lestimation des concentrations dans les BV dans les

l’estimation des concentrations dans les BV & dans les cours d’eau ; l’apport de la géostatistique 1. estimation géostatistique de la moyenne annuelle et du quantile 90% 2. interpolation entre stations 3. vers une amélioration des modèles et des estimations ? DIREN, 27 avril 2007

1. Indicateurs géostatistiques de la pollution dans les cours d’eau thèse de Caroline Bernard-Michel juillet 2006, Ecole des Mines de Paris

Le Loir à Lezigne, 1991 Concentration en nitrates (mg/l) Biais dû à l’échantillonnage préférentiel Numéro du mois Moyenne Quantile 90 12 mesures 17 34, 1 18 mesures 24, 16 55, 5 2 Très Bonne 10 Bonne 25 Moyenne 50 Médiocre Mauvaise

Echantillonnage préférentiel temporellement renforcé à des périodes variables suivant les stations - durant les fortes concentrations en nitrates - pendant l’étiage fréquence 6 mesures par an Numéro de mois 18 mesures par an

Echantillonnage préférentiel Exemple : par année, en Loire-Bretagne 6 mesures, plutôt en été - 18 mesures, renforcées en hiver le signe du biais varie suivant - les substances - les stations

Variations saisonnières nitrates à Orléans en 1985 moyenne mensuelle orthophosphate, station sur la Moselle pendant environ dix ans mois

Corrélation temporelle : variogramme orthophosphate, Loire variogramme temps

Variogramme : en dimension 1, 2. . . Plan de position Nuée variographique Variogramme expérimental

variogramme et covariance le variogramme généralise la covariance il est plus commode pour l’inférence variogramme covariance C(0) a a

Modèle avec structures gigognes Courte portée Structure gigogne Longue portée

Corrélation temporelle : variogramme des nutriments (LB)

Moyenne statistique n échantillons zi moyenne : précision : var (m-m*) = σ2/n, où σ : variance des n données

hypothèses On estime m, espérance de la loi de probabilité supposée identique pour tous les échantillons calcul de la précision : les échantillons sont des tirages indépendants

Quelle « moyenne » ? nitrates à Orléans La « moyenne annuelle » reste définie même en l’absence de stationnarité. Si la chronique est parfaitement connue, par exemple par les 365 valeurs journalières, la variance de l’erreur d’estimation est nulle

Krigeage de la moyenne annuelle des concentrations Pondération optimale des données Corrige l’irrégularité de l’échantillonnage Précision : variance de krigeage intervalle de probabilité

Poids de krigeage variogrammes

Exemple, moyenne annuelle Moyenne annuelle Ecart type d’estimation Statistique Géostatistique nitrates 9. 69 8. 59 0. 93 0. 69 nitrites 0. 049 0. 054 0. 007 0. 009 Caroline Bernard-Michel, juillet 2006

Simplification : segments d’influence corrige l’irrégularité de l’échantillonnage le calcul de la variance de l’erreur d’estimation nécessite le variogramme la simplifier ? 365 jours 1 D 1 2 3 D 2 D 3 4 D 4

Exemple : le Loir à Lezigne Moyenne pour les nitrates (écart-type de l’erreur d’estimation) Statistique Krigeage Segments d’influence 17. 00 12 mesures (5. 11) 16. 7 (1. 55) 16. 95 24. 16 18 mesures (5. 02) 19. 07 (1. 32) 18. 64

Moyenne annuelle nitrites, station 57800, 1996 Moyenne annuelle nitrates, station 50500, 1985 Nombre de prélèvements annuels Statistique Krigeage Segments d’influence Nombre de prélèvements annuels

Calcul du quantile pondération par les poids de krigeage de z. T interpolation linéaire du quantile empirique mais aux stations l’estimation du quantile 90% reste imprécise Caroline Bernard-Michel, Juillet 2006

Autres lois, autres ordres… Esperance du quantile 90 Loi normale (0, 1) Quantiles d’ordres variant de 10 à 90 10 Biais . . Taille de l’échantillon Associée à la pondération 90 Taille de l’échantillon

Quantiles : Pondération des données & interpolation linéaire de la fonction empirique en escalier sans pondération avec pondération

Exemple : le Loir à Lezigne Quantile 90% Statistique Krigeage Segments d’influence 12 mesures 34. 1 43. 34 44. 57 18 mesures 55. 5 48. 16 47. 38

Exemples : moyenne, quantile 90%

Compléments sur le krigeage Estimateurs classiques Moyenne mobile Polygone d’influence Inverse des distances Ajustement polynomial par moindres carrés échantillons cible

Polygone d’influence Toute l’influence provient du point le plus proche 1 2 100% 3 0% 0% 0% 5 0% 4 Influence limitée à une seule donnée

Polygone d’influence

Inverse des distances La pondération dépend de la distance à la cible 1 2 37% 3 21% 20% 15% 5 7% 4 • Ne discrimine pas l’information redondante • Choix du degré

Inverse des distances Inverse d 2

Krigeage - Définition Le Krigeage fournit une estimation en un point, ou en moyenne sur une maille ou sur un polygone. . . On s’intéresse à l’erreur d’estimation de moyenne nulle (non biais) de variance minimale (meilleure précision)

Krigeage Variogramme linéaire - voisinage unique Variogramme exponentiel - voisinage glissant

mais la carte krigée n’est pas non plus la réalité

Cokrigeage : utilisation d’une information corrélée application : réduction du nombre de mesures de 30%

Carte d’écart-type

2. Interpolation entre stations ? modèles géostatistiques sur un réseau hydrographique

Interpoler entre stations ? ?

Conditions de cohérence aux S confluences 1 S 2 T 2 les débits ou les « écarts » s’ajoutent D 3=D 1+D 2 les concentrations, les débits spécifiques se combinent discontinuités aux confluences adapter les variogrammes usuels T 1 T 3

Modèles géostatistiques sur un « arbre » combinaison de « filets » élémentaires inférence : stationnarité, corrélation entre filets. . .

Débit spécifique T(x) Esperance des débits spécifiques 1995 Surface drainée Ensemble du réseau Débit spécifique T(x) 1999 Moselle Surface drainée

Limites actuelles pour l’inférence du modèle Trop peu de stations de mesures sur les filets élémentaires entre deux confluences informations sur le « fonctionnement » des systèmes se caler au modèle phénoménologique : hydrométéorologie. . .

Lien avec les modèles de bassins versants ? Ecarts entre le modèle de bassin et les mesures - pallier les lacunes des mesures - se caler à un « fond de carte » réaliste - rendre les variables plus stationnaires ou réciproquement, caler les modèles de bassins aux mesures ?

Perspectives Modèles débit-flux-cencentrations Modèles spatiaux-temporels sur les graphes Calculs entre stations ? moyenne annuelle quantile

3. Vers une amélioration des modèles et des estimations ?

estimation d’une moyenne annuelle Calage des résultats de Pégase aux données, en tenant compte des différences de support spatial ou temporel à x fixé, chronique temporelle à date fixée, profil longitudinal modèle géostatistique d’écart « postraitement »

Interpolation entre stations Z = « ébauche » + écart Pégase géostatistique à partir des données : estimation Z* ≠ Z ordre de grandeur du biais des calculs « statistiques » actuels ?

estimation d’une moyenne annuelle Z (x, t) valeur réelle, inconnue Z*(x, t) estimation, seule disponible Z*-Z erreur d’estimation à cause de l’erreur d’estimation: erreurs de « classement » Z* <s alors que Z >s ou Z* >s alors que Z <s probabilité de dépassement de seuil

estimation d’un quantile Z = « ébauche » + écart Pégase géostatistique Définition du quantile ? spatialement (masse d’eau) temporellement (année) support : concentrations instantanées, journalières. . .

Interpolation entre stations estimation pour les « masses d’eau » sans station de mesure « extrapolation » des écarts en référence à des milieux analogues

estimation des paramètres en entrée de Pégase données hydrométéorologiques mesurées en quelques stations débits, températures. . . sur le réseau ? études de sensibilité

Influence du modèle sur les poids Influence du choix du modèle dans le krigeage ordinaire: Pépite 25% Sphe(2 L) 25% 40. 6% 9. 4% L L 40. 6% 25% Gaus(1. 5 L) 49. 8% 0. 2% L 49. 8%

Dégroupage Sphérique, portée = 3 * rayon 33. 3% 37. 0% 26. 0% 33. 3% 25. 7% 48. 7% 37. 0% 50. 0%

Concentration Simulations Concentration Chroniques reconstituées Numéro de mois Variogramme Corrélations Variogramme Numéro de mois Nombre d’années

Quantile 90 Nombre de mesures par an Quantile empirique linéarisé

Applications (1) Bassin Loire Bretagne 269 stations 3 paramètres nitrates nitrites orthophosphates 1985 -2005

Moyennes annuelles Quantiles Applications (2) Ecart type d’estimation

Bassin Rhin Meuse Stations plus nombreuses Mesures plus régulières Restriction à la Moselle Entre stations

Que montre la covariance expérimentale? Différentes distances possibles Non stationnarité Interprétations Variogramme Covariance expérimentale Distance (km)

module concentration Module, 1996 Non Concentrations stationnarité en nitrates, 1996 Distance à l’exutoire module Surface drainée Nitrate / agriculture, 1997 concentration Nitrate / Forêt, 1997 concentration Débit / surface drainée, 1995 Distance à l’exutoire % forêt amont % agriculture amont

Filets élémentaires Modèle de même covariance C stationnarité indépendance Combinaison linéaire des filets

Modèle de covariance Covariance la distance curviligne entre x et y les filets élémentaires communs à x et y

débit 1995 Débit spécifique Filets élémentaires, rang 1 débit 1999 Distance à la source Débit spécifique Distance à la source

Vers un réseau « représentatif » de la qualité des cours d’eau ? Directive cadre européenne: 1 station pour 1000 km 2 pour la qualité physico-chimique 1200 stations du RNB, implantation préférentielle (Léonard & Crouzet, 1999) sélection de 551 stations ? ou pondération ?

Etude exploratoire des stations RNB - intensité des «pressions anthropiques » très variable sur le territoire - corrélation entre occupation du sol et concentrations en nutriments - concentrations : variabilité croissante avec le niveau on ne peut définir un réseau à densité et à précision constantes pour différents nutriments pondérer les stations pour les rendus statistiques

Actuellement, le SEQ-eau Statistiques annuelles par station : moyenne quantile 90

Hypothèses du calcul statistique classique Les mesures sont des tirages de variables aléatoires - indépendantes - de même loi dont on estime l’espérance, ou un quantile

Nutriments dans les cours d’eau Variations saisonnières moyenne mensuelle orthophosphate, Moselle mois Variogramme temporel variogramme nitrites, Loire Caroline Bernard-Michel, 2006 temps

Echantillonnage préférentiel Exemple : par année, en Loire-Bretagne 6 mesures, plutôt en été - 18 mesures, renforcées en hiver le signe du biais varie suivant - les substances - les stations