lgebra Linear Produto Interno Prof Paulo Salgado psgmncin

Álgebra Linear Produto Interno Prof. Paulo Salgado psgmn@cin. ufpe. br 1

Sumário • Produto Interno • Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt • Complemento Ortogonal 2

Produto Interno • Definição: Seja V um espaço vetorial. Um produto interno sobre V é uma função que a cada par de vetores v 1 e v 2 associa-se um número, <v 1, v 2>, satisfazendo: Ø i) <v, v> 0, para todo v e <v, v> = 0, se, e somente se v = 0 Ø ii) < v 1, v 2> = <v 1, v 2>, real Ø iii) <v 1 + v 2, v 3> = <v 1, v 3> + <v 2, v 3> Ø iv) <v 1, v 2> = <v 2, v 1> • Ex: v 1 = (x 1, x 2, x 3) e v 2 = (y 1, y 2, y 3) <v 1, v 2> = x 1. y 1 + x 2. y 2 + x 3. y 3 produto usual de vetores no R 3 Como seria para o Rn? 3

Produto Interno • Definição: Seja V um espaço vetorial com produto interno < , >. Diz-se que dois vetores v e w de V são ortogonais (em relação a esse produto interno) se <v, w> = 0 Ø No caso, escrevemos v w • Propriedades: Ø i) 0 v, para todo v V Ø ii) v w implica que w v Ø iii) Se v w, para todo w V, então v = 0 Ø iv) Se v 1 w e v 2 w, então v 1 + v 2 w Ø v) Se v w e λ é um escalar, então λv w 4

Produto Interno • Teorema: Seja {v 1, . . . , vn} um conjunto de vetores não nulos dois a dois ortogonais, isto é: Ø <vi, vj> = 0, para todo i j • então {v 1, . . . , vn} é LI • Definição: Diz-se que uma base {v 1, . . . , vn} de V é base ortogonal se <vi, vj> = 0, para todo i j. Isto é, os vetores da base são dois a dois ortogonais 5

Norma • Definição: Seja V um espaço vetorial com produto interno < , >. Definimos a norma (ou comprimento) de um vetor v em relação a esse produto interno como Ø ||v|| = √<v, v> = √x 12 + x 22 + x 32 no caso do R 3 • Se ||v|| = 1, isto é, <v, v> = 1, v é chamado de vetor unitário (diz-se que v está normalizado) • Propriedades: Ø i) ||v|| 0 e ||v|| = 0, sse, v = 0 Ø ii) || v|| = | |. ||v||, real Ø iii) |<v, w>| ||v||. ||w|| (Desigualdade de Schwarz) Ø iv) ||v + w|| ||v|| + ||w|| (Desigualdade Triangular) 6

ngulo entre Dois Vetores • Existe um ângulo θ entre 0 e π radianos tal que: Ø cos θ = <v, w> / (||v||. ||w||) 7

Base Ortonormal • Definição: Seja V um espaço vetorial com produto interno. Diz-se que uma base = {v 1, . . . , vn} de V é ortonormal se for ortogonal e cada vetor for unitário, isto é: Ø <vi, vj> = • 0, se i j • 1, se i = j • Observe que, se tivermos uma base ortonormal = {v 1, . . . , vn}, os coeficientes xi de um vetor w=x 1 v 1+. . . +xnvn são dados por: Ø <w, vi> = <x 1 v 1+. . . +xnvn, vi> → <w, vi> = <xivi, vi> Chamados de Ø xi = <w, vi> / <vi, vi> = <w, vi> coeficientes de Fourier 8

Base Ortonormal • Exemplo: Seja V = R 2 e < , > o produto interno usual e = {(1, 0), (0, 1)} uma base ortonormal, temos x 1 = <v, e 1> e x 2 = <v, e 2> • Faça para qualquer vetor v 9

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt • A partir de uma base qualquer de um espaço vetorial existe um processo para se obter uma base ortonormal • Vamos entender o processo para uma base = {v 1, v 2} e depois generalizaremos o processo. . . 10

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt • Seja v 1’ = v 1 • Precisamos encontrar, a partir de v 2 um novo vetor v 2’ ortogonal a v 1’, isto é: Ø <v 2’, v 1’> = 0 • Para isso, tomamos v 2’ = v 2 – c. v 1’, onde c é um número escolhido de modo que <v 2’, v 1’>=0, isto é, <v 2 – c. v 1’, v 1’>=0 • Então: <v 2’, v 1’>=<v 2 – c. v 1’, v 1’>=<v 2, v 1’>-<c. v 1’, v 1’> • Isso significa que c = <v 2, v 1’> <v 1’, v 1’> 11

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt v 2’ = v 2 – c. v 1’ 12

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt • Ficamos então com Ø v 1’ = v 1 Ø v 2’ = v 2 – (<v 2, v 1’>/<v 1’, v 1’>). v 1’ • Observe que v 2’ foi obtido de v 2, subtraindo deste a projeção do vetor v 2 na direção de v 1’ Ø (<v 2, v 1’>/<v 1’, v 1’>). v 1’ • e que v 1’ e v 2’ são vetores ortogonais não nulos • Podemos então normalizá-los: Ø u 1 = v 1’/||v 1’|| e u 2 = v 2’/||v 2’|| • = {u 1, u 2} é ortonormal 13

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt • Exemplo: Seja = {(2, 1), (1, 1)} uma base do R 2 • Vamos obter a partir de uma base ortonormal em relação ao produto interno usual Ø Sejam v 1 = (2, 1) e v 2 = (1, 1) Ø v 1’ = v 1 = (2, 1) Ø v 2’ = v 2 – (<v 2, v 1’>/<v 1’, v 1’>). v 1’ Ø v 2’ = (1, 1) – (<(1, 1), (2, 1)>/<(2, 1), (2, 1)>). (2, 1)=( -1, 2) 5 5 Ø Normalizando os vetores temos: Ø u 1= v 1’/||v 1’|| = (2/√ 5, 1/√ 5) e u 2=v 2’/||v 2’||= (-1/√ 5, 2/√ 5) • = {u 1, u 2} é uma base ortonormal 14

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt • De maneira geral, a partir de uma base = {v 1, . . . , vn} de um espaço vetorial V, construímos a base ortonormal {v 1’, . . . , vn’} dada por: Ø v 1’ = v 1 Ø v 2’ = v 2 – (<v 2, v 1’>/<v 1’, v 1’>). v 1’ Ø v 3’=v 3 - <v 3, v 2’>. v 2’ - <v 3, v 1’>. v 1’ <v 2’, v 2’> <v 1’, v 1’> Ø. . Ø vn’ = vn – (<vn, vn-1’>/<vn-1’, vn-1’>). vn-1’ –. . – (<vn, v 1’>/<v 1’, v 1’>). v 1’ • Esse procedimento é conhecido como processo de ortogonalização de Gram-Schmidt 15

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt • Se quisermos obter uma base ortonormal basta normalizarmos os vetores vi’ • Isto é, tomando ui = vi’/||vi’||, obtemos a base de vetores ortonormais {u 1, . . . , un} 16

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt • Exemplo 1: Seja ={(1, 1, 1), (0, 2, 1), (0, 0, 1)} uma base de R 3 • Vamos obter a partir de uma base ortonormal em relação ao produto interno • Sejam: Ø v 1 = (1, 1, 1) Ø v 2 = (0, 2, 1) Ø v 3 = (0, 0, 1) • Temos: Ø v 1’ = v 1 = (1, 1, 1) 17

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Cont. • Exemplo 1: • Normalizando: Ø u 1 = (1/√ 3, 1/√ 3) Ø u 2 = (-1/√ 2, 0) Ø u 3 = (-1/√ 6, 2/√ 6) • e = {u 1, u 2, u 3} é uma base ortonormal • Poderíamos gerar um outra base ortonormal a partir de v 2 ou v 3 (por exemplo, fazendo v 1’=v 3) 19

Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt • Exemplo 2: • Seja = {(1, 0), (0, 1)} a base canônica de R 2 • Vamos obter a partir de uma base ortonormal em relação ao produto interno de R 2, definido por Ø <(x 1, y 1), (x 2, y 2)> = 2 x 1 x 2 – x 1 y 2 – x 2 y 1 + y 1 y 2 • Sejam v 1 = (1, 0) e v 2 = (0, 1) Ø v 1’ = (1, 0) u 1 = (1/√ 2, 0) (normalizando) Ø v 2’ = v 2 – (<v 2, v 1’>/<v 1’, v 1’>). v 1’ = (½, 1) u 2 = (√ 2/2, √ 2) (normalizando) • = {u 1, u 2} é uma base ortonormal 20

Complemento Ortogonal • Consideremos um espaço vetorial V munido de um produto interno < , > e um subconjunto nãovazio S de V (S não é necessariamente um subespaço) • Consideremos então o subconjunto de V: Ø S = {v V: v é ortogonal a todos os vetores de S} Ø S é chamado de complemento ortogonal de S 21

Produto Interno • Exemplo: (Exercício 5) Seja = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 0)}. Ache uma base ortonormal ’ de R 3, em relação ao produto interno usual. • Solução: Ø v 1’ = (1, 1, 0) Ø v 2’ = v 2 - <v 2, v 1’>. v 1’ = (1/2, -1/2, 1) <v 1’, v 1’> Ø v 3’ =v 3 – <v 3, v 2’>. v 2’ – <v 3, v 1’>. v 1’ <v 2’, v 2’> <v 1’, v 1’> Ø v 3’ = (-4/5, 2/5) 22

Produto Interno • Exemplo: (Exercício 8) Seja W R 3 o subespaço gerado por (1, 0, 1) e (1, 1, 0). Ø a) Considere W em relação ao produto interno canônico. Encontre uma base para W. • Solução: Ø W = conjunto de vetores ortogonais a todos os vetores de W: Ø {(x, y, z) | <(x, y, z), (1, 0, 1)> = 0 e <(x, y, z), (1, 1, 0)> = 0} • <(x, y, z), (1, 0, 1)> = 0 x + z = 0 z = -x • <(x, y, z), (1, 1, 0)> = 0 x + y = 0 y = -x Ø W = (x, -x) [(1, -1)] 23