Lezione 20 Teoria di Fermi del decadimento beta

Lezione 20 • Teoria di Fermi del decadimento beta nucleare • Generalizzazione della teoria di Fermi • Esercizi sulla composizione dei diagrammi di Feynman delle interazioni deboli • Ipotesi dell'universalità delle interazioni deboli- Angolo di Cabibbo 1

Teoria di Fermi del decadimento beta nucleare Nel 1933 Fermi enunciò la sua teoria sul decadimento beta nucleare. Accolto il suggerimento di Pauli circa l'esistenza di una nuova particella neutra di massa nulla emessa nel corso di tale decadimento (il neutrino), Fermi affermò che la trasmutazione di un neutrone in protone (o viceversa) poteva essere resa possibile solo da un nuovo tipo di interazione tra particelle. Per studiare il decadimento beta in analogia con le interazioni e. m. , Fermi osservò che il decadimento beta del neutrone: è del tutto equivalente al seguente processo "incrociato", ottenuto dal precedente portando l'antineutrino dallo stato finale allo stato iniziale e trasformandolo in neutrino: Fermi tentò di descrivere il processo (2) in analogia con quanto fatto per il processo di diffusione elettromagnetica elettrone-elettrone, ma ipotizzando che l'interazione fosse puntiforme, cioè che non ci fosse scambio di propagatore. 2

pi pf e- e- e- ep'i Quadricorrente e. m. n pf p'i p'f ep p'f Quadricorrente e. m. Propagatore del fotone Costante di accoppiamento e pi Quadricorrente elettrone-neutrino Quadricorrente protone-neutrone No propagatore Costante di accoppiamento 3

Fermi considerò l'interazione come puntuale in quanto essa ha un "range" (portata) molto breve. In realtà l'interazione debole è mediata anch'essa da bosoni, ma essendo questi molto massivi, la loro propagazione è breve. Infatti il range sarà dato da (v. lezione 6): Nell'elemento di matrice scritto da Fermi in realtà il propagatore del bosone W o Z 0, o meglio quello che di esso sopravvive alle basse energie, è già contenuto nella costante di accoppiamento. Il propagatore del bosone W o Z 0, infatti, essendo queste particelle massive, è dato (a differenza di quello del fotone che era 1/q 2 essendo di massa nulla) da: che, per energie trasferite molto inferiori alla massa dei bosoni diventa praticamente costante e si riduce a: Pertanto la relazione che lega la costante di accoppiamento g delle interazioni deboli e la costante di Fermi GF è: 4

Come vedremo parlando del Modello Standard, che unifica le interazioni elettromagnetiche e quelle deboli, in realtà la costante di accoppiamento e. m. e e quella debole g sono circa dello stesso ordine di grandezza. L'interazione debole però alle basse energie diventa molto meno intensa di quella e. m. a causa dell'elevato valore della massa del bosone scambiato. Alle alte energie invece, quando gli impulsi trasferiti sono molto maggiori della massa dei bosoni, l'intensità dei due tipi di interazioni diventa simile. Questo è stato il punto di partenza per l' unificazione dell'interazione e. m. e di quella debole in unica interazione detta elettro-debole. 5

Una stima del valore di GF può essere fornita dalla vita media del decadimento debole del muone: La vita media t del muone è legata alla larghezza di decadimento G dalla relazione: Per trovare G, applichiamo la 2 a regola d'oro di Fermi: dove: GF fornisce informazioni sull'intensità dell'interazione |Mfi|2 è l'elemento di matrice della transizione che fornisce informazioni sulla dinamica delle interazioni, cioè sulla natura delle forze in gioco r rappresenta la densità degli stati finali, cioè lo spazio delle fasi accessibile alle particelle e contiene solo informazioni cinematiche 6

Si può dimostrare, calcolando lo spazio delle fasi accessibile a tre leptoni, che: dove GF è il parametro che vogliamo determinare. Essendo: ed essendo la vita media del muone misurabile con precisione: dal confronto della (1), della (2) e della (3), possiamo estrarre una stima di GF: GF 1. 16 10 -5 Ge. V-2 7

Generalizzazione della teoria di Fermi Abbiamo visto che l’ampiezza della diffusione: e- e- è data da: La quadricorrente e. m. è: cioè è un quadrivettore e quindi, moltiplicato per un altro quadrivettore, ci fornirà uno scalare, che è una quantità che conserva la parità (cioè non cambia segno cambiando un sistema destrorso in uno sinistrorso): la forma della quadricorrente e. m. è una manifestazione del fatto che le interazioni e. m. conservano la parità. Al contrario, abbiamo visto che le interazioni deboli violano la parità. Pertanto un’espressione della quadricorrente debole come quella data da Fermi non è del tutto giustificato. Nella quadricorrente debole dobbiamo pertanto includere un termine che possa comportare la violazione della parità. Che forma ha questo termine? 8

Abbiamo visto, studiando l’equazione di Dirac, che applicando l’operatore (14 4 - 5 ) ad uno spinore + ad energia positiva ne “estraiamo” la sua parte left-handed e se lo applichiamo ad uno spinore - ad energia negativa ne “estraiamo” la sua parte righthanded. Pertanto nella nuova base possiamo costruire uno spinore a due componenti c. L, costituito dalla particella left-handed e dall'antiparticella right-handed (viceversa per lo spinore a due componenti c. R): s s particella L-H antiparticella R-H L R R c. L antiparticella L-H L c. R Abbiamo anche visto che lo spinore c. R non esiste per particelle di massa nulla, come il neutrino e l'antineutrino, mentre esiste per particelle di massa non nulla (come l'elettrone) ma non partecipa alle interazioni deboli (con scambio di corrente carica). 9

Per far agire nelle interazioni deboli solamente la parte left-handed delle particelle, la quadricorrente delle interazioni deboli non potrà essere uguale a quella delle interazioni e. m. : bensì dovrà essere: dove: Sfruttando le definizioni (2) e (3) possiamo riscrivere così la (1) (ometto la dipendenza degli spinori dagli impulsi): 10

Diagrammi di Feynman di interazioni deboli Le interazioni deboli si esercitano tra leptoni e tra quark e quindi tra adroni (mesoni e barioni) in quanto composti da quark. Sono mediate dai bosoni W± e Z 0. Facciamo qualche esercizio per imparare a costruire i diagrammi di Feynman dei vari tipi di processi deboli. Per i decadimenti leptonici o semileptonici, ricordiamo che in ogni vertice deve conservarsi il numero leptonico (se ci sono leptoni coinvolti) e che i neutrini sono sensibili solo alle interazioni deboli e quindi possono scambiare solo bosoni W± e Z 0. Se un leptone non cambia carica nel vertice come nei casi seguenti: nel vertice verrà emesso un bosone neutro, lo Z 0. Se invece c'è un cambiamento di carica come nei casi seguenti: nel vertice verrà emesso un bosone carico W+ nel caso 2 e nel caso 5 e un W- nel caso 3 e nel caso 4 (o, il che è equivalente, verrà assorbito un W- nel caso 2 e nel caso 5 e un W+ nel caso 3 e nel caso 4). Z 0 caso 1) W+ Wcaso 2) W- W+ caso 3) 11

Per i decadimenti semileptonici e non leptonici, in cui sono coinvolti adroni, disegneremo il diagramma di Feynman, scomponendo l'adrone nei suoi quark costituenti. Sono possibili le seguenti transizioni di quark appartenenti allo stesso doppietto: In entrambe le transizioni vi è un cambiamento di carica: quindi avvengono per emissione di un W+ la prima e la terza e di un W- la seconda e la quarta. Sono però possibili anche transizioni nelle quali viene violata la stranezza e cioè un adrone con stranezza si trasforma in un adrone non strano. Ciò significa, a livello di quark costituenti, che un quark s si è trasformato in un quark u. Sono quindi possibili anche le seguenti transizioni tra quark non appartenenti allo stesso doppietto (tra poco vedremo la spiegazione del fenomeno data da Cabibbo): W+ Wcaso 1) W+ caso 3) W+ caso 5) W+ caso 7) 12

Processi leptonici Si tratta di una diffusione di leptoni. Nello stesso vertice convergeranno l' elettrone iniziale e quello finale. L'interazione avviene per scambio di un bosone neutro (perchè in ogni vertice la particella non cambia carica) e questo bosone potrà essere sia un bosone neutro Z 0 (interazione debole), sia un fotone (interazione elettromagnetica). Z 0 Diffusione di leptoni per interazione debole (con scambio di corrente neutra) g Diffusione di leptoni per interazione e. m. 13

Si tratta di una diffusione di antineutrini su elettroni. Trattandosi di antineutrini elettronici, cioè con numero leptonico opposto a quello dell'elettrone, l'interazione può avvenire in due modi. In un vertice possono convergere l' elettrone iniziale e quello finale e nell'altro vertice l'anti-neutrino iniziale e quello finale. In tal caso sia l'elettrone sia l'antineutrino non cambiano carica nel vertice e pertanto l'interazione sarà mediata da un bosone neutro, che può essere solo uno Z 0, in quanto i neutrini non sono sensibili alle interazioni e. m. (diagramma (a)-per scambio di corrente neutra). Può anche accadere però che in un vertice convergano l'elettrone e l'antineutrino iniziali (nel vertice c'è conservazione del numero leptonico) e nell'altro vengano prodotti l'elettrone e l'antineutrino finali. In tal caso in un vertice convergono una particella carica e una neutra e pertanto il bosone emesso dovrà avere carica negativa (diagramma (b) - per scambio di corrente carica). Z 0 W (a) Diffusione antineutrino-elettrone per scambio di corrente neutra (b) Diffusione antineutrino-elettrone per scambio di corrente carica 14

Si tratta di una diffusione di neutrini su elettroni. Trattandosi di neutrini elettronici, cioè con lo stesso numero leptonico dell'elettrone, l'interazione può avvenire solo in un modo. In un vertice devono convergere l' elettrone iniziale e quello finale e nell'altro vertice il neutrino iniziale e quello finale. In tal caso sia l'elettrone sia il neutrino non cambiano carica nel vertice e pertanto l'interazione sarà mediata da un bosone neutro, che può essere solo uno Z 0 (diagramma (a)-per scambio di corrente neutra). Un diagramma analogo al (b) della diffusione di antineutrini non può in questo caso verificarsi perchè avremmo un vertice nel quale convergono un elettrone e un neutrino e non si avrebbe conservazione di numero leptonico (v. grafico a destra), perchè dal vertice dovrebbe uscire una particella con numero leptonico elettronico uguale a due, che non esiste. Z 0 Diffusione neutrino-elettrone per scambio di corrente neutra 15

Si tratta di una diffusione di neutrini su elettroni. Trattandosi di neutrini muonici, cioè con numero leptonico diverso da quello dell'elettrone, l'interazione può avvenire solo in un modo. In un vertice devono convergere l' elettrone iniziale e quello finale e nell'altro vertice il neutrino iniziale e quello finale. L'elettrone e il neutrino non cambiano carica nel vertice e pertanto l'interazione sarà mediata da un bosone neutro, che può essere solo uno Z 0. Un diagramma analogo al (b) della diffusione di antineutrini elettronici non può in questo caso verificarsi perchè avremmo un vertice nel quale convergono un elettrone e un antineutrino muonico e non si avrebbe conservazione di numero leptonico. Z 0 Diffusione antineutrino-elettrone con scambio di corrente neutra 16

Si tratta di un' annichilazione elettrone-positrone. Dato che l'elettrone e il positrone hanno numero leptonico opposto e troviamo un elettrone e un positrone sia nello stato iniziale sia in quello finale, la conservazione del numero leptonico a ogni vertice potrà avvenire in due modi. In un vertice possono convergere l'elettrone e il positrone dello stato iniziale e nell' altro vertice l'elettrone e il positrone dello stato finale. Trattandosi di una annichilazione, il bosone mediatore deve essere neutro e potrebbe essere prodotto sia un bosone Z 0 (interazione debole) sia un fotone (interazione elettromagnetica). e + e - Z 0 (a) Annichilazione di leptoni per interazione debole (con scambio di corrente neutra) (b) Annichilazione di leptoni per interazione e. m. 17

Il processo può anche avvenire però in un secondo modo: in un vertice possono convergere gli elettroni iniziale e finale e nell' altro vertice i positroni iniziale e finale. Anche in questo caso, dal momento che le particelle in ciascun vertice non cambiano carica, il bosone scambiato sarà neutro e potrebbe essere sia un bosone Z 0 (interazione debole) sia un fotone (interazione elettromagnetica). e + e - Z 0 (c) Annichilazione di leptoni per interazione debole (con scambio di corrente neutra) (d) Annichilazione di leptoni per interazione e. m. 18

Si tratta ancora di un' annichilazione elettrone-positrone, ma con uno stato finale differente da quello iniziale. In questo caso poichè i numeri leptonici del m e del t sono differenti da quelli dell'elettrone, la conservazione dei rispettivi numeri leptonici dovrà avvenire in vertici separati. In un vertice devono convergere l'elettrone e il positrone dello stato iniziale e nell' altro vertice il m+ (o il t+) e il m- (o il t-) dello stato finale. Trattandosi di una annichilazione, il bosone mediatore deve essere neutro e potrebbe essere prodotto sia un bosone Z 0 (interazione debole) sia un fotone (interazione elettromagnetica). Non è possibile invece un diagramma come quelli della pagina precedente (c) e (d) perchè non ci sarebbe conservazione del numero leptonico. e + e - m + m - , t + t - Z 0 Annichilazione di leptoni per interazione debole (con scambio di corrente neutra) Annichilazione di leptoni per interazione e. m. 19

Si tratta di nuovo di un' annichilazione di leptoni. Perchè si conservi in ogni vertice il numero leptonico occorre che l'elettrone e il positrone convergano nello stesso vertice e il neutrino e l'antineutrino muonici anche. Deve trattarsi pertanto di una annichilazione e come tale il bosone mediatore deve essere neutro. Trattandosi nel vertice iniziale di un elettrone e un positrone, l'annichilazione potrebbe produrre sia un bosone Z 0 sia un fotone . Tuttavia poichè nel vertice finale devono essere prodotti neutrini il bosone mediatore può solo essere uno Z 0 Annichilazione di leptoni con scambio di corrente neutra 20

N. B. Se invece il processo ha neutrini elettronici nello stato finale: ci sarebbe anche un altro diagramma possibile con scambio di corrente carica, se in un vertice convergono l'elettrone e il neutrino e nell'altro il positrone e l'antineutrino. In tal caso perchè un leptone negativo si trasformi in uno neutro deve aver emesso un bosone negativo W- (o, il che è equivalente, aver assorbito un bosone positivo W+). Z 0 Annichilazione di leptoni con scambio di corrente neutra W Annichilazione di leptoni con scambio di corrente carica 21

Si tratta del decadimento del muone. In un vertice devono convergere il muone positivo e il suo antineutrino, mentre nell' altro vertice devono convergere il positrone e il neutrino elettronico dello stato finale. Poichè il muone carico si trasforma in particella neutra, nel vertice sarà emesso un W+ che poi sarà riassorbito dall' altro vertice, nel quale vengono creati un neutrino e un leptone carico. W+ 22

Processi semi-leptonici Scomponiamo i due adroni nei quark che li costituiscono: Essi hanno in comune due (u d) dei tre quark e un terzo diverso, d per il neutrone e u per il protone. Pertanto un neutrone si può trasformare in un protone, se il suo quark d si trasforma in u e questo può farlo, come abbiamo visto, per emissione di un bosone carico W-. Nell'altro vertice devono convergere l'elettrone e l'antineutrino dello stato finale, che assorbono il W-. n u d u u d d p W Decadimento semi-leptonico di adrone non strano con scambio di corrente carica 23

Si tratta del decadimento semi - leptonico di un adrone con stranezza. Il decadimento comporta violazione di stranezza, pertanto è un decadimento debole e comporterà la trasformazione di un quark s in un quark non strano. Scomponiamo i due adroni nei quark che li costituiscono: Come prima, essi hanno in comune due (u d) dei tre quark e un terzo diverso, s per la L e u per il protone. Pertanto una L si può trasformare in un protone, se il suo quark s si trasforma in u e questo può farlo per emissione di un bosone carico W-. Nell'altro vertice devono convergere l'elettrone e l'antineutrino dello stato finale, che assorbono il W -. L u d u u d s p W Decadimento semi-leptonico di adrone strano con scambio di corrente carica 24

Processi non-leptonici Si tratta del decadimento non - leptonico di un adrone con stranezza. Il decadimento comporta violazione di stranezza, pertanto è un decadimento debole e di nuovo comporterà la trasformazione di un quark s in un quark non strano per emissione di un bosone carico, W-. La differenza rispetto al decadimento semi-leptonico della L è che in questo caso anche il secondo vertice coinvolge quark. Vediamo come, scomponendo gli adroni nei loro quark costituenti: Nell'altro vertice nel quale confluisce il W- vengono creati dunque un d (qd=-1/3) e un u (qu=-2/3), che in totale hanno carica -1 (quindi la carica è conservata). L u d s u d u W- d p 25

Ipotesi dell' universalità delle interazioni deboli Abbiamo visto che l' interazione debole può accoppiare sia quark sia leptoni. L' ipotesi dell' universalità delle interazioni deboli consiste nell' assumere che la costante di accoppiamento g delle interazioni deboli sia la stessa per tutti i quark e i leptoni. Tuttavia se raggruppiamo i quark nei doppietti già noti, in modo analogo a quanto fatto per i leptoni: ci accorgiamo di una fondamentale dissimmetria tra il comportamento dei leptoni e quello dei quark: le famiglie leptoniche non possono mescolarsi fra loro, cioè un leptone di un doppietto non può mai trasformarsi in un leptone di un altro doppietto e la costante di accoppiamento debole è g, uguale per tutti gli accoppiamenti; al contrario le famiglie di quark possono mescolarsi per effetto delle interazioni deboli. La cosa è dimostrata ad esempio dall'esistenza di decadimenti deboli di adroni che violano la stranezza. Ciò è fattibile solo ipotizzando la possibilità di una transizione u s per le interazioni deboli, anche se con una probabilità più bassa della transizione u d interna al doppietto. 26

Angolo di Cabibbo fornì una spiegazione della ragione del possibile mescolamento. Consideriamo il decadimento debole di un adrone non strano ( S = 0) e quello di un adone con stranezza ( S = 1): S = 0 n u d u u d d W S = 1 p L u d s u d u W d p 27

Il processo che presenta violazione di stranezza è però estremamente soppresso rispetto a quello senza violazione, cioè ha una probabilità molto più bassa di verificarsi. Se invece fosse vero che tutte le transizioni tra quark hanno la stessa costante di accoppiamento g delle transizioni tra leptoni, i due processi dovrebbero avere sezioni d'urto comparabili tra loro, in quanto i due diagrammi dovrebbero essere descritti da elementi di matrice analoghi: e le sezioni d’urto dovrebbero differire soltanto per il fattore dovuto allo spazio delle fasi. Cabibbo spiegò sia la transizione u s, sia la differenza di sezione d'urto rispetto a un processo con una transizione u d, affermando che gli autostati delle interazioni deboli non sono gli stessi delle interazioni forti (cioè le famiglie dei quark viste prima) ma loro combinazioni lineari. L’angolo di mixing C è detto angolo di Cabibbo. 28

Pertanto il partner del quark up in una interazione debole non è il quark d, ma una combinazione lineare di quark d e di quark s e lo stesso dicasi per il quark c. Il quark u e il quark c si possono trasformare con una certa probabilità in un quark d e con un'altra probabilità in un quark s: Il valore dell'angolo di mixing può essere valutato in modo tale da riprodurre i rapporti tra le sezioni d'urto osservate. Il suo valore è: C 13º Pertanto mentre la costante di accoppiamento delle transizioni leptoniche è g: W W quella delle transizioni tra quark è diversa per u d e u s (o c d e c s): W W 29

Nei diagrammi citati prima allora (con S = 0 o S = 1) la costante di accoppiamento nel vertice in cui un quark s si trasforma in un quark u risulta molto soppressa rispetto a quella del vertice in cui un quark d si trasforma in un quark u: S = 0 n u d u u d d W- S = 1 p L u d s u d u W- d p 30

Il rapporto relativo tra le due sezioni d'urto sarà allora: Pertanto: i decadimenti con S= 0 sono favoriti, quelli con S=1 sono soppressi. N. B. La teoria di Cabibbo e la sua estensione a una possibile terza famiglia venne formulata prima che venisse scoperto sperimentalmente il quark c. 31

In realtà il ragionamento va completato inserendo anche i membri del terzo doppietto, il top e il bottom. Poichè gli stati d' e s' possono essere pensati come ottenuti dalla applicazione di una matrice 2 2 agli stati d ed s: analogamente, passando al caso di tre quark da mescolare, d, s e b, i nuovi stati d', s' e b' potranno essere ottenuti dai precedenti per applicazione di una matrice 3 3 che è detta "matrice di Cabibbo-Kobayashi-Maskawa" (CKM): 32