lgebra Linear 1 Matrizes Operaes e Propriedades 2

Álgebra Linear 1 – Matrizes: Operações e Propriedades 2 – Determinantes: operações e aplicabilidade. Prof. Luciano Soares Pedroso agosto de 2015.

O QUE É UMA MATRIZ Uma matriz pode ser definida como uma tabela onde os valores são dispostos em linhas e colunas. A diferença fundamental entre uma matriz e uma tabela normal é que na matriz representamos apenas os dados numéricos da tabela, para que os cálculos sejam facilitados. .

Vamos entender melhor como interpretar as informações de uma tabela analisando a tabela abaixo que mostra as informações nutricionais de quatro alimentos vendidos em uma lanchonete.

A tabela representada anteriormente pode ser representada na forma de uma matriz com 4 linhas e 6 colunas, ou uma matriz 4 x 6.

Em relação à essa matriz, vamos responder às seguintes perguntas: a) Em que linha e coluna está o número 302? Na quarta linha e primeira coluna. b) Na matriz, o que representa o número 4, 2? A quantidade de gorduras trans, em gramas, presentes em uma porção de batatas.

c) Que elemento está na terceira linha e quinta coluna? É o número 0 d) Quantos elementos há na matriz. 24 elementos. Observação: podemos encontrar o número de elementos de uma matriz multiplicado seu número de linhas por seu número de colunas.

De maneira geral, representamos uma matriz da seguinte forma: , ordem m indica o número de linhas e n o número de colunas da matriz. Poderíamos representar a matriz do exemplo anterior por

Já os elementos costumam ser representados com uma letra minúscula , onde i indica a linha na qual o elemento se encontra e j a coluna. Na matriz indicada no exemplo, temos que:

OBSERVAÇÃO 1: Neste momento, é interessante que se trabalhe outras aplicações com matrizes. Abaixo temos outro exemplo de aplicação, brevemente descrito, porém poderíamos desenvolver uma motivação semelhante a desenvolvida sobre as empresas e produtos fabricados.

Atividade sobre Aeroportos Vamos supor que dos aeroportos de quatro cidades partem vôos diários. No esquema abaixo, (1), (2), (3) e (4) representam essas cidades e as linhas, os vôos existentes entre elas.

Podemos associar a essa situação uma matriz A=(a) , que estabelece se há ou não vôo direto entre as cidades, de modo que: se as cidades possuem ligação entre elas, ou seja, se há vôo direto entre uma e outra, definimos a = 1; se as cidades não se ligam diretamente, o que na situação descrita significa que não há vôo direto entre elas, consideramos a = 0;

Em nosso exemplo, para montar a matriz A devemos “combinar os pontos dois a dois, incluindo a “combinação” de cada ponto com ele mesmo. Assim, na matriz A: Portanto, a matriz procurada é: A=

A princípio o desenho pode parecer mais simples que a matriz, mas pense no que aconteceria se tivéssemos 200 ou mesmo 1000 cidades. Nesses casos, consultar as matrizes provavelmente seria mais fácil. Observe que essas matrizes teriam tamanho 200 x 200 ou 1000 x 1000 e poderiam estar armazenadas em computadores que permitissem uma consulta rápida para sabermos se duas cidades possuem ou não rota aérea direta entre elas e, até mesmo, que conexões são possíveis para ir de uma cidade à outra.

OBSERVAÇÃO 2: Como retomada dos conceitos estudados, sugerimos uma também uma outra aplicação, como a que segue abaixo, de controle de trânsito.

Matrizes e Controle de Tráfego em Cruzamentos

Se o número de carros em alguma das direções for maior que a quantidade máxima possível, teremos um engarrafamento, que poderá ou não ser resolvido alterando-se os tempos de abertura dos semáforos, isto é, modificando-se os valores nas matrizes M 1, M 2 e M 3.

A Rotatória Mágica é tão eficiente quarenta anos depois, mesmo com o aumento do volume de tráfego e em horários de pico, ela ainda funciona perfeitamente. Mas os números falam por si: Durante os primeiros 25 anos, houveram apenas 14 acidentes graves na rotatória e pouco mais de cem colisões menores – uma taxa bem menor do que esperada em uma junção tão movimentada. A maioria dos acidentes envolveram ciclistas e motociclistas, mas o problema deve ser minimizado agora que uma ciclovia foi implantada do lado de fora da rotatória. Embora pareça intimidante, estatisticamente, o Magic Roundabout é um dos cruzamentos mais seguros da Inglaterra. Read more: http: //molhoingles. com/rotatoria-magica-inglaterra/#ixzz 3 i 8 VWso. Tw

Definição de Matrizes Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Amxn = = [aij]mxn Elemento da linha i e coluna j Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna matriz A de m linhas e n colunas Pensei que fosse aquele filme!

TIPOS DE MATRIZES Matriz quadrada m = n (x linhas = x colunas) Diagonal principal (i = j) Elementos da diagonal principal: 1, 1 e 2 Diagonais Só tem sentido falar de diagonais em matrizes quadradas. Diagonal secundária = (n + 1 = i + j) Elementos da diagonal secundária: 2, 1 e 4 Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)

Matrizes Triangulares Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos. Matriz triangular superior Matriz triangular inferior Lembre-se o ou da matemática não é excludente, ou seja, vale também quando ambos são verdade! Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares são quadradas. Esta também é uma matriz triangular!

Casos especiais de Matrizes Triangulares. Matriz diagonal Apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares são quadradas. Chatice hein! Matriz identidade A identidade é uma matriz diagonal cujo elementos da diagonal principal são todos iguais a um. Chamamos a matriz acima de I 3 (identidade de ordem 3) Todas as Triangulares são quadradas, logo, a diagonal e a identidade são quadradas. No geral, In onde n é a ordem da matriz.

Matriz nula Todos os elementos são nulos. Igualdade de Matrizes Duas matrizes são ditas idênticas quando seus elementos correspondentes são iguais. Então essa é O 3 x 4 Chamamos a matriz nula de Omxn A Matriz nula não precisa ser quadrada! Caso ao olhar essas duas matrizes e não ver que elas são iguais, favor procurar o oculista.

Transposta troca de linha por coluna (m x n => n x m ) Matriz A transposta Simétrica Matriz quadrada tal que At = A = Matriz A transposta Anti-Simétrica Matriz quadrada tal que At = -A Os elementos da transposta são os opostos da original.

OPERAÇÕES COM MATRIZES Adição Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B. + = É sempre possível somar matrizes? Não! Somente quando estas forem de mesma ordem. Se liguem, o mesmo vale pra subtração.

Multiplicação por escalar ( número real qualquer) multiplicamos todos os elementos da matriz por este número. Matriz A Matriz -2 A

Multiplicação de matriz por matriz CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p. Ihhh. . . Aqui fu. . . ! O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C 11. O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C 12. Em geral AB BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA.

Observe, multiplicamos ordenadamente os termos, ou seja, multiplicamos o primeiro elemento da elemento com o primeiro da coluna e por aí vai. . . 2. 1 + 1. 0 2. (-1) + 1. 4 4. 1 + 2. 0 5. 1 + 3. 0 4. (-1) + 2. 4 5. (-1) + 3. 4

Propriedades do produto de matrizes As propriedades básicas do produto de matrizes são dadas pelo seguinte teorema: a) A(BC) = (AB)C b) A(B + C) = AB + AC c) (A + B)C = AC + BC Note que, dadas duas matrizes Amxp e Bpxn, então A. B pode ser calculada (mxn). Quanto a B. A pode ocorrer: 1. o produto B. A pode não ser definido 2. (m=n) e B. A é definida mas A. B B. A (tamanho) 3. A. B e B. A podem ter o mesmo tamanho mas A. B B. A 4. A. B = B. A

Propriedades do produto de matrizes Exemplos:

EXEMPLO 1 41

EXEMPLO 2 42

EXEMPLO 3 43

EXEMPLO 4 44

EXEMPLO 5 45

Tipos de Matrizes Matriz Quadrada: é matriz cujo número de linhas é igual ao de colunas. Matriz Transposta: é a matriz obtida trocando-se a linha pela coluna e vice-versa da matriz original.

Matriz Identidade: é a matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguais a zero. Ex: diagonal principal

Matriz Triangular: é matriz cujos elementos localizados acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Matriz Diagonal: é a matriz cujos elementos localizados acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Traço da Matriz: é a soma dos elementos da diagonal principal. Traço: 4 + 2 + 6 = 12

Matriz Simétrica: Os elementos opostos em relação à diagonal principal são iguais. Matriz Anti-Simétrica: Os elementos da diagonal principal são iguais a zero. Os elementos opostos em relação à diagonal principal são simétricos.

Matriz Inversa: O produto de uma matriz pela sua inversa é igual à matriz identidade. Sendo det A = 12 – 10 det A = 2 , determine

Matrizes booleanas Matrizes constituídas apenas de zeros e 1’s são frequentemente utilizadas para representar estruturas discretas. Definição: Uma matriz booleana é uma matriz mxn em que os elementos são zeros ou uns. Exemplo: George Boole - 1864

Operações com matrizes booleanas Def. : sejam A=[aij] e B=[bij] duas matrizes booleanas, 1) A B=C=[cij] é a junção (máximo) de A e B, dada por: 2) A B=D=[dij] é o encontro (mínimo ) de A e B, dado por: ( Note que A e B devem ter o mesmo tamanho

Operações com matrizes booleanas Exemplo: Calcule a junção e o encontro de: Solução:

Operações com matrizes booleanas Def. : Sejam as matrizes booleanas A=[aij] (mxp) e B=[bij] (pxn). O produto booleano de A e B é a matriz C mxn cujos elementos são dados por: cij = (ai 1 b 1 j) (ai 2 b 2 j) . . . (aip bpj) Denota-se este produto por A B Note que esta operação é idêntica à multiplicação matricial ordinária em que: - a adição é substituída por - a multiplicação é substituída por

Produto booleano Exemplo: Encontre o produto booleano de A e B, onde: Note que #colunas de A deve ser = #linhas de B

Operações com matrizes booleanas Teorema: Se A, B e C são matrizes booleanas, então: 1) a) A B = B A b) A B = B A 2) a) (A B) C = A (B C) b) (A B) C = A (B C) 3) a) A (B C) = (A B) (A C) b) A (B C) = (A B) (A C) 4) A (B C) = (A B) C

DETERMINANTES I – Definição É um número associado a uma matriz quadrada. II – Determinante de uma matriz de 2ª ordem Seja a matriz A = , então: det A =

Ex: det = 2. (- 4) – 1. (- 3) det = -8 + 3 det = -5

III – Determinante de uma matriz de 3ª ordem (Regra de Sarrus) Ex: det = 3. (-3). 5 + 1. 1. (-1) + 2. 4. 6 – (-1). (-3). (2) – 6. 1. 3 – 5. 4. 1 det = – 45 – 1 + 48 – 6 – 18 – 20 det = – 42

IV – Menor Complementar (Dij) É o determinante da matriz obtida após ser eliminada a linha e a coluna do elemento aij considerado. , calcule D 12 Ex. Sendo det = 3 + 10 det = 13 D 12 = 13

V – Cofator Ex. Dada a matriz , calcule C 21

Propriedades dos Determinantes: 1ª propriedade: Se os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada forem todos iguais a zero, o seu determinantes será zero. Ex.

2ª propriedade: Se os elementos de duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada forem iguais ou proporcionais, o seu determinante será zero. Ex.

3ª propriedade: Se trocarmos de posição entre si duas linhas ou colunas de uma matriz quadrada, o determinante é o simétrico do anterior. Ex. det = 8 – 15 det = -7 det = 15 – 8 det = 7

4ª propriedade: Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna por um número real k, então o determinante da nova matriz é o anterior multiplicado pelo número k. Obs: Conseqüência da propriedade: , onde n é a ordem da matriz. Ex: Sendo A 3 x 3, e det A = 5, calcule det (2 A) = 23. det A det (2 A) = 8. 5 det (2 A) = 40

5ª propriedade: O determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua transposta. 6ª propriedade: O determinante de uma matriz A igual ao inverso do determinante da matriz inversa de A.

7ª propriedade: O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Ex: det = (-3). 2. 4. 2 det = - 48

8ª propriedade: Teorema de Binet Sendo A e B duas matrizes quadradas temos que: det (A. B) = det A. det B Dadas as matrizes A = calcule det (A. B) = det A. det B det (A. B) = (-14). 6 det (A. B) = -84 e B=

Referência Howard, A. ; Rorres C. Álgebra Linear com Aplicações (trad. Claus Ivo Doering), 8ª edição, Bookman, Porto Alegre, 2001, 572 p.