Les plans Factoriels Fractionnaires 2 kp N BOUDAOUD

Les plans Factoriels Fractionnaires 2 k-p N. BOUDAOUD Plans d’expériences 1

Approche fractionnaire – 4 facteurs : 24=16 essais – 5 facteurs : 25=32 essais – 7 facteurs : 27=128 essais Les plans fractionnaires sont des plans optimaux orthogonaux qui se focalisent sur les effets les plus intéressant Nombre d’essais • Dans un plan factoriel complet, le nombre d’essais augmente de façon exponentielle avec le nombre de facteurs N. BOUDAOUD Plans d’expériences 2

Relation nombre d’essais et nombre de ddl • Règle – le nombre minimal d’essais à réalisé est égal au nombre de ddl du modèle étudié (nombre de coefficients du modèle) • Exemple : 3 facteurs à 2 niveaux A, B, C et 2 interactions AB, AC – ddl. A+ddl. B+ddl. C+ddl. AB+ddl. AC+1=6 ddl de la moyenne N. BOUDAOUD Plans d’expériences 3

Plans Fractionnaires à 2 niveaux • Objectif : Réduction du nombre d’essais – Focalisation sur les effets les plus intéressants • Hypothèse : – Interactions d’ordre supérieur à 2 sont souvent négligeables : ABC, ABCDE… • Ex: 5 facteurs A, B, C, D, E 32 essais – Les informations utiles : • A, B, C, D, E : 5 • Interaction d’ordre 1 : 10 – Une table avec 16 essais (25 -1) suffirait… N. BOUDAOUD Lorsque le nombre de facteurs augmente , le rapport du nombre d’informations utiles au nombre total d’essais diminue de façon alarmante ! Réduction de la taille des plans 4 Plans d’expériences

Démarche pour le choix d’une table d’expérimentation • Faire le bilan sur – le nombre de facteurs (+ nombre de modalités) – Le nombre d’interactions – Le nombre de degrés de liberté (ddl) au total : donne le nombre d’essais minimal nécessaire. • ddl(total)=somme des ddl des facteurs • ddl(Facteur)=Nombre de modalité du facteur moins 1 • Choisir la table en adéquation avec le nombre d’essais minimum • Affecter les facteurs aux colonnes – Le choix de colonnes se fait selon des contraintes de coût sur la fréquence de variation des niveaux des facteurs d’un essai à l’autre. N. BOUDAOUD Plans d’expériences 5

Démarche pour le choix d’une table d’expérimentation • Tables orthogonales et tables des interactions associée L 8(23) 3 facteurs A, B, C + 3 interactions Sans confusion C A B 1 2 3 4 5 6 7 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 _1 -1 +1 +1 1 x 4 2 x 4 1 x 2 N. BOUDAOUD Plans d’expériences 6

Démarche pour le choix d’une table d’expérimentation • Tables orthogonales et tables des interactions associée A L 8(23) 4 facteurs A, B, C, D + interactions Sans confusion C B 1 2 3 4 5 6 7 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 _1 -1 +1 +1 1 x 4 2 x 7 2 x 4 1 x 7 1 x 2 4 x 7 N. BOUDAOUD D Plans d’expériences 7

Plan 24 -1 : Etude de 4 facteurs • • Plan complet : 24=16 essais Liste des facteurs et interactions : – – – A, B, C, D : 4 AB, AC, AD, BC, BD, CD : 6 interactions ordre 1 ABC, ABD, ACD, BCD : 4 interactions ordre 2 ABCD : 1 interaction ordre 3 Total de 15 facteurs : nécessite 16 essais 15 colonnes Réduire le nombre d’essais Réaliser le plan fractionnaire 24 -1 ( 8 essais) ? N. BOUDAOUD Plans d’expériences

L 8(23) Table à 16 essais (4 facteurs ABCD) L 16 Ajouter un facteur implique une confusion avec une colonne ? ? ? N. BOUDAOUD Plans d’expériences 9

Le plan 24 -1 Chaque facteur (A, B, C) et les interactions occupent une colonne. Pour tester le facteur D et les interactions avec (A, B, C, AB, AC, BC, ABC) avec seulement 8 essais : il faut donc les affecter à des colonnes déjà occupées A quelle colonne affecter le facteur D ? N. BOUDAOUD Plans d’expériences ABC interaction probablement négligeable D est affecté à la colonne ABC Conséquences : Niveaux de D et ABC suivent les mêmes changements de signes 10

Affectation des Facteurs et interactions : Alias Essai A B C D Y 1 - - Y 1 2 + - - + Y 2 3 - + Y 3 4 + - Y 4 5 - - + + Y 5 6 + - Y 6 7 - + + - Y 7 8 + + Y 8 + Comment déterminer + tous les aliases ? • D et ABC sont donc aliasés : D=ABC • Les autres colonnes A, B, C, AB, . . vont être aliasés avec les interactions de D N. BOUDAOUD Plans d’expériences 11

Détermination des aliases Propriétés • Commutativité : AB=BA • Associativité : A(BC)=(AB)C=ABC • Elément Neutre I (colonne de (+)): I. A=A. I=A • A. A=I quel que soit A Conséquences • L’égalité D=ABC peut s’écrire I=D. D=DABC=ABCD • I=ABCD appelé GENERATEUR D’ALIAS • Détermination de tous les alias : – I. A=ABCD. A=BCD – I. B=ABCD. B=ACD N. BOUDAOUD Plans d’expériences 12

Liste des alias Comment calculer les effets des facteurs et interactions à partir des colonnes aliasées ? On parle de Contrastes N. BOUDAOUD Plans d’expériences 13

Calcul des contrastes • Colonne 1 : A et BCD – Contraste : h 1=A+BCD=1/8(-y 1+y 2 -y 3+y 4 -. . +y 8) • Colonne 2 : B et ACD – Contraste : h 1=B+ACD=1/8(-y 1 -y 2+y 3+y 4 -. . +y 8) • Etc. . Exemple : Etude de l’influence sur Y = allongement à la rupture d’un élastomère (en %) des facteurs : A : nature de l’élastomère B : taux d’additif ( autour de la valeur préconisée) C : Système de vulcanisation D : taux de kaolin N. BOUDAOUD Plans d’expériences 14

Exemple ( suite) • Plan fractionnaire 24 -1 • Alias D=ABC • Générateur d’alias – I=ABCD Contrastes h 1 +18. 75 =A+BCD h 2 -37. 5 =B+ACD h 3 +20. 0 C+ABD h 4 -3. 75 =D+ABC h 5 -13. 75 =AB+CD h 6 + 5. 0 BC+AD h 7 +3. 75 AC+BD N. BOUDAOUD Plans d’expériences Essai A B C D Y 1 - - 275 2 + - - + 325 3 - + 210 4 + + - - 220 5 - - + + 290 6 + - 370 7 - + + - 260 8 + + 270 Niveau (-1) 1 6 1 20 Niveau (+1) 2 10 2 40 15

Interprétation • Hypothèses – Conditions de l’étude : les contrastes dont la valeur absolue est inférieur à 8 sont supposés négligeables – Compte tenu de la nature des facteurs les interactions d’ordre 2 sont probablement négligeables • Conséquences : – – – h 1=+18. 75 A h 2= -37. 50 B h 3= +18. 75 C h 4=-3. 75 D 0 h 5=AB+CD=-13. 75 ? Quel est l’interaction la plus prépondérante ? – H 6 et h 7 négligeables : interactions négligeables ou de signes opposés N. BOUDAOUD Plans d’expériences Conclusion Effet A et de C sont du même ordre de grandeur Effet de B important, D insignifiant. On peut donc penser que dans h 5 l’interaction AB et plus significative que CD AB=-13. 75 Interprétation physique : une interaction élastomère-additif (AB) est plus plausible qu’une interaction entre système de vulcanisation et kaolin (CD) (charge inerte) 16

Conclusion • • Facteurs significatifs : A (Elastomère), B (taux additif) C (Syst. Vulc), AB –EA=+18. 75 –EB= -37. 50 –EC=+18. 75 –EAB=-13. 75 Un excès d’additif diminue l’allongement à la rupture, surtout avec l’élastomère 2. L’élastomère 2 et préférable au 1. Système de vulcanisation 2 est meilleur Kaolin sans influence Bilan N. BOUDAOUD Nous avons pu conclure de façon satisfaisante avec 8=24 -1 essais pour 4 facteurs. Nous avons effectué la moitié d’un plan complet 24 Plans d’expériences 17

Remarques • L’utilisation des plans fractionnaires est conseillée lorsque l’on a une connaissance minimum a priori sur les interactions. • A l’issue de l’exploitation d’un plan fractionnaire, si l’information obtenue est jugée insuffisante, le plan peut être complété par une autre fraction du plan complet à condition qu’elle soit choisie de façon judicieuse. N. BOUDAOUD Plans d’expériences 18

Plan 25 -2 (groupe d’alias) • Cas d’un plan fractionnaire à 5 facteurs ABCDE – plan complet 32 essais N. BOUDAOUD Plans d’expériences 19

Plan 25 plan complet N. BOUDAOUD Plans d’expériences 20

Plan 25 -2 (groupe d’alias) Réduction du nombre d’essais de 32 à 8 essais Affectation des facteurs D et E • Choix des colonnes • Détermination du groupe de générateurs d’alias - indépendants - dépendants • Détermination des alias N. BOUDAOUD Plans d’expériences A B AB C AC BC ABC -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 21

Générateurs d’Alias D=ABC et E= AC. Il y a donc 3 générateurs d'alias : I=ABCD, I=ACE et I=BDE N. BOUDAOUD Plans d’expériences 22

Généralisation Plan fractionnaire 2 k-p • Choix d’un plan fractionnaire – – • pour un plan complet avec k facteurs à deux niveaux : 2 k expériences on réduit ce plan en prenant 2 k-p expériences avec k-p 3 si k=4, 5, 6 et k-p=4 si k=7, . . 15. On a donc recours au plan 23 ou 24. Alias et générateurs d’aliases – Dans un plan 2 k-p on dispose de p aliases indépendants dont on déduit des aliases dépendants par multiplication 2 à 2, 3 à 3 de tous les aliases indépendants, ce qui représente finalement 2 p-1 générateurs d’alias. • Exemples : – 4 facteurs : – p=1, 1 alias D=ABC, • 1 générateur d’aliases I=ABCD – 5 facteurs : p=2, 2 aliases D=ABC E=AB, • 3 générateurs d’aliases I=ABCD, I=ABE, I=CDE – 6 facteurs : p=3, 3 aliases et 7 générateurs d’aliases. N. BOUDAOUD Plans d’expériences 23

Essais par blocs N. BOUDAOUD Plans d’expériences 24

Réalisation d’essais par Blocs • Quand ? Si l’on souhaite réaliser des essais décalés dans le temps Table L 8 – Ex : pour des raisons de temps on ne peut réaliser tous les essais sur un même équipement Equipement 1 • Utiliser 2 machines par exemple • Tester l’effet de 4 facteurs A, B, C, D – Solution : partager la table. Comment ? Equipement 2 • On peut prendre les essais 1 -4 sur le 1 er équipement • puis 5 à 8 sur le second équipement N. BOUDAOUD Plans d’expériences Effet de l’équipement 25 Confondu avec l’effet de A

Réalisation d’essais par Blocs • On ne pourra pas distinguer l’effet de A de celui de l’équipement • Idée pour éviter la confusion avec A : – Recher 2 blocs tel que l’effet de l’équipement ne soit pas confondu avec un facteur principal – Création d’un facteur fictif : X (équipement) • Choix d’une colonne d’affectation – Par exemple : ABC, AC, BC • Découpage des blocs : – Bloc 1: 1, 3, 6, 8 – Bloc 2 : 2, 4, 5, 7 N. BOUDAOUD Plans d’expériences 26

Exemple • Un plan factoriel 8 essai a été réalisé pour minimiser le fluage (% d’allongement après 24 heures) d’une pièce. • Facteurs listés sont : • A : la température • B : la quantité de gomme • C : la quantité d’additif Essai Température Gommes Additif Réponse(%) 1 - - - 27. 4 2 + - - 31. 1 3 - + - 26. 6 4 + + - 32. 4 5 - - + 31. 4 6 + - + 16. 5 7 - + + 27. 5 8 + + + 15. 5 Comment répartir les essais sur Les 2 mélangeurs ? N. BOUDAOUD Plans d’expériences Mélangeur 1 27 Mélangeur 2

Exemple Essai Température Gommes Additif Réponse(%) 1 - - - 27. 4 2 + - - 31. 1 3 - + - 26. 6 4 + + - 32. 4 5 - - + 31. 4 6 + - + 16. 5 7 - + + 27. 5 8 + + + 15. 5 Mélangeur 1 Mélangeur 2 Les essais sont répartis en 2 blocs de 4 : - essais : 1 4 6 7 Cela permet de ne pas Confondre l’effet « changement de mélangeur » - essais : 2 3 5 8 N. BOUDAOUD Plans d’expériences Avec un facteur du plan Le facteur Type de mélangeur est affecté à la colonne 7 28 De la table L 8(23)

Exemple Essai Température Gommes Additif Melangeur (C 7) Réponse(%) 1 - - 27. 4 2 + - - + 31. 1 3 - + 26. 6 4 + + - - 32. 4 5 - - + + 31. 4 6 + - 5. 0 7 - + + - 27. 5 8 + + 15. 5 Comment estimer l’effet bloc ? Mélangeur 1 Mélangeur 2 Au travail ! N. BOUDAOUD Plans d’expériences 29

Solution N. BOUDAOUD Plans d’expériences 30

Solution F 0. 95(1, 3)=10. 01 Alors le mélangeur a-t-il introduit un effet bloc ? N. BOUDAOUD Plans d’expériences 31

Plans screening • Les plans screening (Plaket-Burman) sont utilisés pour tester les facteurs principaux • Qui ? Ne concerne que les plans à 2 niveaux • Quand ? Lorsque le nombre de facteurs est élevé • Cela permet de filtrer ou de débroussailler des cas complexes • Comment générer ces plans ? – Algorithme de permutation circulaire N. BOUDAOUD Plans d’expériences 32

Plans screening • On donne la séquence de signes de la première ligne • On réalise une permutation circulaire à partir de la droite • On complète la dernière ligne par -1 Essayons ! N. BOUDAOUD Plans d’expériences 33

Plans screening • Les premières lignes en fonction du nombre de facteurs principaux à analyser – k inférieur ou égal à 3 (N=4): + + – k inférieur ou égal à 7 (N=8): + + + - – k inférieur ou égal à 11(N=12) : + + - + + + - - - + – k inférieur ou égal à 15 (N=16) : + + - - – k inférieur ou égal à 19 (N=20): + + - - + + - N. BOUDAOUD Plans d’expériences 34

Exemple : tenue de soudage de supports • • Un plan d’expérience de type SCREENING a permis de tester l’influence de 4 facteurs de réglage sur la tenue de soudage de 2 supports : Les réponses sont : • Les facteurs sont : – – Y 1 : taux de microdéfauts souhaité < 20% Y 2 : Dureté après soudure souhaité >70 HB – – A : type de décapage B : jeu de supports C : nature de soudure D : montée en température -1 (mécanique) +1 (non mécanique) -1 (0. 1 mm) +1 (0. 5 mm) -1 (C 10) +1 (C 20) -1 ( 5 min) +1 ( 10 min) Générer le plan d’expérience « screening » ! N. BOUDAOUD Plans d’expériences 35

Exemple • 4 facteurs, – k inférieur ou égal à 7 : + + + - 8 essais Construire la table N. BOUDAOUD Plans d’expériences 36

Exemple A B C D Y 1 Y 2 1 + + + - 2 - + + + 60 78 75 90 3 - - + + 4 + - - + 5 - + - - 6 + - 7 + + - + 8 - - 97 38 69 35 75 58 82 40 80 32 70 32 N. BOUDAOUD Plans d’expériences 37

Analyse du plan • Estimation des effets moyens • Analyse de Variance • Écriture du modèle et validation N. BOUDAOUD Plans d’expériences 38