritmética Binária Esta seção apresenta as quatro operações básicas no sistema binário: adição, subtração, divisão e multiplicação. • Sistema Binário O sistema binário, ou base 2, apresenta unicamente dois dígitos: 0, 1. Neste sistema a contagem é realizada como segue: 0, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, . . .

Conversão Binário para Decimal Sendo binário um sistema de número posicional, o valor B de um número binário de 7 dígitos b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 é B = b 6*26+ b 5*25 + b 4*24 + b 3*23 + b 2*22+ b 1*21 + b 0*20. Cada dígito bi tem um peso de 2 i. Assim o valor binário 1010 b é calculado como segue 1010 b = 0*20+1*21+0*22+1*23+0*24+1*25+0*26+1*27 = 170 d. Esta é a conversão de um número binário para decimal. Outro exemplo 1001 b = 1+8+16+128=153 d.

Conversão Decimal para Binário No sistema decimal, por exemplo, o número 654 corresponde a 4 unidades, 5 dezenas e 6 centenas. Para verificar isto, divide-se o número pela sua base (que é 10): 654/10 = 65 Resto 4 (*1) 65/10 = 6 Resto 5 (*10) 6/10 = 0 Resto 6 (*100) Para a conversão de decimal para binário utilizamos o mesmo processo. Por exemplo, para obtermos o correspondente binário do número 200 d, dividimos primeiramente este valor por 2 e anotamos o resto de cada divisão. Em seguida, dividimos novamente o dividendo da operação anterior por 2 e anotamos novamente o resto da divisão. Isto é repetido até a última divisão, conforme abaixo:

• • • 200/2=100 Resto 0 • 100/2= 50 Resto 0 • 50/2 = 25 Resto 0 • 25/2 = 12 Resto 1 • 12/2 = 6 Resto 0 • 6/2 = 3 Resto 0 • 3/2 = 1 Resto 1 • 1/2 = 0 Resto 1 O correspondente binário de 200 d é obtido unindo-se os restos da divisão por 2 na ordem inversa, assim 200 d=11001000 b. Ex: 1) Transformar: a) 190 d em binário b) 100101 b em decimal c) 50 d em binário d) 1100011 b em decimal

• Sistema Octal • O sistema binário ou base 8 apresenta oito dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Neste sistema, a contagem é realizada como segue: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, . . . • Conversão Octal para Decimal • Sendo o sistema octal um sistema de número posicional, o valor O de um número octal de 4 dígitos o 3 o 2 o 1 o 0 é O = d 3*83 + d 2*82+ d 1*81 + d 0*80. Cada dígito oi tem um peso de 8 i. Assim o valor octal 1758 é calculado como segue 1758 = 5*80+7*81 +1*82 = 12510. Esta é a conversão de um número octal para decimal.

• Conversão Decimal para Octal • Para a conversão de decimal para octal utilizamos o mesmo processo da conversão do sistema decimal para binário. Por exemplo, para obtermos o correspondente octal do número 200 d, dividimos primeiramente este valor por 8 e anotamos o resto de cada divisão. Em seguida, dividimos novamente o dividendo da operação anterior por 8 e anotamos novamente o resto da divisão. Isto é repetido até a última divisão, conforme abaixo: • 200/8= 25 Resto 0 • 25/8 = 3 Resto 1 • 3/8 = 0 Resto 3 • O correspondente octal de 200 d é obtido unindo-se os restos da divisão por 8 na ordem inversa, assim 200 d=310 o.

• Sistema Hexadecimal • Na base hexadecimal tem-se 16 dígitos que vão de 0 à 9 e da letra A até F. Estas letras representam os números 10 d a 15 d. Assim nós contamos os dígitos hexadecimais da seguinte forma: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, 12, . . . , 19, 1 A, 1 B, 1 C, 1 D, 1 E, 1 F, 20, 21, . . . • Conversão Binário para Hexadecimal • A conversão entre números binários e hexadecimais é simples. A primeira coisa a fazer é dividir o número binário em grupos de 4 bits, começando da direita para a esquerda, os lugares que faltam são complementados por zeros. Por exemplo, o número 101011 b (1+2+8+32 = 43 d), nós dividimos este em grupos de 4 bits e nós temos 10; 1011. Nós completamos o último grupo com zeros: 0010; 1011. Após nós tomamos cada grupo como um número independente e nós convertemos estes em dígitos decimais:

• 0010; 1011=2; 11. Mas desde que nós não podemos representar o número hexadecimal como 211 porque isto é um erro, nós temos que substituir todos os números decimais maiores que 9 pelas suas respectivas representações em hexadecimal, com o que nós obtemos: 2 Bh. A tabela abaixo pode auxiliar na conversão de números binário para hexadecimal

• Afim de obter um número hexadecimal em binário é apenas necessário inverter os passos. • Conversão Hexadecimal em Decimal • Para converter um número hexadecimal em decimal, nós utilizamos a mesma fórmula utilizada na conversão binário para decimal, sendo que a base 2 é trocada por 16. Por exemplo, para converter B 2 Ah em decimal: • B -> 11*162 = 2816 d • 2 -> 2*161 = 32 d • A -> 10*160 = 10 d • 2858 d

• Conversão Decimal para Hexadecimal • Para converter um número decimal em hexadecimal, nós utilizamos a mesma fórmula utilizada na conversão de um número decimal para binário, dividindo por 16 em vez de 2. Por exemplo, para converter 1069 d em hexadecimal: • 1069/16= 66 Resto 13 d = Dh • 66/16 = 4 Resto 2 d = 2 h • 4/16 = 0 Resto 4 d = 4 h R) 069 d = 42 Dh

EXERCÍCIOS • 01) Represente os números na forma decimal: • a) 4. 209 b) 25. 895 c) 130. 654 d) 3. 569. 345 • 02) Converter número binário em número decimal: • a) 110 b) 10011 c) 110001 d) 101110011 • 03) Converter número decimal em número binário: • a) 459 d b) 34685 d c) 224034 d d) 10 d • 04) Converter número octal em número decimal: • a) 32 o b) 137 o c) 2456 o d) 124653 o • 05) Converter número decimal em número octal: • a) 120 d b) 324 d c) 4576 d d) 20304 d • 06) Converter número binário em número hexadecimal: • a) 1001 b) 110101 c) 1001101 d) 11001101 • 07) Converter número hexadecimal em número decimal: • a) 3 AEh b) ADC 2 h c) 5 FE 3 h d) 5 A 7 Dh • 08) Converter número decimal hexadecimal em número hexadecimal: • a) 135 d b) 1432 d c) 2567 d d) 35564 d

Aritmética Binária Adição Para somar dois números binários, fazem-se as contas coluna a coluna, da direita para a esquerda, como de costume, fazendo o transporte de um (<e vai um>) quando for o caso. Para isto, observe as seguintes operações básicas: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 1 = 0 (1 mais 1 é igual a 0 e vai 1) 1 +1 = 1(1 mais 1 é igual a 1 e vai 1) Exemplos:

• As operações com números decimais segue o mesmo princípio dos números inteiros, sendo necessário, agora, que alinhem-se as “vírgulas” antes de fazer a operação. *10, 10012 + 110, 012 = X 2 10, 10012 + 110, 01002 1000, 1101 2 Converta para binário e efetue as seguintes operações: a) 6810 + 4010 b) 9410 + 3210 c) 848 + 388 d) 488 + 298 e) B 5 D 16 + A 2 C 16 f) C 4316 + 19516 g) E 5 D 16 + 8 F 2 A 16

• Subtração • Como o conjunto de símbolos contém apenas 2 dígitos, ao se efetuar a subtração parcial entre 2 dígitos, um do diminuendo e outro do diminuidor, se o segundo (diminuidor) exceder o primeiro (diminuendo), subtraise uma unidade ao dígito imediatamente à esquerda no diminuendo (se existir e o seu valor for 1), convertendoo a 0. Em seguida, substituímos o diminuendo por 2, que corresponde à equivalência 1*2, da unidade extraída. Se o dígito imediatamente à esquerda for 0, procura-se nos dígitos consecutivos.

A segunda forma de realizar a subtração, por exemplo de a-b, e realizar a soma de a por -b. Esta subtração é feita pelo chamado método do complemento de dois. O complemento de dois transforma um número positivo em negativo. Neste método, o diminuendo (a) é somado complemento de dois do diminuidor (- b). Note que o número de dígito dos operandos devem ser o mesmo: para isto complemente o operando com menor número de dígitos com zeros a esquerda (antes do complemento). Para realizar o complemento de dois, basta trocar os uns pelos zeros e vice-versa e adicionar um ao resultado. Por exemplo, a subtração de 1110 -101 é feita da seguinte maneira: 1. Completa-se o número de dígitos do diminuidor: 0101 2. Realiza-se o complemento de dois do diminuidor: 1010+1=1011. 3. Soma-se os dois operandos 1110+1011=11001 4. Despreza-se o transporte final, pois, o resultado tem um bit a mais que os dois operandos: 1001

• Uma subtração com números binários baseia-se em uma soma (!) onde o segundo termo é um número negativo. Antes disto, devemos entender o que é o “Complemento de um Número” e “Complemento de 2 de um Número”. • Complemento (ou Complemento de 1) de um Número é a quantidade que falta para este número chegar ao maior valor da atual potência. • Vamos tomar como exemplo o número decimal 4178. • Na atual potência – 103 – o maior valor é 9999. Para que o número 4178 “alcance” o número 9999, faltam 5821 números, ou seja, 5821 é o complemento de 4178. • Tratando-se de números binários, para encontrarmos o complemento de um número, basta invertermos todos os seus bits. • Tomando o número 101010112 como exemplo: • Invertendo-se todos os seus bits descobrimos que o Complemento de 101010112 é 010101002.

• Complemento de 2 de um Número nada mais é do que a quantidade que falta para este número chegar à próxima potência, ou seja, é o Complemento do número +1. • Exemplo para o número 101010112 novamente: • O seu Complemento é 010101002 e o Complemento de 2 é 010101002 + 1 = 01012 • Vale alertar também sobre sinais em números binários. O sinal é definido por um bit – o primeiro – que, quando ZERO quer dizer que o número é positivo, e, quando UM, que o número é negativo. • Vejamos alguns exemplos: • 2310 – 410 à 101112 – 1002 = X 2 • Primeiramente, os termos devem ter a mesma quantidade de bits e devemos achar o C 2 do 2º termo, ou seja, seu oposto. • 0 101112 – 0 001002 = X 2 • C 2(0 001002) = 111011+1 = 1 111002 Bit de Sinal

• 0 10111 2 + 1 111002 10 10011 2 â Overflow • Em algumas subtrações pode acontecer um “Overflow”, ou seja, ultrapassar o número de bits da subtração. O que devemos fazer é desconsiderar este bit. • Resultado: 0 100112 = 1910 • Um exemplo que dará resultado negativo: • 9010 – 11610 à 0 10110102 – 0 11101002 = X 2 • C 2(0 11101002) = 10001011 + 1 = 00011002 • - Como, 10110102 é positivo acrescenta 0 e 00011002 é negativo acrescenta 1. • 0 10110102 + 1 00011002 1 11001102 = -2610 (1 significa negativo e 0 positivo)

• Assim como na Soma, podemos fazer subtrações em binário com números não binários. Para isso, basta convertermos o número para a base binária antes de fazer a operação. • 25, 468 - B, 4916 = X 2 • 25, 468 à 0 10101, 1001102 B, 4916 à 0 01011, 010010012 à C 2 = 1 10100, 101101112 0 10101, 100110002 + 1 10100, 101101112 1 0 01010, 010011112 • Ex. : Converta para binário e efetue as seguintes operações: • a) 3710 – 3010 b) 8310 – 8210 c) 638 – 348 d) 778 – 118 e) BB 16 – AA 16 f) C 4316 – 19516 g) 9810 – 14010 h) 24510 - 46410 •

• • Exemplos: - Multiplicar os números 1011 e 1101. Multiplicação Deve-se realizar a operação semelhante à multiplicação decimal, exceto pelo fato da soma final dos produtos se fazer em binário. Para tal, as seguintes igualdades devem ser respeitadas: • 0*0=0; 0*1=0; 1*0=0; 1*1=1 • Converta para binário efetue as seguintes operações: • a) 13610 * 4210 b) 9610 * 8210 c) 638 * 348 d) 748 * 128 1011*

• Divisão • A operação de divisão de binário pode ser feita de maneira idêntica à divisão decimal, exceto pelo fato das multiplicações e subtrações internas ao processo serem feitas em binário. • Exemplo: • Dividir 11011 por 101. • Converta para binário (quando necessário) e efetue as seguintes operações: • a) 1010102 / 1102 b) 3710 / 410 c) 110011102 / 11012

ÁLGEBRA DE BOOLE E SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS LÓGICOS. • Existem duas constantes booleana: 0(zero) ou 1(um). • Variável booleana é representada por letras que pode assumir valor 0 ou 1. • Expressão booleana é uma expressão matemática envolvendo constantes e/ou variáveis booleanas e seu resultado assume dois valores 0 ou 1. • Exemplos: a) S = A. B B) S= A + B. C • Existem propriedades da negação (complemento, inversor), multiplicação(PORTA AND = E) e soma (porta OR = OU) • Demonstra-se cada uma através de tabelas-verdade, constatando a equivalência lógica.

Propriedades 1ª) Absorção: 1. 1) A + (A. B) = A 1. 2) A. ( A+ B) = A 2ª) Outras Identidades: 2. 1) A + Ᾱ. B = A + B 2. 2) (A + B). ( A + C) = A + BC 3ª) Regras de Morgan: 3. 1) (A. B)’ = A’ + B’ 3. 2) (A + B)’ = (A. B)’ 3. 3) (A. B. C. . . N)’ = A’+B’+C’+. . . + N’ 3. 4) (A+B+C+. . . +N)’ = A’. B’+C’. . . N’ Eemplo: Utilizando transformações algébricas, mostre as identidades: a) A + A. B =A b) A. (A + B) = A c) (A+B). (A + C) = A + B. C d) A. B. C+. A. C’+A. B’ = A

- - - FORMAS NORMAIS (CANÔNICAS) Toda expressão booleana pode ser escrita em forma padronizada denominada de Forma Normal ou Forma Canônica, que se apresentam de duas maneiras: 1ª) Forma Normal Conjuntiva (FNC): Produto de Somas ou Produto de Maxtermos. 2ª) Forma Normal Disjuntiva (FND): Soma de Produtos ou Produto de Mintermos. Maxtermos: sua negação e variáveis de uma mesma linha são conevariável com valor 0 é deixada intacta; com valor 1 é alterada pela ctadas por adição (+). Mintermos (ou minitermos): variável com valor 1 é deixada intacta; com valor 0 é alterada pela sua negação e variáveis de uma mesma linha são conectadas por multipicação (. ).

• • • A B C Maxtermo Mintermo 0 0 0 A + B + C A’. B’. C’ 0 0 1 A + B + C’ A’. B’. C 0 1 0 A + B’ + C A’. B. C’ 0 1 1 A + B’ + C’ A’. B. C 1 0 0 A’ + B + C A. B’. C’ 1 0 1 A’ + B + C’ A. B’. C 1 1 0 A’ + B’ + C A. B. C’ 1 1 1 A’ + B’ + C’ A. B. C Obs. : FND só trabalha com saída 1 (soma dos produtos) e FNC só com saída 0 (produto das somas).

MAPAS DE VEITCH-KARNAUGH É outro método (grupos de mintermos) de simplificação das expressões booleanas. DIAGRAMA DE KARNAUGH PARA DUAS VARIÁVEIS: Ex. : 1) Simplifique usando Karnaugh. a) A B S b) A B S 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 S = A + B S = A’ + B’ = (A. B)’

a) A B S b) A B S 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 S = A + B S = A’ + B’ = (A. B)’ A / B 0 1 1 A / B 0 1 1 1 1 S = A + B S = A’ + B’

• • • c) A B C S d) A B C S 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 S = C’ +A’. B S = A’. C + A. B’ + A. C’ A/BC 00 0 1 1 1 01 11 10 A/BC 1 1 00 1 01 11 1 10 1 • S = B. ’C’ + A’. B + B. C’ S = A’. C + A. B ’ + B’. C • S = C’ + A’. B

• - PRICÍPIOS DA LÓGICA MATEMÁTICA • A Lógica Matemática é constituída de três princípios, cujo objetivo é de compreender as relações que se estabelecem entre as proposições. Esses princípios são: • 10) Principio da Identidade: se um enunciado é verdadeiro, então é verdadeiro. • 20) Princípio da Não-Contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. • 30) Princípio do Terceiro Excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se um destes casos e nunca um terceiro. • Para compreender melhor esses princípios da Lógica, devemos observar os seguintes conceitos.

- Proposição: é o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo. 03 - Valor Lógico de uma Proposição: é a verdade (V) se a proposição é verdadeira e a falsidade (F) se a proposição é falsa. Ex. : Determine o valor lógico de cada proposição: a) Belém é a capital do Estado do Pará. b) Sen 300 = ½ c) (a – b)2 = a 2 – 2 ab + b 2 d) 9 é primo. e) < 3, 34. . . f) (a – b)2 = a 2 – b 2 g) Log 3 81 = 4 h) 52/52 = 0 As respostas a) V; b) V; c) V; d) F; e)V; f) F; g) V; h) F

• - PROPOSIÇÕES SIMPLES E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS • - Proposição simples (ou Atômica): apresenta apenas uma proposição, sendo representada por letras minúsculas denominadas de letras proposicionais. • Exemplo: • p: 3 é um número primo. b) √ 2 é um número racional. • - Proposição Composta (ou Molecular): é formada por mais de uma proposição, sendo representada por letras maiúsculas denominadas de letras proposicionais. • Exemplo: • João é rico e José é estudioso. • Se Arero é Paysandu, então é feliz.

• CONECTIVOS: são palavras, expressões ou símbolos usados para formar novas proposições a partir de outras. • Abaixo temos os conectivos na linguagem corrente (usual) e na linguagem simbólica, respectivamente. • não (~ ou ), e, mas ( , , ), ou- inclusive ( ), ou. . . - exclusive, mas não ambos ( ), se. . . então. . . ( ) e, . . . se e somente se, . . . ( ) • a) Antonio não é gordo. b) Paulo é rico e João é vaidoso. • c) Fátima é alegre e não é vaidosa. d) Adolfo é médico ou José é professor. - ou inclusive: pode acontecer ao mesmo tempo. • e) Adolfo é paulista ou é mineiro. • - ou exclusive: não pode acontecer ao mesmo tempo. • f) Se Pedro é rico, então é feliz. • g) Log 5 = 0, 699, se e somente se, 5 é um número ímpar.

• • LÓGICA DOS PREDICADOS: 1) Qualquer que seja; Todo → 2) Existe pelo menos um, alguns ᴲ 3) Existe um só ᴲΙ Ex. : 1) qualquer que seja o número dois é primo. 2) Existe pelo menos um inteiro que não é par nem primo. 3) Existe um só inteiro cujo quadrado é 2 • TABELA-VERDADE • É um tipo de tabela matemática usada em Lógica para determinar se um fórmula é válida. • - Para construir uma tabela-verdade, utilizamos o seguinte procedimento: • Número de linhas de uma tabela-verdade (L) é calculado pela fórmula L = 2 n, onde n é o número de proposições simples. •

• • • • OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES Negação (~): é uma proposição p representada por “não p” cujo valor lógico é a verdade quando p é falsa e a falsidade quando p é verdadeira. Nota: A negação deve aparecer na frente do verbo. p ~p palavra não (~) uso para proposição simples (frente o verbo) V F palavras Não é verdade que /É falso que simples ou composta. F V (na frente da proposição) ~V = F e ~F = V V(~p) = ~V(p) Exemplos: a) p: a derivada primeira da função do espaço representa a função velocidade (V). ~p: a derivada primeira da função espaço não representa a função velocidade (F). V(~p) = ~V(p) = ~V = F b) p: Log 1000 = 10 (F) e ~p: Log 1000 ≠ 10 (V) V(~p) = ~V(p) = ~F = V

• Exemplo: • a) p: Maria é feliz ~p: Maria não feliz o ou Não é verdade que maria é feliz. • b) p: Lobo é feroz e Carneiro é dócil. ~p: Não é verdade (ou É falso que) que o Lobo é feroz e o Carneiro é dócil. • c) p: Maria é bonita ~p: Maria é feia. • Conjunção ( ): conjunção de duas proposições p e q é a proposição representada por “p e q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições são ambas verdadeiras e a falsidade (F) nos demais casos. Coloca-se as palavras e ou a palavra mas entre as proposições • p q p ^ q p: Lobo é feroz e Carneiro é dócil • V V V q: Paula é bonita mas é gorda • V F F • F V F • V V = V, V F = F, F V = F e F F = F

• Disjunção ( ): disjunção de duas proposições p e q é a proposição representada por “p ou q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições é verdadeiras e a falsidade (F) quando ambas são falsas. • p q p q • V V V p: Saulo é rico ou é feliz • V F V • F V V • F F F • V V = V, V F = V, F V = V e F F = F • Disjunção Exclusiva ( ): disjunção exclusiva de duas proposições p e q é a proposição representada simbolicamente por p q, que se lê: “ou p ou q”, cujo valor lógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras, e a falsidade quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas.

• • • p q p v q V V F p: ou Igor é paraense ou paulista V F V F V V F F F V V = F, V F = V, F V = V e F F = F Condicional ( ): é a proposição representada por “se p então q”, cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade nos demais caos. p q V V V p: Se Igor é paraense, então é feliz; V F F p (conseqüente) e q (antecedente) F V V F F V

• Bicondicional ( ): é a proposição representada por “p se e somente se q”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando ambas são verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade nos demais caso. • p q • V V V = V, V F = F, F V = F e F F = V • V F F p é condição necessária e suficiente para q • F V F q é condição necessária e suficiente para q • F F V • Exercícios: • 01 - Sejam as proposições p: Diogo é estudioso e q: Igor é trabalhador. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: • ~p q b) p q c) ~q p d) p q • 02 - Sejam as proposições p: Laura é forte e q: Laura é bonita. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: • Laura é forte e bonita • Não é verdade que Laura é forte ou bonita • Laura é forte ou é fraca e bonita.

• Utiliza-se os conectivos numa ordem que vai do mais fraco ao mais forte da seguinte maneira: ~, ˄v, → e ↔. O conectivo v deve acompanhar parêntesis para identificar como sendo forte ou fraca. • Uso do Parêntesis. • Observe a expressão p q ~p. • Ao acrescentar parêntesis, podemos transformar numa conjunção ou numa condicional, da seguinte maneira: • p (q ~p) conjunção b) (p q) ~p condicional • • Modificando as proposições através do uso do parêntesis; p q r s A proposição predominante é a última a ser resolvida. a) ((p q) r) s Bicondicional b) p ((q r) s) Condicional c) (p (q r)) s Bicondicional d) p (q (r s)) Condicional e) (p q) (r s) Conjunção Obs. : Podemos também suprimir parêntesis de uma proposição, para simplificar

• Valor lógico de uma proposição composta. • - É sempre possível conhecer o valor lógico de uma proposição composta P(p, q, r, . . . ), quando é conhecido o valor de cada proposição simples p, q, r, . . Observe os exemplos: • 1) Sendo verdade o valor lógico de p e a falsidade o valor lógico de q, determine o valor lógico de P(p, q) = (p ~q) (~p q). • Solução: P(p, q)=(p ~q) (~p q)=(V ~F) (~V F)=(V V) (F F)=V F = F • 2) Dadas as proposições simples p: -2+6=4 e q: Log 2 64 = 5. Encontre o valor lógico da proposição composta P(p, q) = ~(p q) (p ~q). • Solução: • P(p, q) = ~(p q) (p ~q) = ~(V F) (V ~F) = ~F (V V) = V V = V

Exercícios: 1 - Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições: a) (p q) ~p b) (~p q) q c) p ~q p q d) (~p q) q q e) (p q) q r f) ((p q) r) ((p q) ~r) g) ~(p v ~q) h) ~(p ~q) i) p ^ q p v q j) ~p (q p) k) (p q) p ^ q l) ~p ^ r q v ~r m) p r q v ~r n) p (p ~r) q v r 0) (p ^ q r) v (~p q v ~r) 2) Dada a proposição P(p, q) = (p ~q) ((~p q), determine: a) P(VV) b) P(VF) c) P(FV) d) P(FF) 3) Determinar P (VV, VF, FV, FF) em cada um dos seguintes casos: a) P(p, q) = ~(~q p) b) P(p, q) = ~p v ~q p c) P(p, q)=(p v q) ~(p q) d) P(p, q) = (p v ~q) v (~p v q) e) P(p, q) = ~((p v q) (p v ~q) 4) Determine P(VFV) em cada caso: a) P(p, q, r) = (p q) (r ~p) b) P(p, q, r) = ~p v (q ~v r) r) c) P(p, q, r) = (p v q) (p v r) d) P(p, q, r) = (p v ~r) (q (r ~p) 5) Sabendo que os valores lógicos das proposições simples p, q e r são respectivamente V, V e F, determine o valor lógico da proposição composta P(p, q, r) = ((p q) r) (p ~r).

6) Sabendo que a proposição P(p, q) = ~p q ~q r ~r é uma bicondicional. Converta-a, usando parênteses, em: 5. 1) Condicional. 5. 2) Disjunção. 5. 3) Conjunção. 7) Transformar a proposição P(p, q)=(((~p) q) (~q)) numa proposição mais simples (subtrair parêntesis). 8) Dadas as proposições: p: 2. (5 – 4) = 2, q: 2. 5 – 4 = 6 e r: 5 – 4. 2 = 2. Construa a tabela verdade da das proposições compostas abaixo: a) A(p, q): (~p q) (~q p) b) B(p, r): ((~p r) ~r) (p ~r) c) C(p, q, r): ((p q) (~q r)) ~r d) D(p, q, r): ((~p q) r) (p ~r)

• CLASSIFICAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES C 0 MPOSTAS • Tautologia: é toda proposição composta que apresenta na última coluna da sua tabela-verdade apenas o valor lógico verdade. • Contradição ou Contraválida: é toda proposição composta que apresenta na última coluna da sua tabela-verdade apenas o valor lógico falsidade. • Contingência ou Indeterminada: é toda proposição composta que apresenta na última coluna da sua tabela-verdade os valore lógicos verdade e falsidade. • Exemplos: • - Classifique as proposições em tautológica, contradição (ou contraválida) e contingência (ou indeterminada): • 1) P(p, q) = ~p (p ~q) 2) P(p, q) = (p q) (p ~q) • 3) P(p, q) = ~p (p ~q) 4) P(p, q): ~p v (~q v p)

• - IMPLICAÇÃO LÓGICA ( ) • Definição: a proposição P implica a proposição Q, quando a condicional P → Q for uma tautologia. • Simbolicamente representamos a implicação lógica por P Q. • Ex. : 1) Verifique se existe equivalência lógica entre as proposições compostas: • a) P: p; Q: q p b) P: q; Q: p ^ q p → 2) Propriedades da Implicação Lógica. i) Reflexiva: P Q ii) Transitiva: P Q e Q R; P R • Exemplos: • 1) Dadas as proposições P(p, q): p q, Q(p, q): p q e R(p, q): q v p, verifique se: • a) P Q b) P R c) Q R • 2) Verifique se P = (p q) ~p implica Q = q.

• EQUIVALÊNCIA LÓGICA ( ) • Definição: Uma proposição composta P é equivalente a uma proposição composta Q, se as tabelas-verdade de ambas as proposições são idênticas, ou se a bicondicional P Q é tautológica. • P(p, q, . . . ) Q(p, q, . . . ) • Exemplos: • 1) Verifique se as proposições P(p, q): p (p q) e Q(p, q): p q são equivalentes. • 2) A condicional P: p q é equivalente a conjunção Q: ~p q? • Nota: os símbolos , , e são distintos, onde os dois primeiros fazem parte de operação lógica, enquanto os dois últimos de relação. • • Propriedades da Equivalência Lógica: Seja P, Q e R proposições compostas: • 1 a) Reflexiva: P Q • 2 a) Transitiva: Se P Q, então Q P • 3 a) Simétrica: Se P Q e Q R, então P R

• Proposições Associadas a uma Condicional. • - Denominam-se proposições associadas a condicional p q as três seguintes proposições condicionais que contêm p e q: • 1 - Proposição recíproca de p q: q p. • 2 - Proposição contrária de p q: ~p ~q. • 3 - Proposição contrapositiva de p q: ~q ~p. • Exemplo: • 1 - Construindo a tebela-verdade das proposições P: p q, Q: q p, R: ~p ~q e S: ~q ~p, verifique se existe equivalência. • 2 - Encontre a contrapositiva da condicional P: Se Paulo é Paysandu, então é feliz. • 3 - A contrapositiva da condicional p q é ~p ~q: Se Paulo é infeliz, então não é Paysandu.

• Negação Conjunta de duas Proposições • - Denomina-se negação conjunta de duas proposições p e q a proposição “não p e não q”, representada simbolicamente por “~p ~q” ou “p q. Logo: • Negação Disjunta de duas Proposições • - Denomina-se negação disjunta de duas proposições p e q a proposição “não p ou não q”, representada simbolicamente por “~p ~q” ou “p q. Logo: • Exercícios: • 1 - Verifique as equivalências abaixo utilizando tabela-verdade: • 1. 1 - ~p p p • 1. 2 - p q (p q) • 2 - Se o valor lógico da proposição p é a falsidade e os valores lógicos das proposições q e r são verdades, encontre o valor lógico das seguintes proposições: • 2. 1 - (p ~q) (q ~r) • 2. 2 - (~p ~q) ((q p) (r p)) • 3 - Verifique se a proposição (p (q ~p)) (~q p) é tautológica.

- Álgebra das Proposições 1. 1 - Propriedades da Conjunção 1 a) Idempotente: p p p (p uma proposição simples) Exemplo: a = 7 2 a) Comutativa: p q q p (p e q proposições simples) Exemplo: x = 2 + 3 x < 7 x = 2 + 3 3 a) Associativa: (p q) r p (q r) (p, q e r proposições simples) Exemplo: (x = 3 x > 1) x < 5 x = 3 (x > 1 x < 5) 4 a) Identidade: (p a) p e (p b) b (a e b proposições simples, onde a encerra somente a verdade e b a falsidade). Exemplo: x 2 /x/ ≥ 0 x 2 /x/ < 0

1. 2 - Propriedades da Disjunção 1 a) Idempotente: p p p (p uma proposição simples) Ex: 0 < x < 2 2 a) Comutativa: p q q p (p e q proposições simples) Exemplo: a = 4 - 5 a < 2 -3 a = 4 – 5 3 a) Associativa: (p q) r p (q r) (p, q e r proposições simples) Exemplo: (x 3 x > 4) x < 6 x 3 (x > 4 x < 6) 4 a) Identidade: (p a) a e (p b) p (a e b proposições simples, onde a encerra somente a verdade e b a falsidade). Exemplo: x 2 /x/ ≥ 0 x 2 /x/ < 0 x 2 1. 3 - PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DISJUNÇÃO 1 a) Distributiva: Dadas as equivalências lógicas abaixo, onde p, q e r são proposições simples. – p (q r) (p q) (p r)

Exemplo: 1 - A proposição “João pratica esporte e Carlos estuda ou passeia” é equivalente a proposição “João pratica esporte e Carlos estuda” ou “João pratica esporte e Carlos passeia”. 2 - “chove ou faz vento e frio” é equivalente a “chove ou faz vento” e “chove ou faz frio” 02) Absorção: 2. 1 - p (p q) p 2. 2 - p (p q) p Regras de Morgan: 1ª) A negação de uma conjunção entre duas proposições simples é equivalente a disjunção das negações das proposições. ~(p q) ~p ~q “é inteligente e estuda” é equivalente a não é inteligente ou não estuda” 2ª) A negação de uma disjunção entre duas proposições simples é equivalente a conjunção das negações das proposições. ~(p q) ~p ~q “é médico ou professor” é equivalente a “não é médico e não é professor”

• 03 - Negação da Condicional • Já vimos que a condicional p q é equivalente a (~p q), logo, negando a condicional temos: • a) p q ~p q • ~( p q) ~(~p q) ~~p ~q • b) ~( p q) p ~q • • • 04 - Negação da Bicondicional Vimos anteriormente que p q (p q) (q p), logo: p q (p q) (q p) p q (~p q) (~q p) Negando, temos: ~(p q) ~( (~p q) (~q p)) ~(~p q) ~(~q p) (p ~q) (~p q) • Logo: • ~(p q (p ~q) (~p q)

• • Ex-Verificar através de tabela-verdade se existe as equivalências: p q (p ~q) b) p (q r) (p q) r c) (~p ~q) r (p q) (p r) d) p (p q) q e) ~(p q r) ~p ~q ~r (Regra de Morgan) • MÉTODO DEDUTIVO • Utilizamos até o momento, tabelas-verdade para demonstrar as implicações e equivalências. A partir de agora, vamos demonstrar essas implicações e equivalências por meio do método denominado Método Dedutivo. • Inicialmente definimos como Método Dedutivo a modalidade de raciocínio lógico que faz uso da dedução para obter uma conclusão a respeito de determinada(s) premissa(s). • A Dedução é uma espécie de argumento no qual a forma lógica válida garante a verdade da conclusão se as premissas forem verdadeiras. Por exemplos:

• • 1) A: “Todos os homens são mortais" B: “João é homem“ Logo, C: “João é mortal” Agora apresentemos uma forma lógica válida: x = homem, y = mortal e z = joão. • "TODO x é y. z é x. • Logo, z é y" • Veja que as duas premissas obedecem a uma forma lógica válida. Se a conclusão for "Logo, João é mortal (Logo, z é y)", então temos uma dedução. • • 2) Modus ponens: "Se P, então Q. P. Portanto Q. " Modus tollens: "Se P, então Q. Q é falso. Logo, P é falso. " [2]

• No emprego do Método Dedutivo, as proposições simples p, q, r, s (apresentam valor lógico verdade) e t, valor lógico falsidade, devem ser substituídas respectivamente por proposições compostas P, Q, R, S (tautologia) e T (contradição). • Exemplo • Sabendo que p é uma proposição qualquer e c e t proposições cujos valores lógicos são respectivamente, F e V. • - Constatar as implicações e equivalências sem a utilização das tabelas-verdade. • 1) c p 2) p t • Observe que • c p ~c p t • p t ~p t t • 2) (p q) ~q ~p (Modus tollens) • (p q) ~q (~p ~q) (q ~q) (~p ~q) T ~p ~q ~p

3) (p q) p q (Modus ponens) (p q) p p (~p q) (p ~p) (p q) T (p q) p q q 4) (p q) ((p ~q) t) p q ~p ~~q ~(p ~q) t p ~q t 5) p (q r) (q q) r p (p ) ~p (q r) ~p (~q r) (~p ~q) r ~(p q) r p q r - É relevante notar que tendo três conectivos, podemos traduzir os mesmos em dois e, todos os conectivos exprimem-se em termos de ou : • a) , e traduz em ~ e . • a 1) p q ~~p ~~q ~(~p ~q) • a 2) p q ~p q • a 3) (p q) (q p) ~(~(~p q) ~(~q p)) •

• • b) , e traduz em ~ e . b 1) p q ~~p ~~q ~(~p ~q) b 2) p q ~(p ~q) b 3) (p q) (q p) ~(p ~q) ~(~p q) • • c) , e traduz em ~ e . c 1) p q ~(~p ~q) ~(p ~q) c 2) p q ~~p q c 3) (p q) (q p) ~((p q) ~(q p)) • - Qualquer proposição pode ser transformar em uma forma denominada Forma Normal (FN). Esta forma é identificada quando a proposição contém os conectivos que representam negação (~), conjunção ( ) e disjunção ( ). Se a proposição apresentar conectivo que representa condicional ( ) ou bicondicional ( ), decompõe-se as mesma como segue: (p q) por (~p q) e (p q) por (~p q) (p ~q).

• Uma proposição pode se apresentar na forma normal denominada Forma Normal Conjuntiva (FNC) ou na forma normal denominada Forma Normal Disjuntiva (FND). • Dizemos que uma proposição encontra-se na FNC quando: • É não literal: qualquer proposição sua negação (p, ~q, r). a formula atômica ou • Apresenta os conetivos ~, e . • A negação, não deve incidir nela mesmo (~~) e nem sobre a conjunção ( ) e disjunção ( ). • A disjunção não apresenta abrangência sobre a conjunção, ou seja, não deve ter p (q r). • Exemplos de FNC: • a) p ~q • b) (p q) • c) ((p ~q) ~r)

• • • • Não são exemplos de FNC: ~(~p) (não é literal) ((p ~q) (está havendo repetição da fórmula atômica) Dizemos que uma proposição encontra-se na FND quando: A proposição é uma conjunção. Contém os conectivos ~, e . A negação, não deve incidir nela mesmo (~~) e nem sobre a conjunção ( ) e disjunção ( ). A proposição é uma disjunção de duas ou mais conjunções, onde nenhuma delas está contida nas outras. Exemplos de FND: (p q) r ~p (~p q) (~r) (p q) (~p r)

1 o) Determinar a Forma Normal Conjuntiva (FNC) da proposição ~((p q) p). • Solução: • ~((p q) p) ~(p q) ~p ~q ~p • - Utilizando tabela-verdade:

• • • 2 o) Determinar a Forma Normal Disjuntiva (FND) equivalente a proposição: (~q → r) ↔ (~p ˄ q). Solução: Inicialmente construímos a tabela-verdade que representa a proposição. A maneira para obter uma forma equivalente a FND é a seguinte: Separa-se as linhas 4, 5 e 8 cujo valor lógico é a verdade (V), e nelas podemos escrever as formas conjuntivas fundamentais da seguinte maneira: Linha 4: como p é verdadeira, permanece p, porém, q e r são falsas, logo, ~q e ~r. (p ˄ ~q ˄ ~r) Linha 5: como p é falsa, utilizamos ~p, porém, q e r são verdadeiras, logo, permanece q e r. (~p ˄ q ˄ r) Linha 8: como p, q e r são falsas, escrevemos ~p, ~q e ~r. (~p ˄ ~q ˄ ~r) Logo, a proposição equivalente é: (p˄~q˄~r)˅(~p ˄ q ˄ r)˅(~p ˄ ~q ˄ ~r) = T •

• Agora, vamos verificar se existe a equivalência: • (~q → r) ↔ (~p ˄ q) (p ˄ ~q ˄ ~r)˅(~p ˄ q ˄ r)˅(~p˄~q ˄ ~r) Exercício: - Utilizando tabela-verdade, encontre uma FND das seguintes proposições: (p → ((q → q) ˅ (p → p))) ~p ↔ ((p → (q ˅ r)

• PRINCÍPIO DE DUALIDADE • - Uma proposição composta S que apresenta apenas negação, conjunção e disjunção, se trocarmos conjunção por disjunção e disjunção por conjunção, temos uma proposição que denominamos de a DUAL de S. • • • Exemplo: a dual de S: ~p ˄ (q ˅ r) é ~p ˅ (q ˄ r) De posse dessa informação, podemos anunciar o Princípio de Dualidade: se, duas composições compostas P e Q formadas por apenas negação, conjunção e disjunção são equivalentes, logo as duais de P e Q também são equivalentes. Exemplo: a equivalência p (p q) p, pelo Princípio de dualidade, é deduzida da equivalência p (p q) p.

• • • ARGUMENTOS E REGRAS DE INFERÊNCIA Ao final desta unidade, você deverá ser capaz de: - Definir argumento. - Conceituar validade de um argumento. - Citar o critério de validade de argumento. - Verificar a associação da condicional a um argumento. - Citar os argumentos válidos fundamentais. - Identificar e usar as regras de inferência. - Conceituar quantificador

• 01 - Argumentos • - Denomina-se argumento toda seqüência de proposições (simples ou compostas) que, no final ocasiona uma proposição Q. Observe: • P 1, P 2, P 3, . . . , Pn Ⱶ Q (n ≥ 1) • Onde, P 1, P 2, P 3, . . . , Pn são as premissas do argumento e Q a conclusão. • O argumento do tipo P 1, P 2, P 3, . . . , Pn Ⱶ Q é lido da seguinte maneira: “P 1, P 2, P 3, . . . , Pn ocasionam Q” ou “Q deriva de P 1, P 2, P 3, . . . , Pn” • Denomina-se Silogismo a todo argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão.

• • 02 - Validade de um Argumento Considera-se um argumento válido se e somente se a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que as premissas P 1, P 2, P 3, . . . , Pn são verdadeiras. Quando o argumento não é válido denominamos, o mesmo, de Sofisma (incorreto) 03 - Critério de Validade de um Argumento - Dizemos que um argumento P 1, P 2, P 3, . . . , Pn Ⱶ Q é válido se e somente se a condicional abaixo é tautológica. (P 1 ˄ P 2 ˄ P 3. . . ˄ Pn) → Q É relevante notar que numa condicional associada a um argumento, denominamos de antecedente a conjunção de premissas (P 1 ˄ P 2 ˄ P 3 . . . ˄ Pn) e de conseqüente a conclusão Q (condicional associada ao argumento dado).

• • • Exemplo: - Dado o argumento (p → q ˅ r), ~s, (q ˅ r → s) Ⱶ (s → p ˄ q). A condicional associada a esse argumento é representada por (p → q ˅ r) ˄ ~s ˄ (q ˅ r → s) → (s → p ˄ q). 04 - Argumentos Válidos Fundamentais 4. 1 - Adição (AD): 4. 2 - p Ⱶ p ˅ q 4. 3 - p Ⱶ q ˅ p • • • 4. 2 - Simplificação (SIMP): 4. 2. 1 - p ˄ q Ⱶ p 4. 2. 2 - p ˄ q Ⱶ q • • • 4. 3 - Conjunção (CONJ): 4. 3. 1 - p, q Ⱶ p ˄ q 4. 3. 2 - p, q Ⱶ q ˄ p • • 44 - Absorção (ABS): p → q Ⱶ p → (p ˄ q)

• • • • 44 - Absorção (ABS): p → q Ⱶ p → (p ˄ q) 4. 5 - Modus Ponens (MP): p → q, p Ⱶ q 4. 6 - Modus Tollens (MT): p → q, ~q Ⱶ ~p 4. 7 - Silogismo Disjuntivo (SD): 4. 7. 1 - p ˅ q, ~p Ⱶ q 4. 7. 2 - p ˅ q, ~q Ⱶ p 4. 8 - Silogismo Hipotético (SH): p → q, q → r Ⱶ p → r 4. 9 - Dilema Construtivo (DC): p → q, r→ s, p ˅ r Ⱶ q ˅ s 4. 10 - Dilema Destrutivo (DD): p → q, r→ s, ~q ˅ ~s Ⱶ ~p ˅ ~r