lgebra de Boole lgebra de Boole Definicin axiomtica

Álgebra de Boole

Álgebra de Boole Definición axiomática El álgebra de Boole es un Sistema Matemático consistente en un conjunto de elementos (B) y dos operaciones matemáticas (+ y ) que cumple los siguientes postulados: Postulados de Huntington p 1: Postulado del cierre: Si x, y B (a) x + y B (b) x y B p 2 : Postulado de los elementos de identidad: para x B (a) un elemento de identidad con respecto al operador + denominado elemento nulo es designado por el símbolo 0 y cumple: x + 0 = 0 + x = x (b) un elemento de identidad con respecto al operador denominado elemento unidad es designado por el símbolo 1 y cumple : x 1 = 1 x = x

Álgebra de Boole Definición axiomática p 3 : Propiedad conmutativa: x, y B (a) x+y = y+x (b) x y = y x p 4 : Propiedad distributiva: x, y, z B (a) x (y+z) = x y + x z (b) x+(y z) = (x+y) (x+z) p 5 : Axiomas del complemento: x B x’ B que cumple: (a) x + x’ = 1 (b) x x’ = 0 p 6 : Existen al menos dos elementos x, y B / x ≠ y

Álgebra de Boole Convenciones - La representación del operador puede omitirse: a b también puede representarse como ab - El operador tiene precedencia respecto al + (a b) + (c d) ab +cd

Álgebra de Boole. Teoremas. T 0: Principio de dualidad: cada teorema deducible de los postulados de un álgebra booleana puede transformarse en un segundo teorema válido sin más que intercambiar las operaciones + y entre sí, así como los elementos 0 y 1. T 1 : Teorema de idempotencia (a) x + x = x (b) x · x = x (b es la dual de a) T 2 : Teorema de los elementos dominantes (a) x + 1 = 1 (b) x · 0 = 0 (b es la dual de a)

Álgebra de Boole. Teoremas. T 3 : Ley involutiva (x’)’ = x T 4 : Teorema de absorción (a) x + xy = x (b) x · (x+y) = x T 5 : Teorema del consenso (a) x + (x’y) = x+y (b) x · (x’+y) = xy

Álgebra de Boole. Teoremas. T 3 : Ley involutiva (x’)’ = x T 4 : Teorema de absorción (a) x + xy = x (b) x · (x+y) = x T 5 : Teorema del consenso (a) x + (x’y) = x+y Dem: x + x’y = <distrib> (x + x’) · (x + y) = <complement> 1 · (x + y) = <ident> x + y (b) x · (x’+y) = xy

Álgebra de Boole. Teoremas. Teorema del consenso generalizado (a) xy + x’z + yz = xy + x’z Dem: xy + x’z + yz = <elemento unidad> xy + x’z + yz 1 = <complemento> xy + x’z + yz(x + x’) = <distributiva> xy + x’z + xyz + x’yz = <conmutativa> xy + xyz + x’yz = <absorción> xy + x’z (b) x · (x’+y) = xy

Álgebra de Boole. Teoremas. T 6 : Teorema asociativo (a) x+(y+z)= (x+y)+z (b) x(yz)=(xy) z T 7 : Leyes de De. Morgan (a) (x+y)’ = x’y’ (b) (xy)’ = x’ + y’

Álgebra de Boole. Teoremas. Ley de De. Morgan generalizada

Álgebra de Conmutación

Álgebra de Conmutación • • • Nuestro objetivo es establecer una relación entre el álgebra de Boole y los circuitos. Para ello introduciremos un tipo particular del álgebra de Boole denominada álgebra de conmutación. En este álgebra: B={0, 1} En este álgebra se cumplen los postulados y teoremas descritos anteriormente