LES SUITES GEOMETRIQUES I Dfinition On appelle suite
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LES SUITES GEOMETRIQUES
I) Définition On appelle suite géométrique une suite dont chaque terme se déduit du précédent en multipliant par un même nombre appelé raison et noté q Pour tout entier naturel n >0 q : raison II) Calcul direct de un On peut calculer directement le terme de rang n à l’aide de la formule suivante : Un
Exercice 1 : Les premiers termes d’une suite de nombres sont : 2 ; 8 ; 32 ; 128 ; 512 ; . . . • Montrer que cette suite est géométrique. Chaque terme se déduit du précédent en multipliant par le même nombre. La suite est géométrique de raison q = 4. • Déterminer U 1 et la raison q. U 1= 2 et q = 4 • Calculer U 6 = U 5 × q = 512 × 4 =2 048 • Calculer U 20 = U 1 q 19 = 2 419 = 549 755 813 888
Exercice 2 : Les premiers termes d’une suite de nombres sont : 1024 ; 512 ; 256 ; 128 ; 64 ; . . . • Montrer que cette suite est géométrique. Chaque terme se déduit du précédent en multipliant par le mêm nombre. La suite est géométrique de raison q = 0, 5. • Déterminer U 1 et la raison q. U 1= 1024 et q = 0, 5 • Calculer U 6 = U 5 × q = 64 × 0, 5 = 32 • Calculer U 10 = U 1 q 9 = 1024 0, 59 = 2
APPLICATION 1
ARBRE GÉNÉALOGIQUE 1. Combien avez-vous d’ancêtres ayant vécu en 1920? Les historiens considèrent qu’il y a une nouvelle génération tous les 20 ans. Nous allons remonter 4 générations
GÉNÉRATION : moi 1
GÉNÉRATION : père moi 2 1
GÉNÉRATION : père mère père moi mère 3 2 1
GÉNÉRATION : père mère père mère moi Nous avons huit ancêtres à la quatrième génération. 4 3 2 1
ARBRE GÉNÉALOGIQUE 2. Combien as-tu d’ancêtres à la quarantième génération ?
Nombre d’ancêtres : père mère père mère moi père mère 8 4 2 1
ARBRE GÉNÉALOGIQUE 2. Combien avez-vous d’ancêtres à la quarantième génération (ayant vécu il y 8 siècles)? Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par le même nombre. La suite est géométrique de raison q = 4. Le nombre d’ancêtres de chaque génération forme une suite géométrique de premier terme U 1 = 1 et de raison q = 2. Calculons U 40 : U 40 = U 1 q 39 = 1 239 = 549 755 813 888
APPLICATION 2
L’INVENTION DU JEU D’ECHECS Selon la légende, le jeu d'échecs fut inventé en Inde par un savant. Le roi, séduit par ce nouveau loisir, le convoqua au palais : -- Ton jeu m'a redonné la joie de vivre! Je t'offre ce que tu désires ! Le sage ne voulait rien et ne dit mot. Le roi offensé s'énerva: "Parle donc, insolent! Tu as peur que je ne puisse exaucer tes souhaits ? " Le sage répondit alors : "J'accepte ton présent. Vous ferais déposer un grain de blé sur la première case de l'échiquier. " -- Et c'est tout ? Te moquerais-tu de moi ? -- Pas du tout, Sire. Vous ferez mettre ensuite 2 grains sur la deuxième case, 4 sur la troisième et ainsi de suite. . . Le roi s'énerva pour de bon: " Puisque tu honores si mal ma générosité, vas-t-en ! Ton sac de blé te sera porté demain et ne me dérange plus !" Le lendemain matin, le roi fut réveillé par son intendant affolé : " Sire, c'est une catastrophe! Nous ne pouvons pas livrer le blé! Nos mathématiciens ont travaillé toute la nuit: il n'y a pas assez de blé dans tout le royaume pour exaucer le souhait du savant!"
8 cases 8 8= 64 cases ?
CALCULONS LE NOMBRE DE GRAINS DE BLÉ CONTENU SUR LA DERNIERE CASE Chaque terme se déduit du précédent en multipliant par le même nombre. La suite est géométrique de raison q = 2. Le nombre de grains de blé de chaque case forme une suite géométrique de premier terme U 1 = 1 et de raison q = 2. Calculons U 64 : U 64 = U 1 q 63 = 1 263 U 64 = 9 223 372 036 854 775 808
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