lgebra Linear Determinante e Matriz Inversa Prof Paulo

Álgebra Linear Determinante e Matriz Inversa Prof. Paulo Salgado psgmn@cin. ufpe. br 1

Sumário • Determinantes 2

Conceitos Preliminares • Considere o sistema ax = b, a 0. • A solução para este sistema é x = b/a • Observe que o denominador está associado à matriz dos coeficientes do sistema • Em um sistema 2 x 2 teríamos: a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 x 1 = b 1 a 22 – b 2 a 12 a 11 a 22 – a 12 a 21 x 2 = b 2 a 11 – b 1 a 21 a 11 a 22 – a 12 a 21 Denominadores iguais 3

Determinante • Quando nos referimos ao determinante, isto é, ao número associado a uma matriz quadrada A = [aij], escreveremos § det A ou |A| ou det[aij] • Então: § det[a] = a § det a 11 a 12 = a 11 a 22 a 21 a 12 a 22 = a 11 a 22 – a 12 a 21 a 12 a 13 § det[A 3 x 3] = =. . a 21 a 31 a 22 a 32 a 23 a 33 4

Determinante 3 x 3 5

Determinante 3 x 3 6

Determinante 3 x 3 a 11. a 22. a 33 + a 21. a 32. a 13 + a 31. a 12. a 23 – (a 13. a 22. a 31 + a 23. a 32. a 11 + a 33. a 12. a 21) 7

Determinante • Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2, . . . , n, existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor do que ele. • Exemplo: 1, 2, 3 Permutação (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) (2 3 1) (3 1 2) (3 2 1) no. de inversões 0 1 1 2 2 3 inversões (3 e 2) (2 e 1) e (3 e 2), (3 e 1) e (2 e 1) 8

Determinante • Exemplo: 1, 2, 3, 4 Permutação (3 2 1 4) (4 3 2 1) no. de inversões 3 6 inversões (3 e 2), (3 e 1) e (2 e 1) (4 e 3), (4 e 2), (4 e 1) (3 e 2), (3 e 1) e (2 e 1) 9

Determinante • Considere o determinante de: det a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 = a 11 a 22 a 33 – a 11 a 23 a 32 – a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 13 a 22 a 31 Observe que: 1) temos, no resultado, cada parcela da forma a 1 ia 2 ja 3 k, onde i, j, k são todas as permutações de 1, 2, 3: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) 2) o sinal é negativo quando a permutação tem um número ímpar de inversões. 10

Determinante • Definição: det[aij] = Σ (-1)Ja 1 j 1 a 2 j 2. . . anjn, onde J = J(j 1, . . . , jn) é o número de inversões da permutação (j 1, j 2. . . , jn) e indica que a soma é estendida a toda as n! permutações de (1 2. . . n) • OBS: § Se J é par, (-1)J = 1; se J é ímpar (-1)J = -1 § Em cada termo do somatório, existe um e apenas um elemento de cada linha, e um e apenas um elemento de cada coluna da matriz 11

Determinante • 12

Determinante • 13

Determinante • 14

Determinante • 15

Determinante • 16

Determinante • 17

Determinante • 18

Determinante • det a 11 … bi 1+ci 1 … an 1 …. …. …. a 1 n … bin + cin = det … amn a 11. . . a 1 n … … bi 1 …. bin … … an 1 …. amn + det a 11. . . a 1 n … … ci 1 …. cin … … an 1 …. amn 19

Determinante • 20

Determinante Desenvolvimento de Laplace • Vimos que: det a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 = a 11 a 22 a 33 – a 11 a 23 a 32 – a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 – a 13 a 22 a 31 = a 11(a 22 a 33 – a 23 a 32) – a 12(a 21 a 33 - a 23 a 31) + a 13(a 21 a 32 –a 22 a 31) = a 11. det a 22 a 32 a 23 a 33 a - a 12. det a 21 31 a 23 a 33 a + a 13. det a 21 31 a 22 a 32 Observe o padrão do determinante… 21

Determinante Desenvolvimento de Laplace = a 11. det a 22 a 32 a 23 a 33 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 - a 12. det a 21 a 31 a 23 a 33 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 + a 13. det a 21 a 31 a 22 a 32 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 22

Determinante Desenvolvimento de Laplace • Assim, det A = a 11 11 + a 12 12 + a 13 13 • Onde § ij = (-1)i+j|Aij| = cofator § e Aij é a submatriz da matriz inicial, retiradas a iésima linha e j-ésima coluna • Para matrizes de ordem n: § det Anxn = Σj=1 n aij ij 23

Determinante Desenvolvimento de Laplace • 1 |A| = 2 -2 -2 1 -1 3 -1 = -2. 12 + 1. 22 + (-1) 32 2 24

Determinante Desenvolvimento de Laplace • O desenvolvimento de Laplace é uma fórmula de recorrência que permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n-1 25

Determinante Desenvolvimento de Laplace • 26

Determinante Desenvolvimento de Laplace • -1 4 -1 2 2 5 3 -4 -5 0 0 = 0 -3 0 -5 3 1 -8 - 2 2 2 5 3 -4 0 0 -3 0 3 1 e L 3 + L 2 27

Hoje vimos. . . • Determinantes 28

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Sumário • Matriz Adjunta • Matriz Inversa 30

Matriz Adjunta • Dados todos os possíveis cofatores de A ( ij), podemos montar uma matriz cujos elementos são esses cofatores (A) = ij § Lembrando que ij = (-1)i+j|Aij| • A matriz adjunta de A é a transposta da matriz dos cofatores de A § adj A = ( A )’ • Teorema: A. A’ = A. (adj A) = (det A). In Adjunta de A Matriz identidade de ordem n 31

Matriz Adjunta • 32

Matriz Inversa • Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de A a uma matriz B tal que A. B = B. A = In, onde In é a matriz identidade de ordem n § Escrevemos A-1 para indicar a inversa de A 33

Matriz Inversa 6 2 • Exemplo: Se A = , encontre a inversa 11 4 de A § Ou seja, queremos encontrar A-1 a = c b d § tal que A. A-1 = A-1. A = I 3 34

Matriz Inversa 6 11 2 4 a c Temos assim: 6 a + 2 c = 1 6 b + 2 d = 0 11 a + 4 c = 0 11 b + 4 d = 1 b d 1 = 0 0 1 Resolvendo o sistema encontramos: a=2 b = -1 c = -11/2 d=3 35

Matriz Inversa • Observações: § Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem e inversíveis, então AB é inversível e (AB)-1 = B-1. A-1 § (AB)(B-1 A-1) = A(BB-1)A-1 = AIA-1 = AA-1 = I § E para (B-1 A-1)(AB) = I? § (B-1 A-1)(AB) = B-1(A-1 A)B = B-1 IB = B-1 B = I § Se A é uma matriz quadrada e existe uma matriz B tal que BA = I, então A é inversível e B = A-1 § Nem toda matriz tem inversa, mas quando tem? 0 0 2 1 36

Matriz Inversa • Teorema: Uma matriz quadrada A tem inversa se, e somente se, det A 0 § A-1 = (1/det A). (adj A) • Exemplo: 6 11 2 4 • Exemplo: 6 12 2 4 37

Procedimento para Inversão de Matrizes (A : I) (I : A-1) • Exemplo A= 2 1 0 -1 1 0 0 1 1 3 38

Procedimento para Inversão de Matrizes • Exemplo 2 1 0 -1 1 0 0 1 1 3 1 0 0 0 0 1 39

Procedimento para Inversão de Matrizes • Exemplo (cont. ) 1 2 0 -1 0 1 1 0 -1 0 1 0 1 3 0 1 0 0 0 0 0 1 L 2 = -2. L 1 + L 2 L 3 = L 3 L 4 = L 1 + L 4 40

Procedimento para Inversão de Matrizes • Exemplo (cont. ) 1 0 0 1 1 0 -1 2 1 -1 1 -2 1 4 0 1 0 0 1 -2 0 1 0 0 0 0 1 L 1 = L 1 L 3 = -1. L 2 + L 3 L 4 = L 4 41

Procedimento para Inversão de Matrizes • Exemplo (cont. ) 1 0 0 -1 2 -1 -1 L 3 = -1. L 3 L 1 = L 3 + L 1 L 2 = -2. L 3 + L 2 1 -2 3 4 0 1 -1 0 1 -2 2 1 0 0 0 0 1 L 4 = L 3 + L 4 42

Procedimento para Inversão de Matrizes • Exemplo (cont. ) 1 0 0 0 0 1 0 L 4 = L 4 L 1 = 2. L 4 + L 1 L 2 = -4. L 4 + L 2 -2 4 -3 1 1 -1 2 -2 -1 -1 0 0 0 1 L 3 = 3. L 4 + L 3 43