Les sminaires CEMPI Groupe NLSE Instabilit modulationnelle dans
Les séminaires CEMPI Groupe NLSE Instabilité modulationnelle dans l’Equation de Schrödinger Non Linénaire (NLSE) Majid Taki Mardi 11 juin 2013
Notions élémentaires d’analyse de stabilité linéaire Avec Paramètre de contrôle Solution stationnaire et uniforme Relation de dispersion
Stabilité Marginale Pour fixé La solution stationnaire est stable si Elle est instable s’il existe un avec La situation est marginale (stable) si pout tout
Contexte et position du problème v La structure de la fibre optique v Les pertes linéaires • Absorption des impuretés ( ). • La diffusion de Rayleigh. • La résonance IR. • …
v La dispersion chromatique • Vitesse de phase: • Analytiquement pour prendre en compte les effets dispersifs on fait un DL de Taylor autour de la fréquence de central du paquet d’ondes : avec est reliée à la vitesse de groupe . la dispersion de vitesse de groupe (GVD). la pente de la dispersion de vitesse de groupe (TOD).
u La dispersion de vitesse de groupe (GVD) Le coefficient de dispersion: b 2>0, dispersion normale b 2<0, dispersion anormale b 2>0 b 2<0 Basses l voyagent moins vite Hautes l voyagent moins vite Entrée Sortie
v. Les effets non linéaires • Dans les matériaux centro-symétriques (la silice), est nul en raison de la symétrie d’inversion au niveau moléculaire. • La contribution dominante de la polarisation non linéaire vient donc de la susceptibilité d'ordre trois . u L’effet Kerr Optique L’indice de réfraction non linéaire 2. 6 x 10 -20 m²/W dans la silice. avec L’effet Kerr optique est la réponse instantanée électronique des molécules de silice aux champs incidents. Il conduit à de nombreux phénomènes non-linéaires comme l’automodulation de phase, la modulation de phase croisés et le mélange à 4 ondes.
u La diffusion Raman stimulée Processus inélastique • L'effet Raman dépend de la partie imaginaire de , elle est considérée comme la réponse des noyaux de la molécule de silice aux champs incidents, son temps de réponse est de l’ordre de 60 -70 fs dans les fibres de silice. • Dans la silice, la bande des fréquences amplifiées s'étend jusqu'à 40 THz avec un maximum de gain à 13. 2 THz.
v. L'équation non linéaire de Schrödinger généralisée (GNLSE) u L’équation de propagation des ondes sous formes vectorielle L’enveloppe lentement variable u L’équation de propagation de l’enveloppe lentement variable des impulsions dans la fibre optique i. La polarisation non linéaire doit être traitée comme une perturbation de la polarisation linéaire (les fibres optiques faiblement non linéaires). ii. Le champ optique est supposé maintenir sa polarisation le long de l’axe de propagation de la fibre. iii. Le champ électrique est quasi-monochromatique ( ), ce qui est vérifié pour des ondes continues ou pour des impulsions de durée inférieure à la picoseconde. La dispersion La réponse non linéaire
u Réponse non linéaire de la fibre optique: La réponse non instantanée Raman.
v. Instabilité modulationnelle (MI) dans la fibre optique • La MI est interprétée physiquement comme un équilibre entre les effets non linéaires et la dispersion linéaire au cours de la propagation d’un champ optique. où • La solution stationnaire: • La stabilité de cette solution stationnaire est étudiée en la soumettant à des fluctuation de la forme avec perturbations • Le problème linéarisé autour de la solution stationnaire est :
Instabilité linéaire standard Ici on fait un choix crucial : on prend u et v de la forme et représentent respectivement la pulsation et le nombre d’onde de la perturbation. Le problème linéarisé prend une forme plus simple : On cherche des solutions non nulles du problème linéarisé. La condition de solvabilité (ici simplement le déterminant non nul) nous donne la relation de dispersion suivante : L’instabilité est uniquement possible en régime de dispersion anormale: Gain spectral en puissance:
u Le gain spectral en puissance dans la fibre optique Fréquences à gain maximum Signal bruitée à l’entrée Train d’impulsions à la sortie MI
Spectre expérimental MI NLSE Spectres SBG T 1246 -30 Power (d. Bm) -40 -50 -60 -70 1045 1050 1055 1060 1065 1070 Wavelength (nm) 1075 1080 1085 1090
Rogue waves or freak waves Gigantic wall of water of about 30 m height Extremely rare But very dangerous !! More information…. . Or a BBC report… A Book http: //www. youtube. com/watch? v=0 a. Ky 9 x. SUCN 4&feature=related
A quantitative measure for Rogue waves: AI=HRW / HS > 2 AI: Abnormality Index AI = 3 for The New Year Wave (registered on January 1, 95) 26 m high with a period of 12 s !!!
Deterministic approach for Rogue Waves Can rogue waves be predicted within linear theories? No They appear from nowhere and disappear without a trace They have a very high amplitude Only a nonlinear approach can predict the occurrence of these giant waves Need of instability (Modulationnal Instability) Nonlinear compensation of linear effects (mostly dispersion)
Are oceanic rogue waves Akhmediev Breathers ? � NLS model: From Modulational instability to Akhmediev Breather: Rational solution of NLSE AI= 2. 4 !!! N. Akhmediev, A. Ankiewicz, M. Taki, waves that appear from nowhere and disppear without a trace, Phys. Lett. A 373, 675 (2009)
Rogue wave management NLSE Usama Al Khwaja, and Majid Taki, Rogue waves management by external potentials soumis à Phys. Lett. A
From oceanic rogue waves to optical rogue waves Oceanic rogue waves Optical rogue waves Defined by: p p Number of events p Maxima/minima Amplitude Rarity Intensity bins (arb. units) Optical Intensity Statistical Characterization Oceanic rogue wave Time Optical rogue wave
From oceanic rogue waves to optical rogue waves Oceanic rogue waves Optical rogue waves Defined by: p p p Maxima/minima Amplitude Rarity pulsed + High power laser Optical Intensity Supercontinuum Oceanic rogue wave Time Optical rogue wave
Statistical approach for Rogue waves Sensitive dependence on initial conditions Incomplete information about the initial state random wave dynamics Gaussian statistics fails: P(H)~ exp(-H 2 /HS 2) A rogue wave of AI = 3 (H = 3 HS ) may occur once in 20 years !!!
Open Problems �Extreme sensitivity to noise and/or initial conditions �Asymmetry of Rogue waves (Léo et al. PRL 2013) �Non-Gaussian statistics. �Needs to go beyond NLS �An original approach that combines deterministic and statistical methods �Optical rogue waves can help understanding the mechanism of rogue waves formation
Optical Rogue waves Focus on optical rogue waves… care must be taken to establish a formal comparison Results published obtained with pulsed pumps Comparison with the ocean difficult? Optical rogue waves generated with a continuous wave pump Calm ocean? ? ? Optical rogue waves originates from convective instabilities Appearance/disappearance of optical rogue waves Mechanisms involved in the formation This work
Numerical simulations Case of an absolute system (b 3=0 and no Raman effect) 100 simulations with different initial conditions Output depends on initial conditions Statistic different from the L shape
Minimal Model Odd derivatives induce a drift Slope of the dispersion curve Raman effect and the slope of the dispersion induce convective instabilities Generalization to all odd terms presents in the GNLSE All even dispersion orders (b 3, b 5, b 7…. ) Self steepening GNLSE is a convective system Explain why Rogue waves are extremely sensitive to initial conditions
Numerical simulations : longitudinal evolution Supercontinuum formation from simulations standard event of previous simulations Spectral domain Dispersive waves Solitons
Experimental results : output spectrum Output spectrum Excellent agreement numerics/experiments A. Mussot, A. Kudlinski, M. Kolobov, E. Louvergneaux, M. Douay, M. Taki, Observation of extreme temporal events in CW-pumped supercontinuum, Optics Express 17, 17010 (2009)
Experiments Experimental evidence of rogue events Continuous pumping Supercontinuum
Experiments Experimental evidence of rogue events Continuous pumping First approach : Statistics Log(PDF) Probability Density Functions (PDFs): Signature of rogue events Supercontinuum
Experiments Experimental evidence of rogue events Supercontinuum Continuous pumping Probability Density Functions (PDFs): q. The most powerful peak amplitudes are very much larger than 2 times the significant peak height (Hs) which is one of the feature of oceanic rogue waves. Log(PDF) q. Their probability is extremely low Signature of rogue events
Numerics Experiments Minimal model Supercontinuum Continuous pumping Minimal model: Nonlinear Schrödinger Slope of the dispersion curve Log(PDF) Probability Density Functions (PDFs): Excellent agreement + L-shape of PDFs Raman effect
Numerics Experiments Model Supercontinuum Continuous pumping Minimal model: Nonlinear Schrödinger Slope of the dispersion curve PDF Log(PDF) Probability Density Functions (PDFs): Excellent agreement + L-shape of PDFs Raman effect
Numerical simulations : comparison Convective system vs absolute system Same scale!! Drift (convection) important ingredient for generating rare and strong optical waves
Numerics Mechanism of formation of rogue events Supercontinuum Evolution of the highest intensity Optical rogue wave White dots track the most intense pulse Highest intensity tracking
Numerics Mechanism of formation of rogue events Supercontinuum Continuous pumping Spectrograms Rogue event (Rogue Soliton) collision between two giant solitons Very fast appearance and disappearance A. Mussot et al. , Opt. Exp. 17, 17010 (2009) P. Peterson et al. , Nonlinear Process Geophys. 10, 503 (2003). Soliton interaction as a possible model for extreme waves in shallow water N. Akhmediev et al. , Phys. Lett. A 373, 2137 (2009). Collision of two Akmediev breathers M. Erkintalo et al. , Opt. Lett. 35, 658 (2010). Giant dispersive waves generation through soliton collision
Numerics Mechanism of formation of rogue events Supercontinuum Continuous pumping Spectrograms Rogue event (Rogue Soliton) collision between two giant solitons Very fast appearance and disappearance A. Mussot et al. , Opt. Exp. 17, 17010 (2009) Very importance of asymmetric drift dynamics (b 3 and Raman)
Numerics Mechanism of formation of rogue events Continuous pumping Spectrograms Supercontinuum
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