LES SUITES GEOMETRIQUES I Dfinition On appelle suite

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LES SUITES GEOMETRIQUES

LES SUITES GEOMETRIQUES

I) Définition On appelle suite géométrique une suite dont chaque terme se déduit du

I) Définition On appelle suite géométrique une suite dont chaque terme se déduit du précédent en multipliant par un même nombre appelé raison et noté q Pour tout entier naturel n >0 q : raison II) Calcul direct de un On peut calculer directement le terme de rang n à l’aide de la formule suivante : Un

Exercice 1 : Les premiers termes d’une suite de nombres sont : 2 ;

Exercice 1 : Les premiers termes d’une suite de nombres sont : 2 ; 8 ; 32 ; 128 ; 512 ; . . . • Montrer que cette suite est géométrique. Chaque terme se déduit du précédent en multipliant par le même nombre. La suite est géométrique de raison q = 4. • Déterminer U 1 et la raison q. U 1= 2 et q = 4 • Calculer U 6 = U 5 × q = 512 × 4 =2 048 • Calculer U 20 = U 1 q 19 = 2 419 = 549 755 813 888

Exercice 2 : Les premiers termes d’une suite de nombres sont : 1024 ;

Exercice 2 : Les premiers termes d’une suite de nombres sont : 1024 ; 512 ; 256 ; 128 ; 64 ; . . . • Montrer que cette suite est géométrique. Chaque terme se déduit du précédent en multipliant par le mêm nombre. La suite est géométrique de raison q = 0, 5. • Déterminer U 1 et la raison q. U 1= 1024 et q = 0, 5 • Calculer U 6 = U 5 × q = 64 × 0, 5 = 32 • Calculer U 10 = U 1 q 9 = 1024 0, 59 = 2

APPLICATION 1

APPLICATION 1

ARBRE GÉNÉALOGIQUE 1. Combien avez-vous d’ancêtres ayant vécu en 1920? Les historiens considèrent qu’il

ARBRE GÉNÉALOGIQUE 1. Combien avez-vous d’ancêtres ayant vécu en 1920? Les historiens considèrent qu’il y a une nouvelle génération tous les 20 ans. Nous allons remonter 4 générations

GÉNÉRATION : moi 1

GÉNÉRATION : moi 1

GÉNÉRATION : père moi 2 1

GÉNÉRATION : père moi 2 1

GÉNÉRATION : père mère père moi mère 3 2 1

GÉNÉRATION : père mère père moi mère 3 2 1

GÉNÉRATION : père mère père mère moi Nous avons huit ancêtres à la quatrième

GÉNÉRATION : père mère père mère moi Nous avons huit ancêtres à la quatrième génération. 4 3 2 1

ARBRE GÉNÉALOGIQUE 2. Combien as-tu d’ancêtres à la quarantième génération ?

ARBRE GÉNÉALOGIQUE 2. Combien as-tu d’ancêtres à la quarantième génération ?

Nombre d’ancêtres : père mère père mère moi père mère 8 4 2 1

Nombre d’ancêtres : père mère père mère moi père mère 8 4 2 1

ARBRE GÉNÉALOGIQUE 2. Combien avez-vous d’ancêtres à la quarantième génération (ayant vécu il y

ARBRE GÉNÉALOGIQUE 2. Combien avez-vous d’ancêtres à la quarantième génération (ayant vécu il y 8 siècles)? Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par le même nombre. La suite est géométrique de raison q = 4. Le nombre d’ancêtres de chaque génération forme une suite géométrique de premier terme U 1 = 1 et de raison q = 2. Calculons U 40 : U 40 = U 1 q 39 = 1 239 = 549 755 813 888

APPLICATION 2

APPLICATION 2

L’INVENTION DU JEU D’ECHECS Selon la légende, le jeu d'échecs fut inventé en Inde

L’INVENTION DU JEU D’ECHECS Selon la légende, le jeu d'échecs fut inventé en Inde par un savant. Le roi, séduit par ce nouveau loisir, le convoqua au palais : -- Ton jeu m'a redonné la joie de vivre! Je t'offre ce que tu désires ! Le sage ne voulait rien et ne dit mot. Le roi offensé s'énerva: "Parle donc, insolent! Tu as peur que je ne puisse exaucer tes souhaits ? " Le sage répondit alors : "J'accepte ton présent. Vous ferais déposer un grain de blé sur la première case de l'échiquier. " -- Et c'est tout ? Te moquerais-tu de moi ? -- Pas du tout, Sire. Vous ferez mettre ensuite 2 grains sur la deuxième case, 4 sur la troisième et ainsi de suite. . . Le roi s'énerva pour de bon: " Puisque tu honores si mal ma générosité, vas-t-en ! Ton sac de blé te sera porté demain et ne me dérange plus !" Le lendemain matin, le roi fut réveillé par son intendant affolé : " Sire, c'est une catastrophe! Nous ne pouvons pas livrer le blé! Nos mathématiciens ont travaillé toute la nuit: il n'y a pas assez de blé dans tout le royaume pour exaucer le souhait du savant!"

8 cases 8 8= 64 cases ?

8 cases 8 8= 64 cases ?

CALCULONS LE NOMBRE DE GRAINS DE BLÉ CONTENU SUR LA DERNIERE CASE Chaque terme

CALCULONS LE NOMBRE DE GRAINS DE BLÉ CONTENU SUR LA DERNIERE CASE Chaque terme se déduit du précédent en multipliant par le même nombre. La suite est géométrique de raison q = 2. Le nombre de grains de blé de chaque case forme une suite géométrique de premier terme U 1 = 1 et de raison q = 2. Calculons U 64 : U 64 = U 1 q 63 = 1 263 U 64 = 9 223 372 036 854 775 808