Lgica de Predicados Tableaux semnticos Sistema de Tableaux

Lógica de Predicados Tableaux semânticos

Sistema de Tableaux Semânticos n n n Alfabeto da Lógica de Predicados Conjunto de fórmulas da Lógica de Predicados Conjunto de regras de dedução (ou regras de inferência)

R 1=H^G H G R 2=Hv. G R 3=H G H H R 4=H G R 5= H H H^G H^ G R 7= (Hv. G) H G G G R 6= (H^G) H G R 8= (H G) R 9= (H G) H G H^ G

Regras para quantificadores R 10= ( x)H ( x) H R 11= ( x)H ( x) H R 12=( x)H H(t) R 13= ( x)H H(t) onde t é novo, que não apareceu na prova ainda onde t é qualquer R 10 e 12 devem ter preferência! Por quê? ? ?

Características do Método de Tableau Semântico n Baseado em árvores n n Ramos são decomposições de H em subfórmulas ou seja, possibilidades de interpretações da fórmula Cada ramo representa uma ou mais interpretações Adequado para implementação!

Idéia Básica de Tableaux Semânticos n n n Concebido por E. Beth (1954) e Jaako Hintikka (1955) Cada interpretação representa um mundo possível Interpretação – caminho da raiz da árvore a uma folha “Semântica dos Mundos Possíveis” Buscam admissões de interpretações

Características do Método de Tableau Semântico (cont. ) n n n Sistema de refutação Prova por negação ou absurdo Para provar H supõe-se inicialmente, por absurdo, H As deduções desta fórmula levam a um fato contraditório (ou absurdo) Então H é verdade!!

Construção de um Tableau n n n Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(Av. B), (A^ B)} 1. Av. B 2. A^ B 3. A B R 2, 1. 4. A A R 1, 2. 5. B B R 1, 2.

Construção do mesmo Tableau mais curto n Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(Av. B), (A^ B)} 1. Av. B 2. A^ B 3. A R 1, 2. 4. B R 1, 2. n 5. A n n B R 2, 1.

Heurística para aplicação de regras para tableau n Advindas do sistema de tableau analítico n n n “First Order Logic”, R. Smullyan (1970) Adiar a bifurcação Aplicar primeiro as regras que não bifurquem n Árvore menor => menos interpretações a serem analisadas

Ramo aberto e fechado n n Ramo fechado – contém uma fórmula B e sua negação B, ou o símbolo de verdade false Tableau fechado – não contém ramos abertos

Prova e Teorema em Tableaux Semânticos n Uma prova de H usando tableaux semânticos é. . . n n n Um tableau fechado associado a. . . H! Neste caso, H é um teorema do sistema de tableaux semânticos

Exemplo de Prova em Tableaux Semânticos n n Como provar H= ((P Q)^( P))? ? Gerar um tableau fechado para H: n ( ((P Q)^( P)))

n n n 1. ( ((P Q)^( P))) 2. (P Q)^( P) 3. P Q 4. P Q 5. P 6. P 7. P Q fechado n 8. P^ Q P^Q n 9. P P n 10. Q Q fechado n R 5, R 1, R 5, 1. 2. 2. 2. 5. R 3, 3. R 9, 4. R 1, 8.

n n n n 1. ( (P Q)v P)) 2. (P Q) 3. P 4. P 5. P^ Q 6. P 7. Q aberto P^Q P Q fechado

Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos n n Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses b={H 1, H 2, . . . Hn}, então H é conseqüência lógica em tableaux semânticos de b se existe uma prova, usando tableaux semânticos de n (H 1^H 2^. . . ^Hn) H

Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos n Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses b={H 1, H 2, . . . Hn} em tableaux semânticos, diz-se que: n b├ H ou n {H 1, H 2, . . . Hn}├ H

Exemplo de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos n n n Guga é determinado Guga é inteligente Se Guga é determinado, ele não é um perdedor Guga é um atleta se é amante do tênis Guga é amante do tênis se é inteligente “Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações acima? ?

Solução n n n Provar H=(P^Q^((P^R) P 1)^(Q 1 R)^(Q Q 1)) P 1 Mostrando que H é absurdo (P^Q^((P^R) P 1)^(Q 1 R)^(Q Q 1)) P 1) gera um tableau fechado?

Exercícios de Formalização n A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sextafeira. (C, S, A)

Solução n A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira. C: A proposta de auxílio está no correio. S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira. A: Os árbitros analisarão a proposta. {C, S A, C S} |-- A

Exercício n Hoje é Sábado ou Domingo. Se hoje é Sábado então é um fim de semana. Se hoje é Domingo então é um fim de semana. Portanto, hoje é um fim de semana.

Exercício n Se hoje é Quinta-feira, então amanhã será sexta-feira. Se amanhã for sextafeira, então depois de amanhã será sábado. Conseqüentemente, se hoje for quinta-feira, então depois de amanhã será sábado.

Exemplo 1: Construção de um Tableau n n n n H=( x)( y)p(x, y) p(a, a) é tautologia? Tableau sobre H: 0. (( x)( y)p(x, y) p(a, a)) 1. ( x)( y)p(x, y) R 8, 0 2. p(a, a) R 8, 0 3. ( y)p(a, y) R 13, 1 com t=a 4. p(a, a) R 13, 3 com t=a fechado

Exemplo 2: Construção de um Tableau n n n n n H=( x)p(x) ( y)p(y) é tautologia? Tableau sobre H: 0. (( x)p(x) ( y)p(y)) 1. ( x)p(x) R 8, 0 2. ( y)p(y) R 8, 0 3. ( y) p(y) R 11, 2 4. p(a) R 13, 3 com t=a 4. p(a) R 13, 1 com t=a fechado

Exemplo 3: Construção de um Tableau n n W= ( x)(Bom(x) Alegria) ( x) (Bom(x) Alegria) Tableau sobre W? ? ?

n n n 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. (( x)(Bom(x) Alegria) ( x) (Bom(x) Alegria)) ( x)(Bom(x) Alegria) R 8, 0 ( x) (Bom(x) Alegria)) R 8, 0 ( x)(Bom(x) Alegria) R 5, 1 ( x) (Bom(x) Alegria) R 11, 2 ( x)Bom(x) R 8, 4 Alegria R 8, 4 Bom(a) R 13, t=a 8. ( x) Bom(x) 9. Bom(a) fechado Alegria fechado R 3, 3 R 13, 8, t=a

Exercícios n n n J=(( x)p(x)^( x)q(x)) ( x)(p(x)^q(x)) P=( x)(p(x)^q(x)) ( x)p(x)^ ( x)q(x)) Q=( x)(p(x) ( y)(p(y))

Exemplo de prova n n n n M=( x)( y)p(x, y) p(a, a) 0. (( x)( y)p(x, y) p(a, a)) 1. ( x)( y)p(x, y) R 8, 0 2. p(a, a)) R 8, 0 3. ( y)p(t 1, y) R 12, 1, t 1 novo, t 1 =a 4. p(t 1, t 2) R 12, 1, t 2 novo, t 2 =a e t 1 Fechado? ? ? Se R 12 fosse usada com t 1 e t 2=a (errado!), o tableau seria fechado

Exemplo 2 de prova n n H=( x)p(x)^q(x) ( x)p(x) é tautologia? Fazer o Tableau sobre H

Exemplo 2 de prova (cont. ) n n n n n H=( x)p(x)^q(x) ( x)p(x) 0. (( x)p(x)^q(x) ( x)p(x)) 1. ( x)p(x)^q(x) R 8, 0 2. ( y)p(x) R 8, 0 3. p(t) R 12, 2, t novo 4. p(t)^q(t) R 13, 1, t qualquer 4. p(t) R 1, 4 5. q(t) R 1, 4 6. Fechado - Que alegria

Mais exercícios. . . Fumo!! n n n n E 1=( x)(p(x) q(x)) E 2=( x)p((x) ( x)q(x)) E 1 E 2? ? G 1=( x)(p(x) q(x)) G 2=( x)p((x) ( x)q(x)) G 1 G 2? ? G 2 G 1? ?

Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos n n Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses b={H 1, H 2, . . . Hn}, então H é conseqüência lógica em tableaux semânticos de b se existe uma prova, usando tableaux semânticos de n n (H 1^H 2^. . . ^Hn) H Porém em Lógica de 1ª. Ordem, isto é raro. . .

Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos n n Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses b={H 1, H 2, . . . Hn} em tableaux semânticos, diz -se que: n b├ H ou n {H 1, H 2, . . . Hn}├ H n ├{H 1, H 2, . . . Hn, H} Queremos provar, por negação ao absurdo, que b U H é insatisfatível n b U H├ Falso

Exercício de Cons. Lógica n n {( x)(Homem(x) Mortal(x)), Homem(Sócrates)} ├ Mortal(Sócrates)? Prova por tableaux de H =( x)(Homem(x) Mortal(x))^ Homem(Sócrates)) Mortal(Sócrates) H= (( x)(Homem(x) Mortal(x))^ Homem(Sócrates)) Mortal(Sócrates))

Exercício de Cons. Lógica (cont. ) n n n n H= (( x)(Homem(x) Mortal(x))^ Homem(Sócrates)) Mortal(Sócrates)) Por R 8, queremos um tableau fechado que começa SEMPRE com as premissas e negação dõ conseqüente 1. ( x)(Homem(x) Mortal(x))^ Homem(Sócrates)) R 3, 0 2. ( x)(Homem(x) Mortal(x)) R 1, 1 3. Homem(Sócrates) R 1, 1 4. Mortal(Sócrates) R 3, 0 Portanto se eu gerar o conseqüente (Mortal(Sócrates)) diretamente, eu já tenho uma contradição! n Podem (e devem) usadas outras contradições

Exercício de Cons. Lógica (cont. ) n n n n 1. ( x)(Homem(x) Mortal(x))^ Homem(Sócrates)) 2. ( x)(Homem(x) Mortal(x)) 3. Homem(Sócrates) 4. Mortal(Sócrates) 5. Homem(Sócrates) Mortal(Sócrates) 6. Homem(Sócrates) Fechado Mortal(Sócrates) Fechado

E para a implementação? ?

Tem um probleminha. . . n n n 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. (( x)(Bom(x) Alegria) ( x) (Bom(x) Alegria)) ( x)(Bom(x) Alegria) R 8, 0 ( x) (Bom(x) Alegria)) R 8, 0 ( x)(Bom(x) Alegria) R 5, 1 ( x) (Bom(x) Alegria) R 11, 2 ( x)Bom(x) R 8, 4 Alegria R 8, 4 Bom(a) R 13, t=a 8. ( x) Bom(x) Alegria 9. Bom(a 1) fechado 10. Bom(a 2). . E nunca fazer x=a R 3, 3 R 13, 8, t=a

Solução n Tableaux semânticos podem ser usados, mas n n Podem não ser decidíveis (por quê? ) ocupam muita memória, para gerar as instanciações possíveis n Aguardem os próximos capítulos. . . n Unificação!!