LEY DE SENOS Y COSENOS J JAVIER SEGURA

LEY DE SENOS Y COSENOS J. JAVIER SEGURA RAMÍREZ

LEY DE SENOS En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos: B c Entonces D Y despejando: a ---(1) En el triángulo BCD: Por lo que E = c Sen A = a Sen C C b A Sen B = = a Sen B En el triángulo ACD: Sen A = Se tiene el triángulo ABC y se trazan las alturas y. Por lo que En el triángulo ABE: Sen A = Y despejando: Por lo que De (1) y (2) y la propiedad transitiva de la igualdad: = c Sen A En el triángulo CBE: Sen (180°-C)= Sen C = . Por lo que = a Sen C Entonces = b Sen A = a Sen B = b Sen A ---(2)

LEY DE COSENOS a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc Cos A b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac Cos B c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab Cos C B c a a 2 = c 2 – 2 c D + a 2 = b 2 + c 2 – 2 c C Pero A b En el BCD, a 2 = 2 + 2 En el ACD, b 2 = 2 + 2 Y despejando: En el segmento 2 = b 2 - 2 : a 2 = ( c - ) 2 + b 2 ---(4) = b cos A Por lo que sustituyendo en (4): ---(1) a 2 = b 2 + c 2 – 2 c ( b cos A ) a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos A ---(2) ---(3) Sustituyendo (2) y (3) en (1) : + b 2 - cos A = Y despejando: En el ABC, se traza la altura 2 2

1. Resuelve el triángulo oblicuángulo cuyos lados miden: a = 80, b = 65, c = 74. Debemos hallar la medida de los tres ángulos: A, B y C. Calculamos el ángulo A aplicando la Ley de Cosenos: a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos A Despejando: cos A = Entonces Cos – 1 0. 343139 = 69. 931765° , y para obtener minutos y segundos: 60(. 931765) = 55. 9059 y 60(. 9059) = 54. 354 por lo que A = 69° 55’ 54’’. Calculamos el ángulo B aplicando la Ley de Senos: Despejando: sen B = Entonces sen – 1 0. 763169 = 49. 744372° por lo que B = 49° 44’ 39’’. Calculamos el ángulo C aplicando la Ley de Senos: Despejando: Entonces sen C = sen – 1 0. 868839 = 60. 324003° por lo que C = 60° 19’ 26’’. Comprobación: A + B + C = 179° 59’’. La diferencia es 1’’ por redondeo.

2. Resuelve el triángulo oblicuángulo con datos: a = 50, b= 40, C= 76° 42’ Debemos hallar la medida del tercer lado (c) y de los otros dos ángulos A y B. Calculamos el lado c aplicando la Ley de Cosenos: c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos C c 2 = 502 + 402 – 2(50)(40) cos 76° 42’. Como 42 / 60 = 0. 7, entonces: c 2 = 2500 + 1600 – 4000 cos 76. 7° = 3179. 8 Así que c = = 56. 39 Calculamos el ángulo A aplicando la Ley de Senos: Despejando: Sen A = Entonces Sen – 1 0. 862900 = 59. 643771° por lo que A = 59° 38’ 37’’ Calculamos el ángulo B aplicando la Ley de Senos: Despejando: Entonces Sen B = Sen – 1 0. 69032 = 43. 655445° Comprobación: por lo que B = 43° 39’ 19’’. A + B + C = 179° 59’ 56’’. La diferencia es de 4’’ por redondeo.

3. Un túnel se va a construir a través de una montaña. Se fija un punto de referencia que se observa desde los puntos de entrada y de salida. La distancia de este punto al de entrada es de 253 m y al de salida es de 462 m. El ángulo formado por estas distancias con vértice en el punto de referencia es de 75° 30’. Calcula la longitud del túnel. Calculamos el lado c aplicando la Ley de Cosenos: c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos C c A 253 B 462 C Según la figura, tenemos que C = 75° 30’ y el lado opuesto será c, que representa la longitud del túnel. Como 30 / 60 = 0. 5, entonces C = 75. 5° a = 462 m y b = 253 m c 2 = 4622 + 2532 – 2(462)(253) Cos 75. 5° c 2 = 218921. 17 por lo que c = 467. 89 Entonces, la longitud del túnel es 468 m.

4. Dos personas situadas en puntos opuestos de una ciudad ubicada en un terreno plano, observan que sobre la ciudad hay un objeto que parece ser un OVNI. Los ángulos de elevación del punto de observación de cada persona con respecto al objeto son de 25° y 30°. Si la distancia entre las dos personas es de 2 km, ¿a qué altura se encuentra el objeto? C b a Despejando: a = 1031. 84 m A c D Ahora, el BCD es rectángulo y respecto al ángulo B, conocemos la hipotenusa a y queremos hallar el cateto opuesto. Por lo que B El ángulo A= 25° y el ángulo B= 30°. En el ABC, el lado c mide 2000 m y queremos hallar la medida de la altura Sen B =. Como A + B + C = 180°, entonces C = 125° Calculamos el lado a, aplicando la Ley de Senos: y despejando: = a Sen 30° = 1031. 84 (0. 5) = 515. 92 Por lo que el objeto se encuentra a una altura de 516 m.

Practica con estos ejercicios: 1. Resuelve el triángulo oblicuángulo siguiente: b = 50, A = 57° 7’, C = 78° 28’. 2. La magnitud de la resultante de dos fuerzas de 115 kg y 215 kg es de 275 kg. Encuentra el ángulo formado por las direcciones de las dos componentes. No veas las respuestas hasta que estés seguro de tus resultados.

Respuestas a los ejercicios: Recuerda: No veas estas respuestas hasta que estés seguro de tus resultados. 1. B = 44° 25’ , a = 60 , c = 70. 2. = 109° 5’ 33’’

Si deseas ampliar el tema, puedes consultar: • • Aurelio Baldor. Geometría y Trigonometría. Abelardo Guzmán. Geometría y Trigonometría. Burrill-Cummins et al. Geometría. Francisco Ortíz. Matemáticas II, Geometría y Trigonometría. • www. acienciasgalilei. com • www. monografias. com