Les mathmatiques autrement Calcul littral Rduire une somme

Les mathématiques autrement Calcul littéral • Réduire une somme algébrique • La distributivité • Factoriser • La double distributivité mode d'emploi

Les mathématiques autrement Réduire une somme algébrique

Réduire une somme algébrique c’est l’écrire avec le moins de termes possibles Les mathématiques autrement X = 7 a² + 3 a -5 + 2 a - 3 a² = 7 a² - 3 a² + 3 a + 2 a -5 = 4 a² + 5 a -5 Y = 3 a + 5 – 7 a – 4 a² + 6 = - 4 a² + 3 a - 7 a + 5 + 6 = -4 a² - 4 a + 11 On les Onajoute regroupe termes en a² en les termes et a² onetajoute en a. les termes en a. On regroupe les termes en les ordonnant : les termes en a² puis en aà copier.

c’est à toi Les mathématiques autrement A = 8 – a + a² + 5 a = a² - a + 5 a + 8 = a² + 4 a + 8 B = 3 t + 7 – 2 t² + 4 t - 1 = -2 t² + 3 t + 4 t + 7 – 1 = -2 t² + 7 t + 6 C = -3 + 4 k – 3 k² + 5 +k² = - 3 k² + 4 k - 3 + 5 = -2 k² + 4 k + 2

Les mathématiques autrement La distributivité

Les mathématiques autrement La distributivité avec des nombres (22+3)× 4 = 25 × 4 22× 4 + 3× 4 = 88+12 = 100 Les 2 résultats sont égaux donc observe (22 + 3) × 4 = 22 × 4 + 3 × 4 On admet que c’est vrai pour tous les nombres. On dit que la multiplication est distributive sur l’addition (ou sur la soustraction).

Les mathématiques autrement La distributivité avec des nombres (22 + 3) × 4 = 22 × 4 + 3 × 4 avec des lettres (a + b) × k = a × k + b × k

La distributivité Les mathématiques autrement (a + b) × k = a × k + b × k (2 + b) × 5 = 2 × 5 b × 5 = 10 + 5 b (a - 3) × 4 = a × 4 3 × 4 = 4 a - 12 (k + + 7) × k = k × k 7 × k = k² + 7 k (3 + h) × (-5) = 3 × (-5) h × (-5) = -15 + (-5)h = -15 - 5 h à copier

(a + b) × k = a × k + b × k Les mathématiques autrement Plus difficile observe A = 2 × (3 + a) + 5 × (a – 4) = 2 × 3 + 2 × a + ( 5 × a – 5 × 4) 5 a - 20 ) = 6 + 2 a + (+ +5 a = 6 + 2 a = 7 a – 14 Quand on a le signe + devant la parenthèse, on recopie le signe de chacun des nombres de la parenthèse.

Les mathématiques autrement (a + b) × k = a × k + b × k Plus difficile observe B = 3 × (2 - a) - 2 × (a + 7) = 3 × 2 + 3 × (-a) - ( 2 × a + 2 × 7) = 6 - 3 a – (+-2 a 2 a -+14) 14 = 6 - 3 a = -5 a - 8 Quand on a le signe devant la parenthèse, on change le signe de tous les nombres de la parenthèse.

Les mathématiques autrement (a + b) × k = a × k + b × k Plus difficile observe C = 4 × (1 - a) - 3 × (a - 2) = 4 × 1 + 4 × (-a) - (3 × a + 3 × (-2)) = 4 - 4 a - (+-3 a 3 a + - 66) Quand on a le signe devant la parenthèse, = 4 - 4 a on change le signe de = -7 a + 10 tous les nombres de la parenthèse. à copier

c’est à toi Les mathématiques autrement D = 3×(5+a) + 2×(4–a) E = 2×(3 + a) - 5×(a-1) =3× 5+3×a+(2× 4– 2×a) = 2× 3+2×a-(5×a+5×(-1)) = 15 + 3 a + ( 8 – 2 a) = 6 + 2 a – ( 5 a – 5) = 15 + 3 a + 8 – 2 a = 1 a – 23 = 6 + 2 a – 5 a + 5 = -3 a + 11

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Les mathématiques autrement Factoriser

L’égalité (a + b) × k = a × k + b × k peut s’écrire aussi a × k + b × k = (a + b) × k ou encore a × k + b × k = k × ((a + b)) On a factorisé k observe Les mathématiques autrement On souligne le facteur commun, on le recopie, puis dans la parenthèse on recopie tout ce qui n’est pas souligné.

a × k + b × k = k × ((a + b)) Les mathématiques autrement 2× 3+3×a =3×( )On souligne le facteur commun a× 4 -3× 4=4×( ) on le recopie puis dans la parenthèse on recopie tout ce qui n’est pas souligné. à copier

a × k + b × k = k × ((a + b)) Les mathématiques autrement 2 × 3 + 3 × a = 3 × ( 2 + a)On souligne le facteur commun a × 4 - 3 × 4 = 4 × ( a - 3) on le recopie puis dans la parenthèse on recopie tout ce qui n’est pas souligné. 2 × 5 + c × 5 = 5 × (2 + c) 8 × d + 8 × 5 = 8 × (d + 5) - 2) à toi e × 7 - 2 × 7 = 7 × (e c’est 2 × f + g × 2 = 2 × (f + g) h × 3 - 3 × i = 3 × (h - i)

Les mathématiques autrement a × k + b × k = k × ((a + b)) Plus difficile observe 33 aa×+aab + a=b×= a × (3 + b)

Les mathématiques autrement a × k + b × k = k × ((a + b)) Plus difficile observe 3 × a + a × b = a (3 + b) On peut simplifier l’écriture a × k + b × k = k × (a + b) en ak + bk = k(a + b)

Les mathématiques autrement ak + bk = k(a + b) D’autres exemples plus difficiles 3 + 3 a = 3( 3 × 1 + 3 a = 3(1 + a) 3=3× 1 14 + 7 a = 2 × 7 + 7 a 14 = 2 × 7 = 7(2 + a) × 6= 2 × 12 4 a + 24 = 4 a + 4 24 = 4(a + 6) = 3 × 8 5 a² + ba² = a² (5 + b)= 4 × 6 On choisit 24 = 4 × 6 car dans l’autre terme de la somme on a le facteur 4 à copier

c’est à toi Les mathématiques autrement 5 + 5 k = 5 × 1 + 5 k = 5(1 + k) 15 + 3 f = 3 × 5 + 3 f = 3(5 + f) 2 u + 30 = 2 u + 2 × 15 = 2(u + 15) gd² + 3 d² = d² (g + 3) 18 + 6 t = 6 × 3 + 6 t = 6(3 + t) 15 y - 30 = 15 y - 2× 15 = 15(y – 2) 5 j - 45 = 5 j - 5 × 9 = 5(j - 9) 20 z - 4 = 4 × 5 z - 4 × 1 = 4(5 z - 1) 7 - 7 p = 7 × 1 – 7 p = 7(1 - p) 7 h² - s²h² = h² (7 – s²)

Les mathématiques autrement ak + bk = k(a + b) D’autres exemples plus difficiles a² + 3 a = a × a + 3 a Attention, on ne souligne = a ×seula « a » par terme ! = a(a + 3) a² qu’un 5 ab - 5 ac = 5 a(b - c) 12 a + 4 ab = 3 × 4 a + 4 ab = 4 a(3 + b) 3 r² + 3 rj = 3 r × r + 3 rj = 3 r(r + j) à copier

c’est à toi Les mathématiques autrement g² - 5 g = g × g - 5 g = g(g - 5) 3 h² + 5 h = 3 h × h + 5 h = h(3 h + 5) 3 tv + 3 at = 3 t(v + a) 15 c + 5 c² = 3× 5 c+5 c×c = 5 c(3 + c) 5 rv + 20 r = 5 rv + 4 × 5 r = 5 r(v + 4) 3 r²v + 6 r² = 3 r²v+2× 3 r² = 3 r²(v + 2) 6 dc + 6 c² = 6 dc + 6 c × c = 6 c(d + c) 5 tv + vat = tv(5 + a)

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Les mathématiques autrement La double distributivité

Calculons Les mathématiques autrement (70 + 6) × (40 +7) = 76 × 47 = 3 572 70× 40 + 70× 7 + 6× 40 + 6× 7 = 2 800+490+240+42 = 3 572 Les 2 résultats sont égaux donc Observe (70 + 6) × (40 +7) = 70× 40 + 70× 7 + 6× 40 + 6× 7 On admet que c’est vrai pour tous les nombres.

Pour tous nombres relatifs a, b, c et d Les mathématiques autrement (a + b) (c +d) = ac + ad + bc + bd (a + 3) (2 +d) = a× 2 + ad + 3× 2 + 3 d = 2 a + ad + 6 + 3 d On développe On réduit (a + 4) (3 +a) = a× 3 + aa + 4× 3 + 4 a On développe = 3 a + a² + 12 + 4 a On réduit On groupe et on ordonne = a² + 7 a + 12 On développe (7 + a) (3 - a) = 7× 3 - 7 a + a× 3 - aa On réduit = 21 - 7 a + 3 a – a² On groupe et on ordonne à copier = -a² - 4 a + 21

c’est à toi Les mathématiques autrement (a + 3)(5 + a) = a× 5 + aa + 3× 5 + 3 a = 5 a + a² + 15 + 3 a = a² + 8 a + 15 (7 - b)(5 + b) = 7× 5 + 7 b - b× 5 - bb = 35 + 7 b – 5 b – b² = -b² + 2 b + 35 (c - 4)(c - 3) = cc - c× 3 – 4 c + 4× 3 = c² - 3 c – 4 c + 12 = c² - 7 c + 12

Les mathématiques autrement FIN

Calcul littéral Les mathématiques autrement 1) Réduire une somme algébrique c’est l’écrire avec le moins de termes possibles X = 7 a² + 3 a -5 + 2 a - 3 a² On regroupe les termes en a² et en a. -5 On ajoute les termes en a² et on ajoute les termes en a. = 7 a² - 3 a² + 3 a + 2 a = 4 a² + 5 a -5 Y = 3 a + 5 – 7 a – 4 a² + 6 = - 4 a² + 3 a - 7 a + 5 + 6 = -4 a² - 4 a + 11 On regroupe les termes en les ordonnant : les termes en a² puis en a retour

2) La distributivité (a + b) × k = a × k + b × k (2 + b) × 5 = 2 × 5 + b × 5 Les mathématiques autrement = 10 + 5 b (a - 3) × 4 = a × 4 - 3 × 4 = 4 a - 12 (k + 7) × k = k × k + 7 × k = k² + 7 k (3 + h) × (-5) = 3 × (-5) + h × (-5) = -15 + (-5)h = -15 - 5 h retour

Les mathématiques autrement A = 2 × (3 + a) + 5 × (a – 4) = 2 × 3 + 2 × a + ( 5 × a – 5 × 4) = 6 + 2 a + ( 5 a - 20 ) = 6 + 2 a + 5 a - 20 = 7 a – 14 Quand on a le signe + devant la parenthèse, on recopie le signe de chacun des nombres de la parenthèse.

Les mathématiques autrement B = 3 × (2 - a) - 2 × (a + 7) = 3 × 2 + 3 × (-a) - ( 2 × a + 2 × 7) = 6 - 3 a – ( 2 a +14) = 6 - 3 a -2 a - 14 = -5 a - 8 Quand on a le signe devant la parenthèse, on change le signe de tous les nombres de la parenthèse.

Les mathématiques autrement C = 4 × (1 - a) - 3 × (a - 2) = 4 × 1 + 4 × (-a) - (3 × a + 3 × (-2)) = 4 - 4 a - ( 3 a - 6) = 4 - 4 a -3 a + 6 = -7 a + 10 retour

3) Factoriser Les mathématiques autrement a × k + b × k = k × (a + b) a × k - b × k = k × (a - b) On souligne le facteur commun, on le recopie, puis dans la parenthèse, on recopie tout ce qui n’est pas souligné. 2 × 3 + 3 × a = 3 × (2 + a) a × 4 - 3 × 4 = 4 × (a - 3)

Les mathématiques autrement 3 a + ab = a(3 + b) 3 + 3 a = 3 × 1 + 3 a = 3(1 + a) On écrit 3 sous la forme du produit 3 × 1. 14 + 7 a = 2 × 7 + 7 a = 7(2 + a) On écrit 14 sous la forme du produit 2 × 7. 4 a + 24 = 4 a + 4 × 6 On choisit 24 = 4 × 6 car dans l’autre terme de la somme on a le facteur 4. = 4(a + 6) 5 a² + ba² = a² (5 + b) retour

Les mathématiques autrement a² + 3 a = a × a + 3 a = a(a + 3) Attention, on ne souligne qu’un seul « a » par terme ! 5 ab - 5 ac = 5 a(b - c) 12 a + 4 ab = 3 × 4 a + 4 ab = 4 a(3 + b) 3 r² + 3 rj = 3 r × r + 3 rj = 3 r(r + j) retour

4) La double distributivité Pour tous nombres relatifs a, b, c et d Les mathématiques autrement (a + b) (c +d) = ac + ad + bc + bd (a + 3) (2 +d) = a× 2 + ad + 3× 2 + 3 d = 2 a + ad + 6 + 3 d On développe On réduit (a + 4) (3 +a) = a× 3 + aa + 4× 3 + 4 a On développe = 3 a + a² + 12 + 4 a On réduit On groupe et on ordonne = a² + 7 a + 12 On développe (7 + a) (3 - a) = 7× 3 - 7 a + a× 3 - aa On réduit = 21 - 7 a + 3 a – a² = -a² - 4 a + 21 On groupe et on ordonne retour

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