LES NOMBRES Document de travail Nouveaux programmes Cycle

LES NOMBRES Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Les différentes formes de calcul Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Programme de Cinquième : Partie 2 « Nombres et calculs » Toutes les activités numériques fournissent des occasions de pratiquer le calcul exact ou approché sous toutes ses formes, utilisées en interaction : calcul mental, automatisé ou réfléchi, calcul posé, emploi d’une calculatrice. Plusieurs objectifs : - prévoir des ordres de grandeur, - opérer en conservant l’écriture fractionnaire, - utiliser le vocabulaire approprié. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Programme de Quatrième : Partie 2 « Nombres et calculs » La pratique du calcul numérique (exact ou approché) sous ses différentes formes en interaction (calcul mental, calcul à la main, calcul à la machine ou avec un ordinateur) a pour objectifs : - la maîtrise des procédures de calcul effectivement utilisées, - l’acquisition de savoir-faire dans la comparaison des nombres, - la réflexion et l’initiative dans le choix de l’écriture appropriée d’un nombre suivant la situation. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Les formes de calcul Calcul automatisé Calcul réfléchi Calcul mental Résultats mémorisés Procédures automatisées Résultats ou procédures reconstruites Calcul papier-crayon Techniques opératoires (calcul posé) Procédures reconstruites Calcul machine Calculs usuels Procédure adaptée / type de machine Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Nous nous intéressons ici au calcul mental. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Le calcul mental est utile au quotidien indispensable pour acquérir des automatismes indispensable pour un calcul posé un moyen de vérification de calcul une aide à la mise en place de relations entre calculs et raisonnement nécessaire pour acquérir des représentations mentales de certaines notions Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Quels types de travaux en calcul mental ? • calculs élémentaires : techniques opératoires. • enrichissement des conceptions numériques des élèves. • « calcul exact » – « calcul approché » : approximations, ordres de grandeurs… • utilisation des propriétés de l’algèbre pour le traitemental de calculs divers. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

mémorisation des formules (algébriques, géométriques, liées aux grandeurs, . . . ) mémorisation de situations d’apprentissage qui ont donné naissance à de nouvelles techniques ou a de nouvelles notions : faciliter les images mentales utilisation du vocabulaire utilisation de la calculatrice à bon escient. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Des problèmes en calcul réfléchi Des exemples en Cinquième 1) Léa collectionne des timbres. Elle en possède 140. Elle en donne 20 %. Combien lui reste-t-il de timbres ? 2) Simplifier la fraction suivante 3) Combien faut-il de carrés de 10 centimètres de côté pour recouvrir un carré de 30 centimètres de côté ? 4) Combien y a-t-il de tiers dans 15 unités ? 5) 3 cm + 65 mm = 6) Vrai ou faux ? a) La somme de trois quarts et de un huitième est supérieure à 1. b) La somme de deux entiers négatifs est toujours négative. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

7) Quel nombre dois-je ajouter à -23 pour obtenir 12 ? 8) Que vaut x dans l’équation : 3 x = 17 ? (Le but est de revenir à la définition du nombre a/b) 9) On divise un nombre par 7. Le quotient est 4 et le reste 5. Quel est ce nombre ? 10) Alain a mangé un quart du gâteau, sa soeur Béatrice a mangé le tiers du reste. Qui en a mangé le plus ? 11) Écrire un nombre de deux chiffres divisible par 2 et par 3. 12) Écrire un nombre de deux chiffres divisible par 3 mais par 5. 13) Marie possède x euros. Jean en possède deux fois plus. Combien ont-ils d’euros à eux deux ? Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Des problèmes en calcul réfléchi Des exemples en Quatrième 1) 2) 3) 4) 5) 6) Que vaut le carré de 6 ôté du carré de 8 ? Un carré a une aire de 81 cm 2, combien mesure son périmètre ? Quel est le quotient de 62 par 32 ? Que vaut 3 a - 2 b si a = 5 et b = 4 ? Résoudre les équations 3 x = 7 ; 8 x = 60 (L’objectif est de faire appel à la définition du nombre a/b) Vrai ou faux ? a) Le quotient de deux entiers de signes contraires est toujours positif. b) Lorsqu’on double la mesure d’un angle aigu on obtient la mesure d’un angle obtus. c) La somme de trois entiers consécutifs est divisible par 3. d) Il existe des nombres dont le carré est égal à leur double. e) Le carré d’un entier pair est divisible par 4. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Calcul mental à la maison. Un exemple de fiche auto-corrigée Classe de cinquième Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Calcul mental et calcul littéral 1) Si x = 5, calculer 3 x ; 4 x ; -6 x ; 7 + x ; x/2 + x ; 5 x – 2, 4 2) Si a = -3 et b = 2, calculer ab ; b – a ; 5 a + 3 b ; 2 b – 4 b 3) Le labyrinthe Entrée Sortie (par le bas) Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

4) Programmes de calcul Programme 1 : Programme 2 : 1. Choisir un nombre décimal 2. Le multiplier par 5 3. Ajouter 7 au produit obtenu 4. Soustraire le nombre de départ 5. Ajouter 3 à la différence obtenue 6. Annoncer le résultat 1. Choisir un nombre décimal 2. Le multiplier par 2 3. Ajouter 5 au produit obtenu 4. Multiplier la somme obtenue par 2 5. Annoncer le résultat Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

a. Faire fonctionner les deux programmes avec les nombres 1 puis 2 puis 3. b. Que peut-on conjecturer ? Cette conjecture est-elle vraie ? c. J’ai trouvé 118 avec les deux programmes. Quel nombre ai -je choisi au départ ? (On peut envisager un travail avec le tableur pour répondre aux questions) Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Calcul mental : périmètre et aire 1) Calculer l’aire et le périmètre de chacun des triangles ABC suivants quand cela est possible. 2) Calculer l’aire et le périmètre du parallélogramme suivant. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Les écritures fractionnaires du cycle 3 au collège Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Programme Cycle 3 La fraction est liée au partage, au fractionnement d’une grandeur. Le partage des longueurs peut se faire • par pliage • à l’aide d’un réseau de droites parallèles équidistantes. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Programme Cycle 3 Partage en 3 parties égales Partage en 5 parties égales Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Programme Cycle 3 est lu « sept tiers » et évoque ce qui est obtenu en partageant l'unité en 3 parties égales et en reportant 7 de ces parts. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Programme Cycle 3 Les fractions donnent du sens aux nombres décimaux. En partageant le mètre comme unité : 2, 405 m = 2 m + 4 dm + 5 mm = 2 m + 405 mm On prépare l'approche du nombre : On encadre une fraction simple par deux entiers consécutifs. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Programme Sixième est un nombre. On part d’une situation problème, par exemple : On souhaite partager un segment de longueur 7 cm en 3 morceaux de même longueur. Quelle est la longueur d’un morceau ? La longueur d'un morceau est « le tiers de sept » . Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Programme Sixième Mais pourquoi « le tiers de sept » est-il égal à « sept tiers » ? 1 unité sept tiers 7 unités Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007 le tiers de sept

Programme Sixième Les nombres en écriture fractionnaire permettent notamment de résoudre certains problèmes de proportionnalité là où les nombres décimaux ne suffisent pas tout en gardant les mêmes procédures de traitement (généralisation du « nombre de fois » ) 4 kg 3 12 kg ? 15 € 3 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Programme Sixième Nombre qui, multiplié par 10, donne 12 1, 2 ou 10 kg 12 kg 7, 23 € ? Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Programme Sixième Nombre qui, multiplié par 7, donne 12 7 kg 12 kg 15, 47 € ? Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Évaluation diagnostique en Cinquième Les égalités à trous a) 4 …… = 20 b) …… 7 = 7 e) 5 …… = 2 f) …… 2 = 1 c) 16 …… = 432 d) 15 …… = 48 g) 0 …… = 3 h) 3 …… = 4 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Les égalités à trous a) 4 …… = 20 b) …… 7 = 7 Utilisation des tables : 100% e) 5 …… = 2 f) …… 2 = 1 c) 16 …… = 432 Réponse exacte : 85 % g) 0 …… = 3 d) 15 …… = 48 h) 3 …… = 4 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Les égalités à trous a) 4 …… = 20 Recours à la division : 35 % e) 5 …… = 2 Essais successifs : 25 % b) …… 7 = 7 Pas de réponse : 25 % f) …… 2 = 1 c) 16 …… = 432 g) 0 …… = 3 d) 15 …… = 48 Réponse exacte (3, 2) : 20 % h) 3 …… = 4 « Le nombre n’existe pas » : 25 % Pas de réponse : 40 % Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Les égalités à trous a) 4 …… = 20 b) …… 7 = 7 e) 5 …… = 2 Réponse juste (quotient fractionnaire) : 0 % f) …… 2 = 1 c) 16 …… = 432 Impossible : 55 % Pas de réponse : 35 % d) 15 …… = 48 g) 0 …… = 3 h) 3 …… = 4 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Une remédiation Une puce se déplace sur la demi-droite graduée ci-dessous en faisant des bonds de longueur OA. 3 ? = 4 … Au bout de combien de bonds tombe-t-elle pour la première fois sur un nombre entier, et quel est ce nombre ? Quelle égalité peut-on déduire du travail précédent ? Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Une remédiation Une puce se déplace sur la demi-droite graduée ci-dessous en faisant des bonds de longueur OA. 3 ? = 4 … Réponse juste : Au bout de combien de bonds tombe-t-elle pour la (avec 3 bonds, elle tombe « sur le point d’abscisse 4 » ): 85 % première fois sur un nombre entier, et quel est ce nombre ? Un quart des élèves écrivent l’égalité 3 OA = 4 …Il reste à déterminer OA …. Quelle égalité peux-tu déduire du travail précédent ? …Et à conclure : 3 = 4 (1 élève pense à l’écriture fractionnaire) Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Pour favoriser la réussite la technique de multiplication d’un nombre entier par un nombre décimal : üle raisonnement sur le dernier chiffre Exemple ül’ordre de grandeur ümultiplication par un nombre plus petit que 1 Le concept d’égalité Valeur exacte et valeur approchée d’un nombre Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Addition de nombres en écriture fractionnaire Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Étape Complète l’égalité Les élèves eux-mêmes vont démontrer, dès le début de l’apprentissage, que l’intuition première (additionner les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble) est incorrecte. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Étape Calcule 12 : 3 + 6 : 2 11 : 3 + 7 : 3 + 10 : 6 Changer de stratégies selon les calculs proposés. Extension de la règle de distributivité de la multiplication sur l’addition à la division : Pour tous les nombres a, b et k avec k 0 a : k + b : k = (a + b) : k D’où une remarque sur la nécessité d’avoir la division par un même nombre. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Fraction proportion Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

En cinquième Une écriture fractionnaire peut être utilisée pour désigner une proportion. exprime la relation entre une partie d'une population et la population totale (lien avec la fréquence statistique). Exemple: la proportion de filles dans le collège est Les écritures 6/10 0. 6 0, 6 60% sont rencontrées pour désigner cette fréquence : elles permettent d'insister sur les diverses écritures d'un même nombre et de préciser leurs utilisations. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

En cinquième 1 er exemple d’exercice : Le collège de la ville voisine a un effectif de 735 élèves. 315 d'entre eux sont demi-pensionnaires. Le dernier bulletin du conseil général annonce que « 3 élèves sur 7 sont demipensionnaires » . Que penser de cette affirmation ? Dans un autre collège de 645 élèves, seulement 129 élèves sont demi-pensionnaires. Comment sera traduite cette information dans le bulletin ? • Découverte de la notion de proportion • Nombres en écriture fractionnaire égaux • Écriture d'une proportion à partir de la donnée d'effectifs Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

En cinquième 2 e exemple d’exercice : Voici trois situations. Auxquelles peut-on associer la proportion 2 sur 3 ? 1) 2) 3) Dans la classe, 2 élèves sur 3 habitent à moins de dix minutes du collège. Dans la classe, 2 filles et 3 garçons sont inscrits à l’UNSS. Dans la classe, 16 élèves sont demi-pensionnaires et 8 sont externes. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

En cinquième 3 e exemple d’exercice : Le principal du collège a montré aux parents d'élèves le diagramme circulaire suivant concernant la première langue vivante des élèves de cinquièmes. Alexandre dit : « Trois élèves sur quatre font allemand en LV 1» Béatrice dit : « 25% des élèves de 5ème font allemand en LV 1» Carole dit : « La fréquence des élèves qui font anglais en LV 1 est 0, 75 » David dit : « La proportion d'élèves qui font anglais en LV 1 est » Que peut-on penser de ces quatre affirmations ? • Lecture et interprétation d'un diagramme circulaire. • Différentes écritures d'une fréquence (décimale, proportion, %). Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Introduction : Les nombres relatifs À partir du travail du groupe didactique de l’IREM d’Aquitaine Brochure Entrées dans l’algèbre 6 e et 5 e, 2007 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Aperçu historique Ie siècle : les Chinois utilisaient les négatifs pour des problèmes de comptabilité. XVe siècle : apparition des négatifs en Occident avec Nicolas Chuquet ; utilisés comme auxiliaires de calcul dans les résolutions d’équations. Fin du XIXe siècle : En Occident, les négatifs ont un statut de nombre. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Différents contextes Contextes concrets : recettes et dépenses, gains et pertes, températures, altitudes, chronologie, ascenseur… Contexte de repérage : -3 est une variation -3 est un repère indiquant un état Contexte interne aux mathématiques On résout des équations. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Extrait du document d’accompagnement – Les nombres au collège – Décembre 2006 Il paraît plus fécond d’envisager une approche plus théorique de ces nouveaux nombres, par exemple, comme le suggère le commentaire du programme de cinquième en cherchant des nombres qui rendent la soustraction toujours possible. Varier les situations pour aborder les différents contextes. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Exemple d’introduction Étape : Établir que (a + b ) – c = a + ( b – c ) Exercice 1 : « Margot va à la librairie, elle achète deux articles : un cahier à 2, 75 € et un livre à 8, 25 €. Le libraire lui fait une réduction de 0, 50 € sur le prix du livre. » Calculer le prix total que Margot doit payer de deux façons différentes et pour chacune, écrire les calculs en une seule ligne. Exercice 2 : Calculer la longueur AC de deux façons différentes et pour chacune, écrire les calculs en une seule ligne. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Exemple d’introduction Étape : Introduction du nombre -2 comme convention pour 0 – 2 Complète les pointillés 7 + … = 11 28 + …. = 85 194 + … = 251 37 + … = 37 6 + … = 4 Cela permet de réactiver la soustraction et la visualisation suivante… Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Illustration de la résolution à l’aide de la demidroite graduée ; la soustraction est perçue comme un déplacement vers la gauche. On arrive alors naturellement à la droite graduée. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

La dernière égalité 6 + … = 4 Réponses des élèves : Impossible, 4/6, -2 mais aussi des élèves proposent de remplacer les pointillés par 4 – 6 ou par 2 – 4, ou 0 – 2 car 6 + (4 – 6) = (6 + 4 ) – 6 = 10 – 6 = 4 6 + 4 – 6 = 4 6 + 2 – 4 = 4 6 + 0 – 2 = 4 D’où 4 – 6 = 2 – 4 = 1 – 3 = …. . = 0 – 2 Le professeur explique alors que le nombre 0 – 2 sera désormais noté -2. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Exercice : Écrire plusieurs égalités à trous ayant -2 comme solution. Définition : Le nombre qui ajouté à 6 donne 4 est le nombre (4 – 6). Notation : ce nombre est noté -2. Vocabulaire : -2 est un nombre négatif. Remarque : -2 = 0 – 2 = 1 – 3 = 4 – 6 = …. On a alors 6 + (-2) = 4 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Exemple d’introduction Étape : Nombres opposés On redonne des additions à trous avec une solution positive ou négative, en variant la place du trou, et on glisse parmi ces exercices, l’égalité : …. + 5 = 0 Définition : Deux nombres sont opposés quand leur somme vaut zéro. Exemple : -5 + 5 = 5 + (-5) = 0 Les deux nombres 5 et -5 sont opposés. Remarque : En plaçant les points d’abscisse -5 et 5, des remarques sont faites sur la symétrie de ces points. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Exemple d’introduction Étape : On opère avec certains nombres relatifs 1) Effectuer les soustractions suivantes (on mélange les résultats positifs et les résultats négatifs). 35 – 17 23 – 48 on utilise (23 – 23) – (48 – 23) = 0 – 25 = - 25 48 – 72 etc. 2) Effectuer les additions de nombres relatifs suivantes. additions dont le résultat est positif 7 + (-4) 12 + (-5) 54 + (-29) -17 + 21 etc. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Exemple d’introduction Étape : On opère avec tous les nombres relatifs Exemples : -7 + 4 = -7 + (7 – 3) = (-7 + 7) – 3 = 0 – 3 = -3 9 + (-15) = 9 + (0 – 15) = (9 + 0) – 15 = 9 – 15 = -6 -5 + (-2) = -5 + (5 – 7) = (-5 + 5) – 7 = 0 – 7 = -7 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

e 5 Exercices niveau Les nombres relatifs Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Exemples d’exercices Lien avec d’autres disciplines. Thèmes de convergence. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Exercice 1 Thème abordé : Mathématiques et Histoire Objectifs : addition et comparaison de nombres relatifs, construction d’une droite graduée. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Exercice 1 Un peu d’Histoire au travers d’une histoire d’âge… Vercingétorix a 12 ans en – 60. Thalès a 20 ans en – 604. Euclide a 30 ans en – 300. Platon a 13 ans en – 414. Jules césar a 1 an en – 100. Pythagore a 20 ans en – 560. Charlemagne a 48 ans en 800. Attila a 18 ans en + 413. Charles Martel a 25 ans en +710. Sénèque a 35 ans en – 10. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Exercice 1 1) 2) 3) 4) 5) À partir des phrases suivantes, retrouver les dates de naissance de ces hommes célèbres. Parmi ces hommes célèbres, quels sont ceux nés avant Euclide ? En quelle année, Pythagore a-t-il fêté ses 12 ans ? Construire une frise sur laquelle seront placées les dates de naissance trouvées. Reproduire cette droite graduée pour que 1 cm corresponde à 50 ans et placer les évènements le plus précisément possible Vérifier ensuite les réponses à la question 2. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Exercice 2 Thème abordé : Mathématiques et sécurité routière. Objectifs : recherche d’écart entre des nombres relatifs et signification d’un symbole « - » ( ici, le symbole moins n’est pas celui propre aux nombres relatifs négatifs mais celui de la soustraction) Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Exercice 2 Des chiffres qui font réfléchir : Le risque des « deux-roues » est important, puisqu’il représente 51 % des 13 -16 ans tués en deux-roues motorisé. Dans cette tranche d’âge, le risque d’accident à cyclomoteur culmine à 16 ans. EX : 43 tués et 1 922 blessés en 2005. Il y a 5 fois plus de risque d’accident à cyclomoteur qu’en voiture (à nombre de kilomètres parcourus égal). Plus d' 1 jeune cyclomotoriste tué sur 10 ne portait pas de casque. L’oubli du port du casque en cyclomoteur aggrave les blessures en cas d’accident. Il est souvent sanctionné par les forces de l ‘ordre (Amende encourue : 38€). Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Exercice 2 Voici le nombre d’infractions de ce type répertoriés de 1995 à 2004. 1995 1996 1997 1998 1999 95 225 87 522 83 791 87 442 90 015 2000 2001 2002 2003 2004 78 556 77 78 161 80 116 72 568 Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007

Exercice 2 Voici ce que l’on peut trouver dans un article : « l’évolution du bilan annuel a été – 7703 en 1996 et - 3731 en 1997 » 1) Par quels calculs peut-on trouver ces valeurs ? 2) Pourquoi utiliser un nombre relatif négatif dans la phrase ? 3) De la même manière, construire des phrases illustrant l’évolution en 1998 et 2004. Document de travail - Nouveaux programmes Cycle central - 2007