Lgica 4 Proposicin Expresin de la que tiene

Lógica 4 Proposición – Expresión de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa. 4 Ejemplos – 1 + 4 = 5 (Verdad) – La Pampa es una nación. (Falso) – 8 + 23 (no es proposición) – María (ídem anterior) 1

Proposición Atómica 4 Una proposición es atómica si no puede ser descompuesta en proposiciones más simples. 4 Las proposiciones atómicas son indicadas de manera afirmativa. 4 Ejemplos: – La casa es grande. (es atómica) – La casa no es grande. ( no es atómica) – Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica) 2

Proposición Molecular 4 Una proposición es molecular si no es atómica, es decir, si puede ser descompuesta en proposiciones más simples. 4 Una proposición molecular se forma al unir proposiciones atómicas utilizando conectivos lógicos o términos de enlace. 3

Conectivos Lógicos 4

Proposiciones Moleculares 4 Ejemplos – Vamos en bicicleta o vamos a pie. – No es cierto que Juan llegó temprano – Juan no llegó temprano – Luis es arquitecto y Martín es médico. – La medalla no es de plata y el diploma parece falso. – Matías aprobó pero Lucas no. 5

Simbolización 4 Se utilizarán letras minúsculas para simbolizar las proposiciones atómicas. 4 Ejemplo: – El Sr. Domínguez es el gerente. Si se considera p = “El Sr. Domínguez es el gerente” esta proposición puede ser simbolizada como p. 6

Simbolización 4 Para simbolizar un proposición – Identificar las proposiciones atómicas – Simbolizar las proposiciones atómicas encontradas. – Utilizar los conectivos lógicos para relacionarlas. 7

Simbolización 4 Ejemplos – Vamos en bicicleta o vamos a pie. p : “Vamos en bicicleta”. q : “Vamos a pie” Simbolización: p v q – No es cierto que Juan llegó temprano p = “Juan llegó temprano”. Simbolización : p 8

Simbolización 4 Ejemplo – La medalla no es de plata y el diploma parece falso. p : “La medalla es de plata”. q : “El diploma parece falso” Simbolización: p ^ q 9

Simbolización 4 Ejemplo – Matías aprobó el examen pero Lucas no. r = “Matías aprobó el examen”. s = “Lucas aprobó el examen” Simbolización : r ^ s 10

Tabla de Verdad 4 La tabla de verdad de una proposición molecular muestra todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. 11

Negación 4 Indique el valor de verdad de: – El número 9 no es divisible por 3. – No es cierto que los perros vuelan. 12

Conjunción 4 Indique el valor de verdad de : – 6 es un número par y divisible por 3. –(2+5=7) y(2*3=9) 13

Disyunción 4 Indique el valor de verdad de : – 2 es primo o es impar. – (2 + 3 = 4 ) o (2 * 2 = 5) 14

Construcción de tablas de verdad 4 ¿Cuántas filas tiene la tabla? – 1 proposición 2 valores (V o F) – 2 proposiciones 4 valores de verdad – 3 proposiciones 8 valores de verdad –. . – n proposiciones 2 n valores de verdad. 15

Ejemplos 4 Construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones p^q (pvq)^ p (p ^ r ) v ( p ^ q) 16

Ejercicio 4 Sabiendo que p y q son proposiciones verdaderas y que r y s son proposiciones falsas, determinar el valor de verdad de las proposiciones moleculares siguientes: (p ^ q ) v (q ^ v p) (r (r ^ v p) s) v v s (q ^ r) 17

Ejercicio 4 Sabiendo que (p v q ) ^ ( p ^ s) es verdadera indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen 18

Ejercicio 4 Sabiendo que ( p ^ q ) v ( p v q ) es falsa indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen 19

Proposiciones moleculares 4 Según su valor de verdad pueden ser – Tautología – Contradicción – Contingencia 20

Tautología 4 Una proposición molecular es una tautología si es cierta, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. 4 Ejemplo: p v p 21

Contradicción 4 Una proposición molecular es una contradicción si es falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. 4 Ejemplo: p ^ p 22

Contingencia 4 Se dice que una proposición molecular es una contingencia si al construir la tabla de verdad el resultado final que se obtiene, es una combinación valores de verdaderos y falsos. 4 Ejemplo: p ^ q 23

Ejemplos 4 Indicar para cada una de las siguientes proposiciones si se trata de una tautología, contradicción o contingencia (p^q) v(pvq) ( q ^ p ) ^ (q ^ p) 24

Equivalencia Lógica 4 Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes si poseen los mismos valores de verdad (para los mismos valores de verdad de sus variables) 4 Ejemplo: 25

Ejemplo: p q pvq V V V F V F F V p q p^q V V F F F V V F F V V V 26

Leyes de De Morgan 4 La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones de las proposiciones involucradas. (p v q) ( p ^ q ) 4 La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones de las proposiciones involucradas. (p ^ q) ( p v q) 27

Proposición condicional 4 Dadas dos proposiciones p y q, la proposición "si p entonces q" se llama proposición condicional y se escribe p q donde p es llamada antecedente o hipótesis, y q consecuente o tesis. 28

Proposición condicional 4 Ejemplo: Si resolvemos la tarea entonces aprenderemos la lección p = "resolvemos la tarea" q = "aprenderemos la lección" Simbolizando: p q 29

Proposición condicional 4 Ejemplo: Si vamos a la fiesta entonces no nos acostaremos temprano p = "vamos a la fiesta" q = "nos acostaremos temprano" Simbolizando: p q 30

Tabla de verdad del condicional p q V V V F F F F V La implicación de p a q es falsa únicamente en el caso de que el antecedente p sea verdadero y que el consecuente q sea falso 31

Proposición Condicional 4 Existen distintas formas de leer un condicional: – “Si p entonces q”. – “q es una condición necesaria para p” – “p es una condición suficiente para q”. 32

Distintas formas de indicar una proposición condicional 4 Ejemplo: p : El entero x es múltiplo de 4 q : El entero x es par – Si el entero x es múltiplo de 4, entonces es par – Que el entero x sea múltiplo de 4 es suficiente para que sea par – Que el entero x sea par es necesario para que sea múltiplo de 4. 33

Proposición condicional 4 La contrapositiva de la proposición condicional p q es la proposición q p 4 Muestre la equivalencia lógica: p q q p 34

Proposición condicional 4 La recíproca de la proposición condicional p q es la proposición q p 4 ¿Son lógicamente equivalentes? ? p q q p 35

Proposición bicondicional p V V F F q V F p q V F F V 4 Observando la tabla notamos que el bicondicional distingue si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, o valores de verdad distintos. 36

p q (p q) ^ (q p) p q q p (p q) ^ (q p) V V V F F V V V 37

Razonamiento 4 A partir de un conjunto de proposiciones tomadas como base de argumentación se deduce una conclusión. 38

Ejemplo de razonamiento 4 Si llueve entonces no iremos a caminar. Llueve. Por lo tanto no iremos a caminar. p = “llueve” q = “iremos a caminar” ( (p q) ^ p ) q Para demostrar que el razonamiento es correcto hay que ver si esta proposición es una tautología 39

Tabla de verdad de ( (p q) ^ p ) q p V V F F q V F p q (p q) ^ p ( (p q) ^ p ) q V F V V V F F F V V La tabla indica que el razonamiento es correcto independientemente de las proposiciones utilizadas 40

Forma general de razonamiento 4 El razonamiento será válido si la expresión anterior es una tautología 41

Ejemplo: Demostrar si el siguiente razonamiento es correcto 4 “Si estudio todos los temas y estoy inspirado entonces aprobaré el examen. No estoy inspirado. Por lo tanto, no aprobaré el examen. ” 4 Simbolización: p = “estudio todos los temas” q = “estoy inspirado” r = “aprobaré el examen” ¿ Es una falacia ? [( (p ^ r ) q) ^ r ] q 42

Resumen 4 Un razonamiento es una fórmula condicional p 1 ^ p 2 ^ … ^ pk c 4 Las proposiciones p 1, p 2, . . pk son las premisas del razonamiento 4 La proposición c es la conclusión del razonamiento 4 El razonamiento es una forma válida si p 1 ^ p 2 ^ … ^ pk c es una tautología. 4 El razonamiento es una forma inválida o falacia si p 1 ^ p 2 ^ … ^ pk c no es una tautología. 43

Notación 4 El razonamiento p 1 ^ p 2 ^ … ^ pk c también puede escribirse como p 1 p 2 … pk c 44

Ejemplo: decir si se trata de un razonamiento válido o no 4 Si Rumas evitó la maldición entonces, o bien engañó a las criaturas o bien construyó el castillo. 4 Si Rumas engañó a las criaturas, entonces no construyó el castillo 4 Por lo tanto: si Rumas evitó la maldición, entonces engañó a las criaturas. 45