Les nombres non entiers Linvention du continu Plan

Les nombres non entiers L’invention du continu

Plan du cours 1. 2. 3. 4. 5. Quelques représentations et difficultés… L’invention de nouveaux nombres – quels usages en fait-on ? Caractérisation mathématique des nombres non entiers Analyse d’erreurs d’élèves Démarches d’enseignement

1 - Quelques représentations n 2, 5 est un décimal n 5/2 est une fraction n 3 n’est pas décimal, c’est un entier n Un décimal, c’est un nombre avec une virgule n Une fraction c’est deux nombres avec un trait entre les deux n Pi est un nombre infini n La partie décimale de 2, 364 est 364

Erreurs d’élèves… n n n n 2, 4 + 3, 6 = 5, 10 2, 6 x 4 = 8, 24 Entre 1, 5 et 1, 6 il n’y a pas de nombres 1, 5 < 1, 16 Le chiffre des centièmes de 2, 145 est 1 1, 9 = 1/9 = un neuvième 2, 9 x 10 = 20, 9 2, 9 x 100 = 20, 90

Taux de réussite - EVA 6 eme 06 80% - 77%

Taux de réussite - EVA 6 eme 06 50%

Taux de réussite - EVA 6 eme 06 34% - 20% - 22%

Taux de réussite - EVA 6 eme 06 n 90% - 30%

Taux de réussite - EVA 6 eme 06 n 26%

2 - l’invention de nouveaux nombres- approche historique Quels problèmes ? n Problèmes de mesures n Problèmes de partage (division) n Rapport de proportions

n Problèmes de mesure : u Entre 2 et 3 u

n Problème de partage 5: 4=? Soit 1 + un quart Soit 5 quarts 4 x …. = 5

Rapport de proportion n Si 3 pommes coûtent 500 francs, combien coûtent 6 pommes ? n 15 filles sur 24 élèves n 3 est à 5 ce que 60 est à 100

Raccourci historique n Les babyloniens : fractions de 60 n Les égyptiens : fractions unitaires de puissances de 2 n Les grecs : les proportions n Les fractions décimales n L’invention de la virgule - Simon STEVIN - La disme 1585 n Le système décimal - les décimaux

Une idée géniale… n Le prolongement du tableau de numération. 100 10 3, 29 = 3 + 2/10 + 9/100 1 1/100 3, 2 9

3 - Caractérisations mathématiques des nombres non entiers. n L’ensemble Q des rationnels. Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un rapport de deux entiers. Exemples : 1/3; 2=2/1; 0, 1=1/10… Il faudrait distinguer fraction et rationnel…

Les décimaux n Un nombre décimal est un nombre rationnel qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale (avec une puissance de 10 au dénominateur) Exemples : 2 = 20/10 ; 0, 25 = 25/100… 1/3 n’est pas décimal, 12/15 l’est.

Autre caractérisation n Un nombre décimal est un nombre dont l’écriture fractionnaire irréductible est de la forme N/2 a 5 b. Exemples : 14/5 ; 18/25; 13/40.

Nombres à virgule n Un nombre décimal possède une écriture à virgule dont la partie décimale a un nombre fini de chiffres n Un nombre rationnel non décimal possède une écriture à virgule illimitée, avec une période dans la partie décimale. Attention : nombre à virgule ne veut pas dire nombre décimal !

Existe-t-il d’autres nombres ? n Quand on a rajouté tous les rationnels sur la droite numérique y a-t-il de la place pour d’autres nombres ? n Réponse : oui… Représentation par les coupures.

Les irrationnels, des nombres fantômes… n Impossibles à écrire, à « voir » , ils existent pourtant… n Caractérisation : o Ils ne s’écrivent pas sous la forme a/b o Leur écriture à virgule est illimitée et non périodique…

Avantages, inconvénients de l’agrandissement de l’ensemble des nombres. n Toute division a un résultat n On peut tout mesurer n On peut prolonger les opérations… n On perd l’idée d’ordre « naturel » … n L’infiniment petit est difficile à imaginer…

Erreurs d’élèves - explications remédiations n Un décimal est un couple de nombres entiers séparés par une virgule… n La virgule « flotte » (on peut l’enlever)

Démarches d’enseignement n Introduction par la mesure. à éviter ! Obstacle didactique… n Introduction par les problèmes de fractionnement Démarche type : pour comprendre les maths.

Exercices d’application directe. n Quelle est la nature du nombre 0, 1234567891011121314… ? n Quelle est la nature du nombre 0, 121212… n Quelle est la nature des nombres 17/12, 12/60 ? n Complétez le nombre 3_5_/45 pour qu’il soit décimal n Rangez dans l’ordre : 2/3 - 8/11 - 1/2 - 0, 66 0, 7