LES TITRES REVENU FIXE LES OBLIGATIONS 1 IV

LES TITRES À REVENU FIXE: LES OBLIGATIONS: 1

IV- Mesure de risque systématique des obligations: la duration et convexité: Lorsque les taux d ’intérêt augmentent ou baissent, les détenteurs d ’obligations réalisent des pertes ou des gains en capital. Ces pertes et gains rendent l ’investissement dans les obligations assez risqué même si le coupon et le paiement du principal sont garanties. 2

A- La duration: La duration est une mesure de la sensibilité de la valeur d ’une obligation par rapport aux variations des taux d ’intérêt (de son TRE). Elle est définie comme étant la durée moyenne pondérée pour récupérer entièrement le capital et les paiements d ’intérêts. 3

La duration est une mesure importante pour: • déterminer la durée effective; • effectuer l ’immunisation contre une variation positive ou négative des taux d ’intérêt; • mesurer la sensibilité (du prix) à une variation positive ou négative des taux d ’intérêt. La duration est un temps moyen pondéré durant lequel l ’obligation donne des flux monétaires 4

La duration est calculée selon la formule suivante: T D = t*Wt t=1 CFt / (1+y)t Wt = -------------- Prix de l ’obligation t = Temps à écouler pour recevoir les F. M, Wt = Poids relatif du F. M par rapport au prix de l ’obligation, 5

Puisque la duration est une mesure de sensibilité du prix de l ’obligation à une variation des taux d ’intérêt, alors on peut dire que: P y ----- = -D * ---- P (1+y) En conséquence, la volatilité du prix de l ’obligation est proportionnelle à la duration de cette obligation. La duration est donc une mesure de l ’exposition au risque d ’intérêt. 6

Si on pose que la duration modifiée (D*) est fonction de la duration et (1+y) D D* = ---- (1+y) P ----- = -D*. (y) et PD* = ----- P (y) La variation du prix d ’une obligation exprimé en % est fonction de sa duration modifiée multipliée par la variation de son TRE. 7

Caractéristiques de la duration: • Pour une obligation zéro-coupon, la durée est égale à l ’échéance. • À échéance égale, la durée est plus longue si le coupon est moins élevé. • À coupon égal. La durée augmente avec l ’échéance. La durée augmente toujours avec l ’échéance pour les obligations se vendent au pair ou à prime. 8

• La durée est plus longue lorsque le rendement à l ’échéance est plus faible, toute chose étant égale par ailleurs. Remarques: • La durée d ’un portefeuille d ’obligations est égale à la somme pondérée des durées des obligations qui le composent. • Quand on anticipe une baisse des taux d ’intérêt, on préfère des titres ayant une durée élevée et vice -versa. 9

B- La convexité: La convexité mesure le degré de la variation de la duration lorsque les taux d ’intérêt varient. La convexité a habituellement une valeur positive. 1 n t*(t+1)*VACF C (années) = ---------- (1+y/k)2 t=1 k*k*prix Où k = nombre de périodes, de paiements par année 10

La relation mathématique qui décrit la volatilité du prix de l ’obligation est: P ------ = D* r + ½C r 2 P Si r est petit et si on néglige C on a: P ----- = D* r, r = ------- P PD* 11

V- La structure des taux d'intérêt: La structure des rendements selon l'échéance est obtenue en représentant dans un espace échéance / rendement des obligations ayant les mêmes caractéristiques ( même émetteur et donc même risque de défaut, même taux de coupons, même clauses …) sauf en ce qui a trait à leur échéance. 12

Il y a peu d'obligations qui répondent à ces exigences. Au Canada, on utilise les obligations du gouvernement fédéral (parce qu'il y en a plusieurs qui différent en ce qui concerne l'échéance). Mais malheureusement, les coupons aussi différent; on essaie d'utiliser les obligations dont les coupons ne sont pas trop différents les uns des autres. En pratique, la construction est plus compliquée, il faut utiliser les obligations à zéro-coupon 13

Que représente cette courbe ou cette structure? Prenons juste deux obligations A et B supposées sans coupon et arrivent à échéance dans 1 an et 2 ans respectivement. YA = 6% et YB = 7% Vous avez le choix entre acheter A puis dans un an, acheter une nouvelle obligation à qui il ne restera qu'un an avant l'échéance ou acheter B et la conserver pour les deux ans. 14

Qu'est-ce-qui va déterminer votre choix? C'est le rendement anticipé pour un an qui va prévaloir l'année prochaine. Soit Rt le taux de rendement sur un titre qui sera émis dans t-1 périodes et qui viendra à échéance 1 an plus tard, i. e à la fin de la période n. Les Rt, t=1, 2, …. . , n sont des taux pour 1 an (taux comptant futur). R 1 c'est le taux de rendement sur un titre échéant dans 1 an. 15

Exemple: • Le taux pour un an dans un an: R 1 = 3. 5% • Le taux pour un an dans deux ans: R 2 = 5% • Le taux pour un an dans trois ans : R 3 = 6% • Le taux pour un an dans quatre ans: R 4 = 6% • Yn: le taux de rendement observé aujourd'hui sur un titre échéant dans n périodes. Supposons que vous disposez de 1000$ que vous désirez placer pour 2 ans 16

• Vous pourriez le placer pour deux ans au taux Y 2, 1000*(1+Y 2)2 • Vous pourriez le placer pour 1 an aujourd'hui, puis renouveler votre placement après 1 an, 1000*(1+R 1)*(1+R 2) où R 1 = Y 1 Pour que vous soyez indifférent entre placer à court terme pour renouveler après et placer à long terme, il faut que: 17

~ (1+Yn)n = (1+R 1)*(1+R 2)*………*(1+Rn) n (1+Yn)n = [ (1+Rt)]1/n. t=1 Le taux d'intérêt à long terme Yn doit correspondre à la moyenne géométrique des taux d'intérêt à court terme futur anticipés (taux comptant futur) 18

De la première expression, on peut obtenir le taux à court terme (d'un an) anticipé pour une période données: (1+Yn)n (1+Rn) = --------- (1+Yn-1)n-1 Les Rt sont appelés des taux comptant futurs. Ils ne sont pas connu, on n'a que des anticipations quant à leur niveau. Les Yt sont des taux comptant ou spot. 19

A- Les taux forward (à terme): Mais personne ne connaît aujourd'hui les taux comptant futurs i. e, les Rt; par conséquent, la relation entre le taux à long terme et ceux à court terme anticipés doit être réécrite où les Rt, inconnu, sont remplacés par ce qu'on appelle les taux forward ou à terme (Ft); les taux implicite que le marché estime qu'ils vont prévaloir dans le futur. Par conséquent, la relation devienne: 20

(1+Yn)n = (1+R 1)*(1+F 2)*(1+F 3)*. . *(1+Fn) (1+Yn)n (1+Fn) = --------- (1+Yn-1)n-1 Le taux forward d'une année est donc le taux d'intérêt implicite que le rendement d'un placement de n périodes est égal à celui d'un placement de (n-1) périodes réinvestis pour une année dans les nouvelles obligations. 21

B- Les théories sur la structure d'intérêt: 1 - L'hypothèse des anticipations: On suppose que les taux de rendement à l'échéance reflètent les anticipations des investisseurs quant aux taux au comptant futurs, et donc: (1+Yn)n = (1+R 1)*[(1+E(R 2)]*. . *[(1+E(Rn)] Cette théorie suppose que la structure d'intérêt peut avoir n'importe quelle forme. 22

2 - La théorie des primes de liquidité: On suppose que le risque augmente avec l'échéance, et donc pour compenser ce risque, les investisseurs demandent une prime de liquidité. Si on appelle Fn, le taux forward pour un an dans n ans, on doit donc observer Fn > E(Rn). Cette théorie suppose que la structure d'intérêt est ascendante. 23

3 - La théorie de la segmentation de marché: On suppose que le marché des obligations est en fait segmenté en plusieurs sous-marchés selon l'échéance des obligations, et que ces marchés trouvent leur équilibre indépendamment. 4 - La théorie des habitats préférés: Une variante des la précédante, on suppose que chaque agent dans le marché des obligations préfère un intervalle d'échéance donné. Toutefois, si les gains sont suffisants, l'agent sera incité à changer ou à élargir son "habitat". 24

Quelle est la bonne théorie: Probablement un ensemble des quatre théories, ou encore une théorie est bonne de temps en temps, mais pas toujours. Il ne faut pas oublier l'incidence de l'inflation pour expliquer le comportement des taux d'intérêt. L'inflation (anticipée) est probablement le facteur le plus important dans la détermination des taux d'intérêt. Vient ensuite sans doute l'aversion au risque. 25

À retenir: 1 - La duration et la convexité d ’une obligation changent avec: • le prix de l ’obligation; • son échéance; • son TRE. En conséquence, la duration et la convexité varient avec le passage du temps, et ou une variation du niveau des taux d ’intérêt. 26

2 - Les cinq risques reliés à l ’investissement obligataire. • Risque de variation des taux; • modification de la courbe des taux; • modification de l ’écart entre les différents segments; • réinvestissement des coupons; • remboursement anticipé de la valeur nominale (call, faillite, …) 27

3 - La duration modifiée effective est égale à: P+ - P-------- = -------P 0(r+ - r-) 2 P 0 r 4 - La convexité effective est égale à: P+ + P- - 2 P 0 ---------- = ---------P 0[0. 5 (r+ - r-)]2 P 0 r 2 28