Les triangles semblables Les triangles semblables possdent les
Les triangles semblables ~
Les triangles semblables possèdent les propriétés suivantes: - mêmes formes; - mêmes mesures d’angles homologues; - rapports des côtés homologues proportionnels. Des triangles sont semblables si et seulement si ils possèdent à la fois ces trois conditions.
Propriété CCC : Deux triangles possédant 3 paires de côtés homologues proportionnels sont semblables. A D 5 cm 4 cm 10 cm 8 cm B 3 cm C E m AB m DE 4 8 Remarque: = = m BC m EF 3 6 = = F 6 cm m AC m DF 5 10 = 1 2 CCC est une abréviation; chaque C signifie une paire de côtés homologues proportionnels.
Propriété CAC : Deux triangles possédant 1 paire d’angles homologues isométriques compris entre 2 paires de côtés homologues proportionnels sont semblables. Construisons deux triangles ayant une paire d’angles homologues congrus compris entre deux paires de côtés homologues proportionnels E B 5 cm cm 5 7, 500 A BAC ~ = 8 cm EDF C F de plus m ED m AB 7, 5 5 Remarque: 500 = = 12 cm D m FD m AC 12 8 = 3 2 CAC est une abréviation; chaque C signifie une paire de côtés homologues proportionnels et le A signifie une paire d’angles homologues isométriques.
Propriété AA: Deux triangles possédant au moins deux paires d’angles homologues isométriques sont semblables. Construisons deux triangles ayant deux paires d’angles homologues isométriques. 700 500 On ne pourrait donc pas fermer les triangles autrement. Remarque: Pour démontrer que cette propriété assure des triangles semblables, il n’est pas nécessaire de démontrer la 3 e paire d’angles homologues isométriques puisque la somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 180 0. Il est donc certain que cette 3 e paire d’angles homologues sont isométriques.
Problèmes: Démontre que les triangles suivants sont semblables. B A Le ∆ ABC et le ∆ BDC. C D Affirmations 1) m ABC = 900 et m 2) m BCD = m 3) ∆ ABC ~ BCA ∆ BDC = 900 Justifications 1) Les triangles sont rectangles. 2) Il est commun aux deux triangles. 3) AA
Démontre que les triangles suivants sont semblables. E D 5, 2 C 3 4, 2 Le ∆ ECD et le ∆ ACB. 7, 28 A B Affirmations 1) m CA = m CD 2) m 3) ECD = m ∆ ECD ~ m CB m CE ACB ∆ ACB Justifications 1) 4, 2 3 = 7, 28 5, 2 = 1, 4 2) Angles opposés par le sommet. 3) CAC
Démontre que les triangles suivants sont semblables. D 10 6 4, 8 A ∆ ADC et le ∆ ABC. 7, 5 , 6 25 Le C 5 8, B 1) Affirmations m AD m BC 2) = m DC m AC ∆ ADC ~ ∆ ABC. = Justifications m AC m AB 1) 10, 625 8, 5 2) CCC = 7, 5 6 = 6 4, 8 = 1, 25
Démontre que les triangles suivants sont semblables. D Le B A ∆ AED Affirmations ACB = 900 et m 2) m A=m 3) ∆ AED ~ A ∆ ACB. E C 1) m et le AED = 900 Justifications 1) Les triangles sont rectangles. 2) Il est commun aux deux triangles. 3) AA
Démontre que les triangles suivants sont semblables. D 15 Le ∆ ABC et le ∆ ACD. C 20 A 12 B 16 Affirmations 1) m AC = 20 2) m 3) ABC = 900 et m m AC m AB 4) = Justifications m DC m CB ∆ ABC ~ ∆ ACD = 900 ( m AB )2 + ( m CB )2 2) Les triangles sont rectangles. 3) 20 16 4) CAC = 15 12 = 1, 25
B Dans la figure suivante, les triangles SAP et BDP sont semblables. Détermine les mesures des segments AP et PD. S 15 Posons les expressions algébriques pour représenter les segments AP et PD 9 Établissons les rapports des segments homologues: A m SA m BD = m AP 9 m PD 15 = (18 – x) x P 18 x (18 – x) 9 (18 – x) = 15 x 162 – 9 x = 15 x 162 = 24 x 6, 75 = x m AP = 6, 75 m PD = 18 - 6, 75 = 11, 25 D
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