Lgica de Predicados Semntica Interpretaes mais elaboradas do

Lógica de Predicados Semântica

Interpretações mais elaboradas do que as da Lógica Proposicional n n De novo, associar significados a símbolos sintáticos Como fica isso, com variáveis, quantificadores, predicados, funções? ? H=( x)( y)p(x, y) De que depende a interpretação da fórmula acima?

Interpretações em Lógica de Predicados - Predicados n n n Em 1º. lugar, do predicado p Se I[p]= < (“menor que”), então I[p(x, y)]=T D I[x]<I[y] D x. I < y. I Interpretando informalmente os quantificadores, temos que n n n I[H]= “para todo x. I”, “existe um y. I” tal que x. I<y. I I[H] é verdadeira ou falsa? ?

Interpretações em Lógica de Predicados - Domínios n Ainda não dá pra determinar. . . n n n Se U =[0, ) então I[H]=T n n Quais os x. I e y. I a ser considerados? Ou seja, que domínio U de x. I e y. I? “para todo x. I”, x. I U, “existe um y. I”, x. I U, tal que x. I<y. I E a interpretação J, com U=(- , 0], J[p]= < , J[H]=? ? ?

Interpretações n n n Falsa! Porque se x. J=0, não existe y. J tal que x. J, y. J U e x. J<y. J Não é preciso ter as interpretações de x. J e y. J para se ter I[H] e J[H] Por quê? ?

Interpretações e símbolos livres n Porque x e y não símbolos livres em H Só precisamos definir a interpretação do símbolo livre p n E se G=( x)p(x, y), J[G]=? ? ? n

Interpretações e símbolos livres (cont. ) n Para determinar J[G]. . . n n dependemos de J[p] e J[y] y é um símbolo livre n Se J[p] = e J[y]=-5 => J[G]= F n n n “para todo x. J”, x. J (- , 0], x. J -5 Porém, se y. J=0 => J[G]=T . . . Dependemos do n n Domínio de interpretação Valor das interpretações dos símbolos livres

Formalizando: Interpretação de váriáveis e funções n n n Extensão da interpretação proposicional Há interpretações para termos e expressões Se U é um conjunto não-vazio, uma interpretação I na Lógica de Predicados é uma função tal que: n n n O domínio de I é o conjunto de símbolos de função, predicados e expressões Para toda variável x, se I[x]=x. I, então x. I U Para todo símbolo de função n-ário f, se I[f]=f. I, então f. I é uma função n-ária em U n f. I: U**n U

Interpretação de predicados, constantes e símbolos n Analogamente, para todo símbolo de predicado n-ário p, se I[p]=p. I, então p. I é um predicado n-ário em U n n A interpretação de um predicado zero-ário é igual à interpretação de seu símbolo n n p. I: U**n {T, F} Se I[P] = PI, então PI {T, F} A interpretação de uma função zero-ária é igual à interpretação de uma constante n Se I[b] = b. I, então b. I U

Interpretação de fórmulas – não-quantificadas n Se E é uma expressão, I uma interpretação sobre o domínio U. I[E] é dada por: n n Se E=false, I[E]=I[false]=F (o mesmo com true) Se E = f(t 1, t 2, . . . , tn) (um termo), então n n n I[E]= I[f(t 1, t 2, . . . , tn)]=f. I(t. I 1, t. I 2, . . . , t. In), onde I[f]=f. I e para todo ti, I[ti]=t. Ii Se E = p(t 1, t 2, . . . , tn) (um átomo), então n n I[E]= I[p(t 1, t 2, . . . , tn)]=p. I(t. I 1, t. I 2, . . . , t. In), onde I[p]=p. I e para todo ti, I[ti]=t. Ii

Interpretação de fórmulas – não-quantificadas (cont. ) n Se H é uma fórmula e E= H, então n n n I[E]=I[ H]=T se I[H]=F e I[E]=I[ H]=F se I[H]=T Se H e G são fórmulas, e E=(Hv. G), então n n I[E]=I[Hv. G]=T se I[H]=T e/ou I[G]=T e I[E]=I[Hv. G]=F se I[H]=F e I[G]=F

Interpretação de Expressões n n Dados H=( p(x, y, a, b)) r(f(x), g(y)) e G= p(x, y, a, b) (q(x, y)^r(y, a)) A interpretação I, onde U=[0, ) n n n I[x]=3, I[y]=2, I[a]=0, I[b]=1 I[p(x, y, z, w)]=T D x. I*y. I>z. I*w. I I[q(x, y)]=T D x. I<y. I, I[r(x, y)]=T sse x. I>y. I I[f(x)]=x. I+1, I[g(x)]=x. I-2, Lembrar que I[x]=x. I n o objeto x. I é o significado de x em I e x. I N

Interpretação de Expressões – Tabela verdade Sintaxe x y a b p(x, y, a, b) f(x) g(y) q(x, y) r(y, a) H G Semântica 3 2 0 1 T T n n n 4 0 F T Observe que I[x]=3, . . . , I[H]=T, I[G]=T As interpretações de f e g são elementos do domínio de I (N) As interpretações de H e G e dos átomos p(x, y, a, b), q(x, y) e r(y, a) são valores de verdade F

Domínio de Interpretação n Seja I uma interpretação sobre N onde n n n n I[a]=25, I[b]=5, I[f(x, y)]=x. I/y. I I interpreta a constante a como 25 I interpreta f como a função divisão Então I[f(a, b)]=5, pois I[f]=f. I, onde f. I: U*U U Porém, se I[c]=0, I[f(x, c)] não está definida! Então o domínio de f é Nx. N* Q (racionais) => Se o domínio de I for N, I[f] não pode ser a função divisão E para raiz quadrada? ?

Interpretação de fórmulas – quantificadas n n n Se H é uma fórmula, x uma variável e I uma interpretação sobre U I[( x)H]=T D d U; <x <- d>I[H]=T I[( x)H]=F D d U; <x <- d>I[H]=F I[( x)H] =T D d U; <x <- d>I[H]=T I[( x)H] =F D d U; <x <- d>I[H]=F n Onde <x <- d> significa “interpretação de x como d” ou <x <- d>I[x]=d

Exemplo de Interpretação de fórmulas quantificadas n I é uma interpretação sobre o conjunto de alunos do CIn (aluno-CIn) tal que n n I[p(x)]=T D x. I é inteligente H 1= ( x)p(x). O que é I[H 1]=T? I[H 1]=T D I[( x)p(x)]=T D d aluno-CIn; d é inteligente D d aluno-CIn; p. I(d)=T D d aluno-CIn; <x <- d>I[p(x)]=T d aluno-CIn, se x é interpretado como d n Então p(x) é interpretado como T

Exemplo de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont. ) n n n I[H 1]=F? I[H 1]=F D I[( x)p(x)]=F d aluno-CIn; d é burro D d aluno-CIn; p. I(d)=F d aluno-CIn; <x <- d>I[p(x)]=F Nem todo aluno-CIn é inteligente n n d aluno-CIn; <x <- d>I[p(x)]=F d aluno-CIn, se x é interpretado como d n Então p(x) é interpretado como F D D

Exemplo 2 de Interpretação de fórmulas quantificadas n n n H 2= ( x)p(x). O que é I[H 2]=T? I[H 2]=T D I[( x)p(x)]=T D d aluno-CIn; d é inteligente D d aluno-CIn; p. I(d)=T D d aluno-CIn; <x <- d>I[p(x)]=T d aluno-CIn, se x é interpretado como d n Então p(x) é interpretado como T

Exemplo 2 de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont. ) n n n I[H 2]=F? I[H 2]=F D I[( x)p(x)]=f d aluno-CIn; d é burro D d aluno-CIn; p. I(d)=F d aluno-CIn; <x <- d>I[p(x)]=F Não existe aluno-CIn inteligente n n d aluno-CIn; <x <- d>I[p(x)]=F d aluno-CIn, se x é interpretado como d n Então p(x) é interpretado como F D D

Exemplo 3 de Interpretação de fórmulas quantificadas n Se I uma interpretação sobre N, tal que n n n I[x]=3, I[a]=5, I[y]=4, I[f]=+, I[p]=< G=( x)p(x, y) “Todo natural é menor que 4”

Exemplo 3 de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont. ) n n n I[G]=F D I[( x)p(x, y)]=F D d N; <x <- d>I[p(x, y)]=F D d N; d<4 é F, que é verdadeira DI[G]=F é verdadeira A interpretação de G segundo I é falsa Não foi usada I[x]=3, n E sim a versão estendida <x <- d>

Exemplo 4 de Interpretação de fórmulas quantificadas n n n E=( x) ( y)p(x, y) “Para todo natural x, existe outro natural y tal que y>x” I[E]=T D I[( x)( y)p(x, y)]=T D d N; <x <- d>I[( y)p(x, y)]=T D d N, c N; <y <- c><x <- d>I[p(x, y)]=T D “ d N, c N; d<c é verdadeiro”, que é verdadeira DI[E]=T é verdadeira

Exemplo 4 de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont. ) n I[E]=F D I[( x) ( y)p(x, y)]=F D d N; <x <- d>I[( y)p(x, y)]=F D d N, c N; <y <- c><x <- d>I[p(x, y)]=F D d N, c N; d<c é falso D d N, c N; d>=c é verdadeira, que é falsa! (não existe um no. maior que todos!) DI[E]=F é falso DI[E]=T

Ordem n n n A ordem das extensões é o inverso da ordem dos quantificadores sintáticos na fórmula A ordem dos quantificadores semânticos é a mesma dos sintáticos Não é preciso usar as interpretações I[x]=3 e I[y]=4, pois x e y são ligadas n Usa-se a interpretação estendida n <y <- c><x <- d>I[p(x, y)] que não usa I[x] ou I[y]

Interpretação de conjunções de fórmulas quantificadas n n E 1=E^G anteriores I[E 1]=F, pois I[G]=F e I[E]=T n Resolve-se I[E] e I[G] primeiro

Exemplo 5 de Interpretação de fórmulas quantificadas n I em Q* (racionais, exceto o zero) n n n I[a]=1, I[b]=25, I[x]=13, I[y]=77, I[f]=/, I[p]=< H 1= ( x)p(x, y) I[H 1]=T D I[( x)p(x, y)]=T D d Q*<x <- d>I[p(x, y)]=T D “ d Q*, d<77 é verdadeiro”, ou “d<77 é verdadeiro d Q*”, que é falsa! D I[H 1]=T é falsa D I[H 1]=F

Exemplo 5 de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont. ) n I[H 1]=F D I[( x)p(x, y)]=F D d Q*<x <- d>I[p(x, y)]=F D “ d Q*, d<77 é falso”, ou “d<77 é falso para algum d Q*”, que é verdadeira! D I[H 1]=F é verdadeira D I[H 1]=F

Exemplo 6 de Interpretação de fórmulas quantificadas n n H 2= ( x)p(x, y) I[H 2]=T D I[( x)p(x, y)]=T D d Q*<x <- d>I[p(x, y)]=T D “ d Q*, d<77 é verdadeiro”, ou “d<77 é verdadeiro d Q*”, que é verdadeira! D I[H 2]=T é verdadeira D I[H 2]=T

Exemplo 6 de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont. ) n I[H 2]=F D I[( x)p(x, y)]=F D d Q*<x <- d>I[p(x, y)]=F D “ d Q*, d<77 é falso”, ou “d<77 é falso para todo d Q*”, que é falsa! D I[H 2]=F é falsa D I[H 2]=T

Exemplo 7 de Interpretação de fórmulas quantificadas n n n n G=( x)( y)p(x, y) p(b, f(a, b)) Para provar que I[G]=T por absurdo I[G]=F D I[( x)( y)p(x, y) p(b, f(a, b))]=F D I[( x)( y)p(x, y)]=T e I[p(b, f(a, b))]= F Mas I[p(b, f(a, b))] sse (25<(1/25)) que é falsa E I[( x)( y)p(x, y)]=T D d Q*, <y <-c><x <- d>I[p(x, y)]= T D d Q*, d Q*; d<c, que é verdadeira D I[( x)( y)p(x, y)]=T realmente Então I[G]=F realmente Não usamos I[x] e I[y] já que x e y estão ligadas em G

Exemplo 8 de Interpretação de fórmulas quantificadas n n H=( x)( y)p(x, y) p(f(a, b) Para provar que I[H]=T por absurdo I[H]=F D I[( x)( y)p(x, y) p(f(a, b)]=F D I[( x)( y)p(x, y)]=T e I[p(f(a, b)]= F Mas I[p(f(a, b)] sse ((1/25)<25) que é verdadeira e contradiz I[p(f(a, b)]= F n que contradiz I[H]=F. Então I[H]=T

Exemplo 9 de Interpretação de fórmulas quantificadas n n H 3= ( x)( y)p(x, y) Só há variáveis livres de em H 3 (x e y) n É preciso usar as interpretações n n I[x]=13 e I[y]=77 I[p(x, y)]=T => I[H 3]=T

Exemplo 10 de Interpretação de fórmulas quantificadas n n H 4= ( x)(( y)p(x, y) p(x, y)) Só y é livre em H 4 n n n É preciso usar a interpretação I[y]=77 I[H 4]=F D I[( x)(( y)p(x, y) p(x, y))]=F D d Q*<x <- d>I[( y)p(x, y)]=T e <x <- d> I[p(x, y))]=F D d Q*, c Q*<y <-c><x <- d>I[p(x, y)]=T e <x <- d>I[p(x, y))]=F D d Q*, c Q*(d<c) é verdadeiro e (d<77) falso I[H 4]=F realmente

Exemplo 11 de Interpretação de fórmulas quantificadas n n E=( x)( y)p(x, y) p(f(a, b), x) Note que x. I tal que (1/25)<x. I n n n I[p(f(a, b), x)]=T e I[E]=T Para provar que I[E]=T por absurdo I[E]=F D I[( x)( y)p(x, y) p(f(a, b), x)]=F n n Mas I[( x)( y)p(x, y)]=T (exemplo anterior) e I[p(f(a, b), x)] equivale a (1/25)<x. I

Exemplo 11 de Interpretação de fórmulas quantificadas - Conclusão n Nos casos em que (1/25)<x. I n n n I[p(f(a, b), x)]=T, e temos uma contradição (era F) I[E]=T Nos casos em que (1/25)>=x. I n I[E]=F

Façam os exercícios do livro!!