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Álgebra Linear Espaço Vetorial Prof. Paulo Salgado psgmn@cin. ufpe. br 1

Sumário • • Espaços vetoriais Sub-espaços vetoriais Combinação linear Dependência e Independência linear 2

Espaços Vetoriais • Definição: Um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações: soma, V X V V, e multiplicação por escalar, R X V V, tais que, para quaisquer u, v, w V e a, b R, as seguintes propriedades sejam satisfeitas: 3

Espaços Vetoriais • Propriedades: § Adição § i) (u + v) + w = u + (v + w) - associativa § ii) u + v = v + u - comutativa § iii) existe 0 V tal que u + 0 = u – 0 é o vetor nulo § iv) Existe –u V tal que u + (-u) = 0 § Multiplicação § v) a(u + v) = au + av, a escalar § vi) (a + b)v = av + bv, a, b escalares § vii) (ab)v = a(bv) § viii) 1. u = u 4

Espaços Vetoriais • Designamos por vetor um elemento do espaço vetorial • Exemplo: V = M(2, 2) é o conjunto de matrizes 2 x 2 § V é um espaço vetorial • Todas as propriedades anteriores são satisfeitas se a adição é entendida como a adição de matrizes; e a multiplicação por um escalar for a forma padrão de matrizes 5

Espaços Vetoriais • Exemplo: V = M(2, 2) - Prova Axioma 1: (u + v) + w = u + (v + w) 6

Espaços Vetoriais • Exemplo: V = M(2, 2) - Prova Axioma 2: u + v = v + u Operação vetorial genérica Interpretação concreta 7

Espaços Vetoriais • Exemplo: V = M(2, 2) - Prova Axioma 3: Existe um elemento 0 em V, chamado um vetor nulo para V, tal que u + 0 = u para todo u em V. 8

Espaços Vetoriais • Exemplo: V = M(2, 2) - Prova Axioma 4: Para todo u em V, há um objeto –u em V, chamado um oposto ou negativo ou simétrico de u, tal que u + (-u) = 0 9

Espaços Vetoriais • Exemplo: V = M(2, 2) - Prova Axioma 5: k (u + v) = k u + k v 10

Espaços Vetoriais • Exemplo: V = M(2, 2) - Prova Axioma 6: (k + l ) u = k u + l u 11

Espaços Vetoriais • Exemplo: V = M(2, 2) - Prova Axioma 7: k (l u) = (k l ) (u) 12

Espaços Vetoriais • Exemplo: V = M(2, 2) - Prova Axioma 8: 1 u = u 13

Espaços Vetoriais • Contra-Exemplo: Um conjunto que não é um espaço vetorial: § Seja u = (u 1, v 1) e v = (u 2, v 2) § Seja V = R 2 e adição e multiplicação definidas como: • u + v = (u 1 + u 2, v 1 + v 2) • k. u = (ku 1, 0) § Nesse caso, o axioma 8 não vale, pois: • 1 u = 1(u 1, v 1) = (u 1, 0) u § Logo V não é um espaço vetorial 14

Espaços Vetoriais • Exercícios: a) O conjunto V = R 2 = {(x, y)| x, y E R} é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definidas • • • (x 1, y 1) + (x 2, y 2) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2) α(x, y) = (αx, αy) Tais operações são denominadas usuais b) O conjunto V = R 2 = {(x, y)| x, y E R} é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definidas • • (x 1, y 1) + (x 2, y 2) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2) α(x, y) = (αx, y) 15

Subespaços Vetoriais • Definição: Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se: § i) Para quaisquer u, v W, tivermos u + v W § ii) Para quaisquer a R, u W, tivermos au W 16

Subespaços Vetoriais • Observações: § 1) Ao operarmos em W (soma e multiplicação por escalar) não obteremos um vetor fora de W § Isso é suficiente para afirmar que W é ele mesmo um espaço vetorial, pois assim as operações ficam bem definidas § Assim, não precisamos verificar novamente as propriedades (i) a (viii) de espaço vetorial porque elas são válidas em V, que contém W 17

Subespaços Vetoriais • Observações: § 2) Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente conter o vetor nulo (por causa da condição (ii) da definição quando a = 0) § 3) Todo espaço vetorial admite, pelo menos, dois subespaços (que são chamados de subespaços triviais): • O conjunto formado apenas pelo vetor nulo • O próprio espaço vetorial 18

Subespaços Vetoriais • Exemplo 1: V = R 3 e W V, um plano passando pela origem W Observe que, se W não passasse pela origem, não seria um subespaço Os únicos subespaços de R 3 são a origem, as retas e planos que passam pela origem e o próprio R 3 19

Subespaços Vetoriais • Exemplo 2: V = R 5 e W = {(0, x 2, x 3, x 4, x 5); xi R} § Isso é, W é o conjunto de vetores de R 5 com a primeira coordenada nula § Vamos verificar as condições (i) e (ii): § (i): u = (0, x 2, x 3, x 4, x 5), v = (0, y 2, y 3, y 4, y 5) W Então: u+v=(0, x 2+y 2, x 3+y 3, x 4+y 4, x 5+y 5) W § (ii) ku = (0, kx 2, kx 3, kx 4, kx 5) W § Portanto, W é subespaço vetorial de R 5. 20

Subespaços Vetoriais Exercício: Seja V = R 2 e S = {(x, y) E R 2 | y = 2 x} Elementos: u = (x 1, 2. x 1) e v = (x 2, 2. x 2) Prova: Verificar se u+v e k. u seguem as mesmas propriedades Solução u + v = (x 1, 2. x 1) + (x 2, 2. x 2) u + v = (x 1 + x 2, 2. x 1 + 2. x 2) u + v = (x 1 + x 2, 2(x 1 + x 2)) • • ku = k(x 1, 2. x 1) ku = (kx 1, 2 kx 1) ku = (kx 1, 2(kx 1)), logo S é subespaço 21

Subespaços Vetoriais Exercício: Seja V = R 2 e S = {(x, y) E R 2 | y = 4 -2 x} Elementos: u = (x 1, 4 -2 x 1) e v = (x 2, 4 -2. x 2) Prova: Verificar se u+v e k. u seguem as mesmas propriedades Solução u + v = (x 1, 4 -2. x 1) + (x 2, 4 -2. x 2) u + v = (x 1 + x 2, 4 -2. x 1 + 4 -2. x 2) u + v = (x 1 + x 2, 8 -2(x 1 + x 2)) • • ku = k(x 1, 4 -2. x 1) ku = (kx 1, k(4 -2 x 1)) ku = (kx 1, 4 k-2 kx 1)), logo S não é um subespaço 22

Subespaços Vetoriais • Teorema: Interseção de subespaços § Dados W 1 e W 2 subespaços de um espaço vetorial V, a interseção W 1 W 2 ainda é um subespaço de V • Observe que W 1 W 2 nunca é vazio já que eles sempre contêm, pelo menos, o vetor nulo • Exemplo 1: V = R 3, W 1 W 2 é a reta de interseção dos planos W 1 e W 2 W 1 23

Subespaços Vetoriais • Embora a interseção gere um subespaço vetorial, isso necessariamente não acontece com a união • Teorema: Soma de subespaços § Sejam W 1 e W 2 subespaços de um espaço vetorial V. Então o conjunto • W 1 + W 2 = {v V; v=w 1 + w 2, w 1 W 1, w 2 W 2} § é subespaço de V • Exemplo 1: Se W 1 e W 2 são duas retas, W = W 1+W 2 é o plano que contém as retas 24

Subespaços Vetoriais • Quando W 1 ∩ W 2 = {0}, então W 1 + W 2 é chamado soma direta de W 1 com W 2, denotado por W 1 W 2 25

Combinação Linear • Sejam V um espaço vetorial real, v 1, v 2, . . . , vn V e a 1, a 2, . . . , an números reais • Então o vetor § v = a 1 v 1 + a 2 v 2 +. . anvn • é um elemento de V ao qual chamamos de combinação linear de v 1, v 2, . . . , vn § Uma vez fixados vetores v 1, v 2, . . . , vn em V, o conjunto W de todos os vetores de V que são combinação linear desse é um subespaço vetorial • W é chamado de subespaço gerado por v 1, v 2, . . . , vn • W = [v 1, v 2, . . . , vn] 26

Combinação Linear • Exemplo 1: V = R 2, v 1 = (1, 0), v 2 = (0, 1) § Logo, V = [v 1, v 2], pois dados v = (x, y) V, temos (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) • Ou seja, v = x. v 1 + y. v 2 • Exemplo 2: 1 v 1 = 0 0 0 Então [v 1, v 2] = 0 v 2 = 0 a 0 b 0 1 0 : a, b R 27

Combinação Linear • Exercício: v = (-4, -18, 7) é uma combinação linear de v 1 = (1, -3, 2) e v 2 = (2, 4, -1)? Escreva o vetor v como combinação linear dos vetores v 1 e v 2. • Solução v = av 1 + bv 2 (-4, -18, 7) = a(1, -3, 2) + b(2, 4, -1) (-4, -18, 7) = (a, -3 a, 2 a) + (2 b, 4 b, -b) (-4, -18, 7) = (a+2 b, -3 a+4 b, 2 a-b) a+2 b = -4 -3 a+4 b = -18 2 a-b = 7 Resposta: v = 2 v 1 – 3 v 2 28

Dependência e Independência Linear • Definição: Sejam V um espaço vetorial e v 1, v 2, . . . , vn V. Dizemos que o conjunto {v 1, v 2, . . . , vn} é linearmente independente (LI), ou que o vetores v 1, v 2, . . . , vn são LI se a equação: § a 1 v 1 + a 2 v 2 +. . . + anvn = 0 implica que a 1 = a 2 =. . = an = 0 § {v 1, v 2, . . . , vn} é LD se, e somente se, um destes vetores for combinação linear dos outros. • Se algum ai 0, dizemos que {v 1, v 2, . . . , vn} é linearmente dependente (LD) ou que os vetores v 1, v 2, . . . , vn são LD 29

Dependência e Independência Linear • Exemplo 1: V = R 2, e 1 = (1, 0) e e 2 = (0, 1) • e 1 e e 2 são LI, pois § § a 1. e 1 + a 2. e 2 = 0 a 1. (1, 0) + a 2. (0, 1) = 0 (a 1, a 2) = (0, 0) a 1 = 0 e a 2 = 0 • Exemplo 2: De modo análogo, para V =R 3, e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) e e 3 = (0, 0, 1) são LI • Exemplo 3: V = R 2 § {(1, -1), (1, 0), (1, 1)} é LD pois: § ½. (1, -1) -1. (1, 0) + ½. (1, 1) = (0, 0) 30

Dependência e Independência Linear • Exercício: v 1 = (2, 3) e v 2 = (-4, -6) são LD? • Solução av 1 + bv 2 = 0 a(2, 3) + b(-4, -6) = 0 (2 a, 3 a) + (-4 b, -6 b) = (0, 0) (2 a-4 b, 3 a - 6 b) = (0, 0) 2 a - 4 b = 0. (3) => 6 a – 12 b = 0 3 a - 6 b = 0. (-2) => -6 a + 12 b = 0 0 => 2 a - 4 b = 0 => 2 a = 4 b, LD ou LI? Resposta: LD. . . Por que? 31

Dependência e Independência Linear • Exercício: v 1 = (6, 2, 3) e v 2 = (0, 5, 3) são LD ou LI? • Solução av 1 + bv 2 = 0 a(6, 2, 3) + b(0, 5, 3) = (0, 0, 0) (6 a, 2 a, 3 a) + (0, 5 b, 3 b) = (0, 0, 0) (6 a, 2 a + 5 b, 3 a + 3 b) = (0, 0, 0) 6 a = 0 => a = 0 2 a + 5 b = 0 => b = 0 3 a + 3 b = 0 => b = 0 Como, a = b = 0 => LD ou LI? Resposta: LI 32

Hoje vimos. . . • • Espaços vetoriais Sub-espaços vetoriais Combinação linear Dependência e Independência linear 33

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Sumário • Base de um Espaço Vetorial • Dimensão de um Espaço Vetorial • Mudança de Base 35

Base de um Espaço Vetorial • Definição: Um conjunto {v 1, v 2, . . . , vn} de vetores de V será uma base de V se: § i) {v 1, v 2, . . . , vn} é LI § av 1 + bv 2, +. . . + nvn = 0, onde a = b = n = 0 § ii) [v 1, v 2, . . . , vn] é V § av 1 + bv 2, +. . . + nvn = vetor genérico do espaço, Ex: R 2 = (x, y) Esse conjunto gera todos os vetores de V. 36

Base de um Espaço Vetorial • Exemplo 1: V = R 2, e 1=(1, 0) e e 2=(0, 1) • {e 1, e 2} é base de V, conhecida como base canônica de R 2 • O conjunto {(1, 1), (0, 1)} também é uma base de V = R 2 Ø De fato, se (0, 0) = a(1, 1) + b(0, 1) = (a, a + b), então a=b=0 • Assim, {(1, 1), (0, 1)} é LI Ø Ainda [(1, 1), (0, 1)] = V pois dado v = (x, y) V, temos: (x, y) = x(1, 1) + (y – x)(0, 1) Ø Ou seja, todo vetor de R 2 é uma combinação linear dos vetores (1, 1) e (0, 1) 37

Base de um Espaço Vetorial • Exemplo 2: {(0, 1), (0, 2)} não é base de R 2, pois é um conjunto LD Ø Se (0, 0) = a(0, 1) + b(0, 2), então a = -2 b e a e b não são zero necessariamente • Exemplo 3: {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é uma base de R 3? Ø Base canônica de R 3 Ø i) {e 1, e 2, e 3} é LI Ø ii) (x, y, z) = x. e 1 + y. e 2 + z. e 3 • Exemplo 4: {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} não é base de R 3. Por que? Ø É LI mas não gera todo R 3 38

Base de um Espaço Vetorial • Teorema: Sejam v 1, v 2, . . . , vn vetores não nulos que geram um espaço vetorial V. Então dentre esses vetores podemos extrair uma base de V. Ø Isso independe de v 1, v 2, . . . , vn serem LD ou LI • Teorema: Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto finito de vetores v 1, v 2, . . . , vn. • Então, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD (e, portanto, qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores) 39

Base de um Espaço Vetorial • Corolário: Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. Este número é chamado dimensão de V, e denotado por dim V • Exemplo 1: V = R 2: dim V = 2 Ø {(1, 0), (0, 1)} e {(1, 1), (0, 1)} são bases de V • Exemplo 2: V = R 3: dim V = 3 • Exemplo 3: V = M(2, 2): dim V = 4 1 0 0 0 1 É uma base de V 40

Base de um Espaço Vetorial • Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V • Corolário: Se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V • Teorema: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então dim U dim V e dim W dim V. Além disso: Ø dim(U + W) = dim U + dim W – dim(U W) 41

Base de um Espaço Vetorial • Teorema: Dada uma base = {v 1, v 2, . . . , vn} de V, cada vetor de V é escrito de maneira única como combinação linear de v 1, v 2, . . . , vn. • Definição: Sejam = {v 1, v 2, . . . , vn} base de V e v V onde v = a 1 v 1 +. . . + anvn. Chamamos esses números ai de coordenadas de v em relação à base e denotamos por: [v] = a 1. . . an 42

Base de um Espaço Vetorial • • Exemplo 1: V = R 2 = {(1, 0), (0, 1)} (4, 3) = 4. (1, 0) + 3. (0, 1) Logo: 4 [(4, 3)] = 3 Observe que os coeficientes são representados como elementos de uma matriz coluna. 43

Base de um Espaço Vetorial • • Exemplo 2: V = R 2 = {(1, 1), (0, 1)} (4, 3) = x. (1, 1) + y. (0, 1) x=4 e y=-1 Logo: 4 [(4, 3)] = -1 44

Base de um Espaço Vetorial • Exemplo 3: Observe que a ordem dos elementos de uma base influi na matriz das coordenadas de um vetor em relação à esta base • V = R 2 • 1 = {(1, 0), (0, 1)} e 2 = {(0, 1), (1, 0)} [(4, 3)] 1 = 4 3 [(4, 3)] 2 = 3 4 45

Base de um Espaço Vetorial • Exemplo 4: Considere: ØV = {(x, y, z): x + y – z = 0} ØW = {(x, y, z): x = y} ØDetermine V + W ØV: x + y – z = 0 z = x + y • Base: (x, y, z)=(x, y, x + y) = x. (1, 0, 1) + y. (0, 1, 1) • Logo: Base = [(1, 0 , 1), (0, 1, 1)] ØW: x = y • Base: (x, y, z) = (y, y, z) = y. (1, 1, 0) + z. (0, 0, 1) cont… • Logo: Base = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)] 46

Base de um Espaço Vetorial • Exemplo 4: (cont. . ) z ØComo: y ØV = [(1, 0, 1), (0, 1, 1)] ØW = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)] x ØEntão V + W = [(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)] ØMas espera-se que o resultado esteja no R 3, logo essa base deve ter algum elemento LD cont… 47

Base de um Espaço Vetorial • Exemplo 4: (cont. . ) – Vamos escalonar. . v 1 v 2 v 3 v 4 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 -1 0 1 1 -1 1 Elemento LD (v 3) 1 0 0 1 1 0 1 cont… 48

Base de um Espaço Vetorial • Exemplo 4: (cont. . ) ØLogo V + W = [(1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)] ØAssim, V + W = R 3 Ødim R 3 = dim V + dim W – dim(V W) ØV W = ? ? cont… 49

Base de um Espaço Vetorial • Exemplo 4: (cont. . ) ØV W = {(x, y, z); x + y – z = 0 e x = y} = Resolva o sistema. . . = {(x, y, z); x = y = z/2} = [(1, 1, 2)] Ødim (V W) = 1 Ødim R 3 = dim V + dim W – dim(V W) Ødim R 3 = 2 + 2 – 1 = 3 • Como esperado. . 50

Mudança de Base • Contextualizando. . . 51

Mudança de base - exemplo • Visão Computacional – Problema: imagine um veículo de direção autônoma para percorrer um caminho: Grama verde Caminho cinza

Mudança de base - exemplo • Visão Computacional – Problema: imagine agora um caminho com sombra. . . Sombra cinza escuro Grama verde Sombra cinza claro Sombra verde escura Caminho cinza

Mudança de base - exemplo • Visão Computacional – Imagem no sistema RGB (R = Red, G = Green, B = Blue) que é o sistema computacional de cores comum do computador • Mas um “vermelho” tem valores de cada componente

Mudança de base - exemplo • Visão Computacional – Como detectar a sombra pelo RGB? Problema complicado. . . – Mas existem outros sistemas de cores. .

Mudança de base - exemplo • Visão Computacional – Sistema HSL (H = Hue/Matiz, S = Saturação, L = Lightness/Brilho) – RGB -> HSL • Mudança de base, feita através de uma matriz transformação de uma base para outra

Mudança de base - exemplo • Visão Computacional – Sistema HSL (H = Hue/Matiz, S = Saturação, L = Lightness/Brilho) – RGB -> HSL • Mudança de base, feita através de uma matriz transformação de uma base para outra

Mudança de base - exemplo • Visão Computacional – Mesma imagem anterior no HSL (cada componente em separado) Saturação Brilho Matiz

Mudança de base - exemplo • Visão Computacional – Mesma imagem anterior no HSL (cada componente em separado) Sombra bem destacada!!! Matiz

Mudança de Base - Exemplo •

Mudança de Base - Exemplo • 61

Mudança de Base • Sejam ={u 1, . . . , un} e ’= {w 1, . . . , wn} duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial V • Dado o vetor v V, podemos escrevê-lo como: Ø v = x 1 u 1 +. . . + xnun (1) Ø v = y 1 w 1 +. . . + ynwn 62

Mudança de Base • Como podemos relacionar as coordenadas de v em relação à base x 1 [v] = … xn • com as coordenadas do mesmo vetor v em relação à base ’ y 1 [v] ’ = … yn 63

Mudança de Base • Já que {u 1, . . . , un} é base ( ) de V, podemos escrever os vetores v e w como combinação linear dos uj, isto é: (Lembrando que v = y 1 w 1 +. . . + ynwn) w 1 = a 11 u 1 + a 21 u 2 +. . . + an 1 un w 2 = a 12 u 1 + a 22 u 2 +. . . + an 2 un. . . wn = a 1 nu 1 + a 2 nu 2 +. . . + annun (2) • Substituindo (2) em (1): v=y 1 w 1+. . . +ynwn=y 1(a 11 u 1+. . . +an 1 un)+. . +yn(a 1 nu 1+. . . +annun) = u 1(a 11 y 1+. . . +an 1 yn)+. . +un(a 1 ny 1+. . . +annyn) 64

Mudança de Base • Mas v = x 1 u 1 +. . . + xnun, e como as coordenadas em relação a uma base ( ) são únicas temos: v = x 1 u 1 +. . . + xnun = u 1(a 11 y 1+. . . +an 1 yn)+. . . +un(a 1 ny 1+. . . +annyn) x 1 = a 11 y 1 +. . . + an 1 yn Observe que as linhas. . . viraram colunas! xn = a 1 ny 1 +. . . + annyn • Ou, em forma matricial x 1 a 11. . . a 1 n … = … … … xn an 1 … ann y 1 … yn 65

Mudança de Base • Isso é denotado por: a 11. . . a 1 n ’ [ I ] = … … … an 1 … ann • Temos: [v] = [ I [I ’ ] [v] ’ ’ ] Matriz de mudança da base ’ para a base 66

Mudança de Base ’ • Observe que, encontrando [ I ] , podemos encontrar as coordenadas de qualquer vetor v em relação à base , multiplicando a matriz pelas coordenadas de v na base ’ 67

Mudança de Base • Exemplo: Sejam ={(2, -1), (3, 4)} e ’={(1, 0), (0, 1)} bases de R 2: ’ [ I ] = ? w 1 = (1, 0) = a 11(2, -1) + a 21(3, 4) = (2 a 11+ 3 a 21, -a 11+ 4 a 21) 2 a 11+3 a 21 = 1 e -a 11+4 a 21 = 0 a 11 = 4 a 21 = 1/11 e a 11 = 4/11 w 2 = (0, 1) = a 12(2, -1) + a 22(3, 4) = (2 a 12+ 3 a 22, -a 12+ 4 a 22) 2 a 12+3 a 22 = 0 e -a 12+4 a 22 = 1 a 22 = 2/11 e a 12 = -3/11 68

Mudança de Base • Exemplo: (cont. ) – Assim: • w 1 = (1, 0) = (4/11)(2, -1) + (1/11)(3, 4) • w 2 = (0, 1) = (-3/11)(2, -1) + (2/11)(3, 4) [I ’ ] = 4/11 -3/11 1/11 2/11 Linhas tornam-se colunas!!! 69

Mudança de Base • Exemplo: (cont. ) Podemos usar essa matriz para encontrar, por exemplo, [v] para v = (5, -8) Ø [(5, -8)] = = [I ’ ] [(5, -8)] ’ 4/11 -3/11 5 1/11 -8 2/11 = 4 -1 Isto é: (5, -8) = 4. (2, -1) + (-1). (3, 4) 70

A Inversa da Matriz Mudança de Base • Temos [v] = [ I ’ ] [v] ’ • Um fato importante é que [I ] ’ e [I ’ ] são matrizes inversíveis: ’ -1 Ø( [ I ] ) = [ I ] ’ 71

A Inversa da Matriz Mudança de Base • Exemplo: Ø Do exemplo anterior, vamos calcular de [ I ] ’. Note que [I [I ’ ] a partir é fácil de ser ] ’ calculada pois ’ é a base canônica: • (2, -1) = 2. (1, 0) + (-1). (0, 1) • (3, 4) = 3. (1, 0) + 4. (0, 1) Ø Assim: [ I ] = ’ ’ Ø Então: [ I ] = 2 -1 3 4 -1 = 4/11 -3/11 1/11 2/11 72

Espaço Vetorial • Exercício 18: Considere o subespaço de R 4 gerado pelos vetores v 1 = (1, -1, 0, 0), v 2=(0, 0, 1, 1), v 3=(-2, 2, 1, 1) e v 4=(1, 0, 0, 0) § a) O vetor (2, -3, 2, 2) [v 1, v 2, v 3, v 4]? § b) Exiba uma base para [v 1, v 2, v 3, v 4]? Qual sua dimensão? § c) [v 1, v 2, v 3, v 4] = R 4? 73

Cont. Espaço Vetorial • Exercício 18: – a) O vetor (2, -3, 2, 2) [v 1, v 2, v 3, v 4]? – Ou seja, existem a, b, c, d, tal que: (2, -3, 2, 2) = a. (1, -1, 0, 0) + b. (0, 0, 1, 1) + -2, 2, 1, 1) + d. (1, 0, 0, 0) a – 2 c + d = 2 1 0 -2 1 -a + 2 c = -3 -1 0 2 0 b+c=2 0 1 1 0 b+c=2 c. ( 2 -3 2 74

Cont. Espaço Vetorial • Exercício 18: – a) O vetor (2, -3, 2, 2) [v 1, v 2, v 3, v 4]? Sistema admite infinitas soluções. Por exemplo: a = 3, b = 2, c = 0, d = -1 Logo, como existe solução, o vetor pertence a [v 1, v 2, v 3, v 4] 75

Espaço Vetorial Cont. • Exercício 18: § b) Exiba uma base para [v 1, v 2, v 3, v 4]? Qual sua dimensão? 1 0 -2 1 -1 0 2 0 0 1 1 0 1 0 0 0 -1 0 0 1 1 0 Com isso, descobrimos que v 2 (ou v 3) é combinação linear dos outros vetores. Logo, a base é formada por [v 1, v 2, v 4] ou [v 1, v 3, v 4]. 76

Cont. Espaço Vetorial • Exercício 18: § b) Exiba uma base para [v 1, v 2, v 3, v 4]? Qual sua dimensão? § Base = [v 1, v 2, v 4] dim = 3 § c) [v 1, v 2, v 3, v 4] = R 4? § Como dim Base = 3 e dim R 4 = 4, então [v 1, v 2, v 3, v 4] ≠ R 4 77

Espaço Vetorial • Exercício 19: Considere o subespaço de R 3 gerado pelos vetores v 1=(1, 1, 0), v 2=(0, -1, 1) e v 3=(1, 1, 1). • [v 1, v 2, v 3]=R 3? • v 1=(1, 1, 0), v 2=(0, -1, 1) e v 3=(1, 1, 1) é LI? 78

Cont. Espaço Vetorial • Exercício 19: Solução 1: § Existem a, b, c tal que: (x, y, z) = a. (1, 1, 0) + b. (0, -1, 1) + c. (1, 1, 1) a+c=x a-b=y b+c=z a = 2 x – y - z b=x-y c = -x + y + z Ou seja, há valores para a, b e c que podem gerar qualquer vetor no R 3. 79

Espaço Vetorial Cont. • Exercício 19: Solução 2: § Vamos tentar escalonar: 1 0 1 1 -1 1 0 1 1 … 1 0 0 0 1 O que isso significa? Significa que, com esses vetores e operações lineares, conseguimos gerar a base canônica. Logo, podemos gerar todo o R 3. 80

Exercícios Sugeridos • • • 2 4 6 7 8 9 11 15 25 29 81

A Seguir. . . • Transformações Lineares 82