LGEBRA MATRICIAL Matriz um agrupamento retangular de elementos
ÁLGEBRA MATRICIAL
� Matriz é um agrupamento retangular de elementos, dispostos em m linhas e n colunas, onde m e n são números inteiros maiores ou iguais a 1. � O tamanho (ou dimensão) de uma matriz corresponde ao número de linhas e colunas existentes na matriz, por esse motivo denominada matriz (lê-se m por n) ou matriz de ordem. � Dada a matriz A do tipo , denomina-se o elemento ao componente da matriz que ocupar a linha i e a coluna j, onde. Continua
Continuação � Uma matriz é representada da seguinte maneira:
� Seja a matriz . a) Se m = 1 e n > 1, a matriz é chamada matriz linha. b) Se m > 1 e n = 1, a matriz é denominada matriz coluna. Continua
Continuação c) Se m = n, a matriz é dita matriz quadrada de ordem m. d) Diagonal principal de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz , tais que i = j. e) Diagonal secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz , tais que i + j = n + 1. Continua
Continuação f) Matriz diagonal é uma matriz quadrada, onde aij = 0 para , isto é, todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos. g) Matriz nula é a matriz em que todos os seus elementos são nulos. Notação: . h) Matriz identidade é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais são todos nulos. Notação: In, onde n indica a ordem da matriz.
� Duas matrizes são iguais quando aij = bij para todo i = 1, . . . , m e todo j = 1, . . . , n.
� Dadas duas matrizes , denomina-se soma ou adição da matriz A com a matriz B, e indicada por A + B, a matriz , tal que Definição: Dada a matriz B, tal que A + B = 0. Notação: B = –A. Definição: Dadas duas matrizes . , chama-se matriz oposta de A a , denomina-se diferença da matriz A com a matriz B, e indicada por A – B, a matriz soma de A com a oposta de B (A – B = A + (–B)).
Operações com Matrizes: Adição e Subtração de Matrizes: só podemos somar ou subtrair matrizes de mesma ordem. Dadas as matrizes , e , calcule:
� O produto de um escalar (ou número real) k pela matriz , cuja notação é , é a matriz obtida multiplicando-se cada elemento de A por k .
� Dada a matriz , tal que , denomina-se transposta de A a matriz. Para determinar a matriz transposta da matriz A, basta trocar suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas. A notação utilizada é.
� Dadas duas matrizes de A por B a matriz onde: , chama-se produto , tal que:
Exemplo
� Uma matriz quadrada A, de ordem n, se diz inversível se existir uma matriz B, tal que. A matriz B é dita inversa de A. Uma matriz não inversível é denominada singular. Notação: B = A– 1
Matriz Inversa: O produto de uma matriz pela sua inversa é igual à matriz identidade. Sendo det A = 12 – 10 det A = 2 , determine
� O determinante de uma matriz é um escalar obtido dos elementos da matriz, mediante operações específicas. Os determinantes são definidos somente para matrizes quadradas. Indicamos o determinante da matriz por:
� O determinante da matriz é dado por:
Ex:
� O determinante da matriz é dado por:
� A Regra de Sarrus é utilizada, unicamente, para determinantes de matrizes de 3 a ordem. � Repetimos, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas dessa matriz. � Os termos precedidos pelo sinal “+” são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as setas situadas na direção da diagonal principal: a 11 a 22 a 33; a 12 a 23 a 31; a 13 a 21 a 32. � Os termos precedidos pelo sinal “–” são obtidos multiplicando-se os elementos de acordo com as setas situadas na direção da diagonal secundária: –a 13 a 22 a 31; –a 11 a 23 a 32; –a 12 a 21 a 33. Continua
Continuação � Observe o esquema a seguir:
Determinante de uma matriz de 3ª ordem (Regra de Sarrus) Ex:
Menor Complementar (Dij) É o determinante da matriz obtida após ser eliminada a linha e a coluna do elemento aij considerado. , calcule D 12 Ex. Sendo det = 3 + 10 det = 13 D 12 = 13
Cofator Ex. Dada a matriz , calcule C 21
Casos em que um determinante é igual a ZERO: Ex: 1) 2) • Quando todos os elementos de uma fila são nulos
Casos em que um determinante é igual a ZERO: 3) 4) • Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais
Casos em que um determinante é igual a ZERO: 5) 6) • Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.
Outras propriedades: Ex: 1) 2)
Outras propriedades: Ex: 1) 2) • O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal
Outras propriedades: Ex: 1) 2) • Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca de sinal
Outras propriedades: Ex: 1) 2) • Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também fica multiplicado por esse no
Outras propriedades: Ex: 1) 2) onde n é a ordem de A
Outras propriedades: Ex:
Ex: • det(A-1)=1/det. A
Teorema Fundamental de Laplace O determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fileira (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. D = 0 ∙ C 31 + 0 ∙ C 32 + 2 ∙ C 33 + 1 ∙ C 34 C 33 = (-1)6 ∙ = (-1)(3+3) ∙ ∙ (-26 + 33) = 7 = 1 D 33 -6 1 32 0 -20 -6
Teorema Fundamental de Laplace O determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fileira (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. D = 0 ∙ C 31 + 0 ∙ C 32 + 2 ∙ C 33 + 1 ∙ C 34 = (-1)7 ∙ = (-1)(3+4) ∙ ∙ (-14 + 31) = -17 = - 1 D 34 -4 16 15 15 -4 -10 0 0 16
Teorema Fundamental de Laplace O determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fileira (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. D = 0 ∙ C 31 + 0 ∙ C 32 + 2 ∙ C 33 + 1 ∙ C 34 D = 2 ∙ 7 + 1 ∙ (-17) D = 14 – 17 D=-3
Ex. Cálculo o determinante da matriz A.
Imagem disponibilizada por Andrejj/public domain Equações Lineares UM POUCO DA HISTÓRIA Gottfried W. Leibniz Imagem disponibilizada por Scewing/public domain Documentos históricos comprovam que antigas civilizações orientais, como babilônica e a chinesa, já trabalhavam com equações lineares. Já o interesse dos matemáticos ocidentais pelo tema aprofundou-se apenas no século XVII, a partir de um artigo do alemão Gottfried W. Leibniz (16461716), que estabeleceu condições para associar o sistema de equações lineares a um determinante. Em 1858, o matemático inglês Arthur Cayley (1821 -1895) notabilizou-se ao tratar de sistemas lineares representando, em forma de matrizes, os dados extraídos de sistemas de equações. Arthur Cayley
Equações Lineares APLICAÇÃO DAS EQUAÇÕES LINEARES A aplicação de equações e sistemas lineares é fundamental na resolução de problemas que envolvem equações com muitas incógnitas. Problemas desse tipo se apresentam por exemplo, na distribuição de energia elétrica, no gerenciamento das linhas de telecomunicações e na logística para transporte de mercadorias em uma região.
Acompanhe a situação a seguir Luísa foi ao caixa eletrônico sacar R$ 100, 00 de sua conta. Se o caixa havia apenas notas de R$ 10, 00, R$ 20, 00, e R$ 50, 00, de quantas maneiras ela pode ter efetuado o saque? Esse tipo de problema que pode ser expresso por meio de equação linear. Chamando de x o número de células de R$ 10, 00, y o número de células de R$ 20, 00 e z o número de células de R$ 50, 00, podendo associar essa situação à equação 10 x + 20 y + 50 z = 100. A equação 10 x + 20 y + 50 z = 100 é chamada equação linear.
Equações Lineares MATEMÁTICA Ensino Médio, 2° ano Matrizes: Operações
Na equação linear 4 x + 9 y + 8 z = 40, temos. Ensino Médio, 2° ano MATEMÁTICA, Equações Lineares ü x, y e z são as incógnitas; ü 4, 9 e 8 são os coeficientes; ü 40 é o termo independente;
Soluções de uma equação linear q Considere a equação 4 x + 9 y + 8 z = 40 x = 1 y = 4 z = 0 x = 3 y = 2 z = 1 4. 1 + 9. 4 + 8. 0 = 40 (Verdadeira) MATEMÁTICA Ensino Médio, 2° ano (falsa) 4. 3 + 9. 2 + 8. 1 ≠ 40 Matrizes: Operações
Sistemas Lineares MATEMÁTICA Ensino Médio, 2° ano Matrizes: Operações
Forma Matricial
Regra de Cramer
Soluções de um sistema linear por Cramer
Escalonamento • Método de Eliminação de Gauss (Seção 4) • A matriz Inversa e escalonamento (Seção 5) http: //www. dm. ufscar. br/~sadao/download/? file=student/escalonamento. pdf
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