lgebra Linear Tipos Especiais de Operadores Lineares Prof
Álgebra Linear Tipos Especiais de Operadores Lineares Prof. Paulo Salgado psgmn@cin. ufpe. br 1
Sumário • Tipos Especiais de Operadores Lineares • Diagonalização de Operadores Auto-Adjuntos • Caracterização dos Operadores Ortogonais 2
Tipos Especiais de Operadores Lineares • Tipos especiais de operadores Ø Operadores Auto-Adjuntos Ø Operadores Ortogonais • Teorema: Sejam V um espaço vetorial com produto interno < , > e = {u 1, . . . , un} base ortonormal de V. Então, se v e w são vetores de V com x 1 y 1 [v] = … e [w] = … xn yn • Temos: <v, w> = x 1 y 1 + x 2 y 2 +. . . + xnyn 3
Tipos Especiais de Operadores Lineares • Em outras palavras, ao trabalharmos com uma base ortonormal, para efetuar o produto interno de dois vetores basta multiplicar as coordenadas correspondentes e somar • Definição: Seja A uma matriz n x n real e A’ sua transposta: Ø a) Se A = A’, dizemos que A é simétrica Ø b) Se A. A’ = A’. A = I (ou seja, a inversa de A, A-1 = A’), dizemos que A é uma matriz ortogonal 4
Tipos Especiais de Operadores Lineares • Teorema: Seja A uma matriz ortogonal. Então det A = 1 Ø Prova: Como A é ortogonal, A. A’ = I det (A. A’) = det(I) = 1 det (A. A’) = det(A). det(A’) (propriedade) det(A). det(A’) = 1 Mas, det(A) = det(A’) (propriedade) Logo, det 2(A) = 1 det(A) = 1 5
Tipos Especiais de Operadores Lineares • Teorema: Uma matriz é ortogonal se e somente se as colunas (ou linhas) são vetores ortonormais • Exemplo: Seja V = R 2 e ={(1, 0), (0, 1)} e = {(cos θ, -sen θ), (sen θ, cos θ)} bases ortonormais • [ I ] = ? (matriz de mudança de base de p/ ) • Use os conceitos de mudança de base e coeficientes de Fourier • Calculando como vimos antes. . . [ I ] = cosθ senθ -senθ cosθ 6
Cont. Tipos Especiais de Operadores Lineares • Exemplo: Ø Para checar se [ I ] é ortogonal, basta multiplicá-la pela sua transposta: cosθ senθ -senθ cosθ = cos 2θ + sen 2θ 0 = 1 0 0 1 cosθ -senθ cosθ 0 sen 2θ + cos 2θ Também é preciso multiplicar a transposta pela matriz para tentar encontrar a identidade. . . 7
Tipos Especiais de Operadores Lineares • Teorema: Se V é um espaço vetorial com produto interno e e são bases ortonormais de V, então a matriz de mudança de base [ I ] é uma matriz ortogonal • Nesses casos: Ø [ I ] . ([ I ] )’ = I ou seja ([ I ] )’ = ([ I ] )-1, e ainda mais ([ I ] )’ = ([ I ] )-1 = [ I ] Ø Assim, tendo [ I ] , [ I ] é apenas sua transposta 8
Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais • Definição: Seja V um espaço vetorial com produto interno, uma base ortonormal e T: V→V um operador linear. Então: Ø a) T é chamado um operador auto-adjunto, se [T] é uma matriz simétrica Ø b) T é chamado um operador ortogonal, se [T] é uma matriz ortogonal • Sejam e bases ortonormais: Ø se [T] é simétrica, então [T] também é. Ø se [T] é ortogonal, então [T] também é. • Esses operadores (auto-adjunto e ortogonal) não dependem da base ortonormal escolhida. 9
Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais • Exemplo: Ø Seja T: R 2→R 2 onde T(x, y) = (2 x – 2 y, -2 x + 5 y) Ø Se é a base canônica, a matriz de T é: [T] 2 = -2 -2 5 Ø que é uma matriz simétrica e, portanto, T é operador auto-adjunto 10
Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais • Teorema: Seja V um espaço vetorial com produto interno < , > e T: V→V linear • Então T auto-adjunto implica que <Tv, w>=<v, Tw> • para todo v, w V • Prova: 11
Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais • Prova: (no caso de n = 2) Ø = {v 1, v 2} uma base ortonormal Ø v = x 1 v 1 + y 1 v 2 Ø w = x 2 v 1 + y 2 v 2 x 1 x 2 Ø ou [v] = y e [w] = y 1 2 Ø Como T é auto-adjunto, então [T] é simétrica Ø Seja: [T] a = b b c 12
Cont. Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais • Prova: a b b x 1 = ax 1 + by 1 bx 1 + cy 1 c y 1 a [Tw] = b ax 2 + by 2 b x 2 c y 2 = bx 2 + cy 2 Ø Então [Tv] = Øe Ø Assim, <Tv, w> = (ax 1 + by 1)x 2 + (bx 1 + cy 1)y 2 Ø e <v, Tw> = x 1(ax 2 + by 2) + y 1(bx 2 + cy 2) Ø Portanto <Tv, w> = <v, Tw> 13
Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais • Teorema: Seja T: V→V auto-adjunto e λ 1, λ 2 autovalores distintos de T e v 1 e v 2 os autovetores associados autovalores. Então v 1 v 2. • Prova: Ø λ 1. <v 1, v 2> = <λ 1. v 1, v 2> = <Tv 1, v 2> = <v 1, Tv 2> = <v 1, λ 2. v 2> = λ 2. <v 1, v 2> → λ 1. <v 1, v 2>-λ 2. <v 1, v 2> = 0 Ø Então (λ 1 - λ 2). <v 1, v 2> = 0 Ø Como λ 1 λ 2, então λ 1 - λ 2 0, logo <v 1, v 2> = 0, o que implica v 1 v 2 14
Diagonalização de Operadores Auto-Adjuntos e Caracterização dos Operadores Ortogonais • Teorema: Seja T: V→V um operador autoadjunto. Então existe uma base ortonormal de autovetores de T • Exemplo 1: Seja T: R 3→R 3 o operador linear cuja matriz em relação à base canônica é -2 0 0 [T] = 0 6 1 0 1 6 • Podemos exibir uma base ortonormal de autovetores para este operador? 15
Diagonalização de Operadores Auto-Adjuntos e Cont. Caracterização dos Operadores Ortogonais • Exemplo 1: Podemos observar que T é um operador auto-adjunto (a matriz é simétrica e a base canônica é ortonormal) • Pelo teorema anterior, é garantida uma base ortonormal de autovetores • Calculando os autovalores e os autovetores associados, temos: Ø λ 1 = -2 v 1 = (1, 0, 0) Ø λ 2 = 7 v 2 = (0, 1, 1) Ø λ 3 = 5 v 3 = (0, 1, -1) 16
Diagonalização de Operadores Auto-Adjuntos e Cont. Caracterização dos Operadores Ortogonais • Exemplo 1: Como esses autovetores provêm de autovalores distintos e T é auto-adjunto, eles são ortogonais (Teo slide 14) Ø Então {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, -1)} é uma base ortogonal de autovetores Ø Para encontrarmos a base ortonormal, basta normalizar a base ortogonal: • {(1, 0, 0), (1/√ 2)(0, 1, 1), (1/√ 2)(0, 1, -1)} 17
Caracterização dos Operadores Ortogonais • Teorema: Seja T: V→V um operador linear num espaço vetorial V com produto interno < , >. Então as condições abaixo são equivalentes: Ø T é ortogonal Ø T transforma bases ortonormais em bases ortonormais. Isto é, se {v 1, . . . , vn} é base ortonormal de V, então {Tv 1, . . . , Tvn} é base ortonormal Ø T preserva o produto interno, i. e. , <Tu, Tv> = <u, v> Ø T preserva a norma, i. e. , ||Tv|| = ||v|| • Dada a condição anterior já que ||v|| = <v, v> 18
Tipos Especiais de Operadores Lineares • Exemplo: (Exercício 3) Sejam ={(1, 1), (2, 0)} e ={(-1, 0), (2, 1)}. A partir dessas bases, construa bases ortonormais, usando o método de Gram. Schmidt. Mostre que a matriz mudança de base [ I ] ’ ’ é ortogonal (onde ’ são as novas bases ortonormais). • Solução: 19
Cont. • • • Tipos Especiais de Operadores Lineares Exemplo: (Exercício 3) Solução: ’ = {(1/ 2, 1/ 2), (1/ 2, -1/ 2)} ’ = {(-1, 0), (0, 1)} [ I ] ’ ’ = ? ? Ø (1/ 2, 1/ 2) = a(-1, 0) + b(0, 1) Ø (1/ 2, -1/ 2) = c(-1, 0) + d(0, 1) Ø [ I ] ’ ’ = -1/ 2 -1/ 2 21
Cont. Tipos Especiais de Operadores Lineares • Exemplo: (Exercício 3) • Solução: • Para ser ortogonal, precisa ter A. A’ = A’. A = I, onde A = [ I ] ’ ’ • A. A’ = -1/ 2 = 1 0 1/ 2 -1/ 2 0 1 -1/ 2 • A’. A = -1/ 2 -1/ 2 = 1 0 0 1 Logo, é ortogonal. 22
Exercícios Sugeridos • • 1 2 5 a e b 6 23
A Seguir. . . 4 EE. . . 24
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