LES GRAPHES Bac EconomieGestion MME HSAIRI AMEL I
LES GRAPHES Bac Economie&Gestion MME HSAIRI AMEL
I- Graphe simple: 1 -Définitions: Des villes reliées entre elles par des axes de communication Bac Economie&Gestion Un arbre généalogique: Un réseau d’ordinateurs connectés entre eux MME HSAIRI AMEL
La position n’a pas d’importance, seules liaisons comptent: • Exemple de graphe: B A C C (G) Bac Economie&Gestion C B B A = = A C Définition: Un graphe est un ensemble de points appelés sommets (ou nœuds) reliés par des traits appelés arêtes (ou arcs). MME HSAIRI AMEL
• L’ensemble des sommets du graphe (G) est formé de: A, B et C. • Un arc relie A à B. • Une boucle relie B à lui-même. • Dans le graphe (G), il n’y a pas de sens entre les sommets, le graphe est dit « non orienté » . • L’ordre d’un graphe est le nombre de ses sommets. L’ordre de (G) est 3: 3 sommets. Bac Economie&Gestion MME HSAIRI AMEL
• Deux sommets sont dit adjacents s’ils sont reliés entre eux. A et B sont adjacents B et C ne sont pas adjacents • Un graphe est complet si chaque sommet est adjacent à tous les autres. • Un sommet est isolé s’il n’est pas adjacent à aucun autre sommet. • Le degré d’un sommet est le nombre de sommets avec lesquels il est en relation. deg (A)=2 deg (B)=3 « les boucles comptent double » deg (C) =1 Bac Economie&Gestion MME HSAIRI AMEL
Définition: On appelle graphe simple un graphe qui n’a pas de boucle et qui a au plus une arête entre deux sommets. • Le graphe (G) n’est pas un graphe simple. Théorème 1: (admis) Dans un graphe simple non orienté, la somme des degrés de tous les sommets est égale au double du nombre d’arêtes. Exemple: B A C Somme des degrés est 4. Nombre d’arêtes x 2 = 2 x 2= 4 Bac Economie&Gestion MME HSAIRI AMEL
Activité 1: Réponse: 5 joueurs doivent rencontrer chacun 3 autres joueurs, est-ce possible? Si c’est possible alors chaque sommet est de degré 3 alors la somme des degré est égale à 5 x 3 =15 15 est impair donc ce n’est pas possible. Par contre, c’est possible par 4 joueurs. Somme des degrés = 4 x 3 = 12 Nombre d’arêtes x 2 = 6 x 2 =12 Bac Economie&Gestion MME HSAIRI AMEL
Théorème 2: (admis) Dans un graphe il existe au moins deux sommets de même degré. Application: Dans une réunion, il existe au moins deux personnes ayant le même nombre d’amis. Bac Economie&Gestion MME HSAIRI AMEL
Théorème 3: (admis) Le nombre de sommets de degré impair d’un graphe est pair. Activité 2: Sept personnes se retrouvent pour un dîner, certaines d’entre elles qui se sont déjà vues dans la journée, ne se serrent pas la main. Quatre personnes ont serré trois mains, deux en ont serré une. La septième personne, peut-elle n’avoir serré qu’une seule main? Bac Economie&Gestion MME HSAIRI AMEL
2 -Chaîne-cycle: Définitions: • Une chaîne dans un graphe est une suite de sommets reliés par des arêtes. • La longueur d’une chaîne est le nombre d’arêtes utilisées ou ce qui revient au-même le nombre de sommets utilisés moins un. • Une chaîne élémentaire ne peut pas visiter le même sommet deux fois. • Une chaîne simple ne peut pas visiter la même arête deux fois. • Une chaîne est dite fermée si son origine et son extrémité sont confondus. • Un cycle est une chaîne fermée composée d’arêtes toute distinctes. Bac Economie&Gestion MME HSAIRI AMEL
Activité 1 : Soient les deux graphes (G 1) et(G 2) représentés cidessous. F A B G C E D On dit que: - (G 1) est un graphe connexe. - (G 2) est un graphe non connexe. I H (G 1) J (G 2) Pour chacun de ces graphes peut-on trouver une chaîne reliant tous les sommets du graphe? Définition: Un graphe connexe est un graphe dans lequel chaque paire de sommets est reliée par une chaîne. Un graphe qui n’est pas connexe est dit non connexe, et se décompose en composantes connexes. Si oui, citer un exemple. Bac Economie&Gestion MME HSAIRI AMEL
3. Compléter le tableau suivant: Distance 0 2 2 1 1 La plus grande distance des deux sommets du graphe (G) est : 2 appelé le diamètre du graphe (G). Bac Economie&Gestion MME HSAIRI AMEL
Définitions: • La distance de deux sommets distincts est la longueur de la plus courte chaîne joignant ces deux sommets. La distance est infinie, s’il n’existe pas de chaîne joignant ces deux sommets. La distance d’un sommet à lui-même est, par convention, nulle. • Le diamètre d’un graphe est la plus grande des distances entre deux sommets du graphe. Bac Economie&Gestion MME HSAIRI AMEL
Chaîne eulérienne-cycle eulérien: Définitions: • Une chaîne eulérienne est une chaîne satisfaisant aux conditions suivants: Elle contient toutes les arêtes du graphe. Chaque arête n’est décrite qu’une seule fois. • Un cycle eulérien est une chaîne eulérienne fermée. Remarque: Une chaine eulérienne ne peut pas contenir plusieurs fois la même arête, mais elle peut passer plusieurs fois par le même sommet. Bac Economie&Gestion MME HSAIRI AMEL
Activité 3: Cinq pays sont représenté ci-dessous avec leurs frontières. Théorème d’EULER: (admis) • Un graphe connexe (G) admet une chaîne eulérienne si et seulement si tous ses sommets sont de degré pair ou deux uniquement de ses sommets sont de degré impair (se sont les extrémités de la chaîne. • Un graphe connexe (G) admet un cycle eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degré pair. 1. De quel pays doit-on partir pour visiter tous les autres pays en franchissant chaque frontière une fois et une seule? 2. Est-il possible de partir d’un pays et d’y revenir en franchissant chaque frontière une fois et une seule? Bac Economie&Gestion Remarque: Un graphe ayant plus de deux sommets de degré impair ne possède pas de chaîne eulérienne. MME HSAIRI AMEL
Activité 4: Une grande surface est conçue de telle façon que six secteurs ( alimentation, hi-fi, etc…) notés A, B, C, D, E et F sont reliés par des allées selon le graphe cidessous. 1. a) Le graphe est-il connexe? b) Compléter le tableau suivant: Sommet E D C A B Bac Economie&Gestion A B C D E F Degré F 2. Un visiteur désire parcourir l’ensemble des allées en ne passant par chacune d’elle qu’une seule fois. a) Montrer que son souhait est réalisable. b) Donner un exemple d’un tel parcours. MME HSAIRI AMEL
3 -Coloriage d’un graphe: v Vocabulaire: Colorier un graphe consiste à effectuer une couleur à chacun de ses sommets de sorte que deux sommets adjacents ne porte pas la même couleur. Exemple: Colorier les graphes suivants: (G 1) Bac Economie&Gestion (G 2) MME HSAIRI AMEL
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Activité 1: On donne le graphe suivant: C A D G B E H F 1. a) Colorier le graphe en utilisant l’algorithme de WELSH & POWELL. b) Quel est le nombre de couleur utilisé? 2. Est-il possible de colorier le graphe en utilisant uniquement deux couleurs? Bac Economie&Gestion Théorème : Le nombre chromatique d’un graphe complet d’ordre n est égal à n. MME HSAIRI AMEL
• Un sous graphe d’un graphe (G) est composé de quelques sommets de (G) et de toutes les arêtes qui les relient. B A D C E F Bac Economie&Gestion MME HSAIRI AMEL
Activité 3: Dans le service administratif d’une entreprise, on observe des incompatibilités d’humeur entre certains employés recensés dans le tableau suivant: x x x Bac Economie&Gestion x x x 1. Représenter cette situation par un graphe. 2. Montrer que le nombre minimum de bureaux nécessaires à la répartition des employés qui peuvent travailler ensemble est égal à 4. x x x La présence d’une croix à l’intersection de la ligne i et la colonne j signifie que les employés ne peuvent pas travailler dans le même bureau. x x MME HSAIRI AMEL
4 -Recherche d’une plus courte chaîne: Définitions: • Un graphe pondéré est un graphe dont les arêtes sont affectées de coefficients positifs. Activité 1: Sur les arêtes des graphes suivants représentant un réseau autoroutier, on a marqué les prix de péage en Dinars entre deux étapes. A • Le poids d’une chaîne est la somme des coefficients des arêtes qui la composent. • Une plus courte chaîne entre deux sommets est, parmi les chaînes qui les relient une chaîne de poids minimum. 6 2 B 3 C 3 D 2 Entre A et D trouver la chaîne qui minimise la somme dépensée en péage. Bac Economie&Gestion MME HSAIRI AMEL
Algorithme de Dijkstra Lorsqu’un graphe pondéré comporte de nombreux sommets et de nombreuses arêtes, la recherche d’une plus courte chaîne peut être longue et pénible car on doit examiner et comparer un grand nombre de possibilités. L’algorithme trouvé par Edgser Wybe Dijkstra en 1959 propose une méthode commode pour trouver la plus courte chaîne reliant un sommet bien déterminé à tous les autres sommets du graphe car, on le suivant pas à pas on est sûr de n’oublier aucun cas possible. D‘autre part, un tel algorithme peut être facilement programmé sur un ordinateur. Bac Economie&Gestion MME HSAIRI AMEL
Activité 2: Algorithme de Dijkstra Le graphe pondéré ci-dessous représente un réseau routier. Sur chacune de ses arêtes, on a marqué la distance séparant les deux villes reliées par cette 75 arête. D C 8 80 130 40 E 75 F G 33 B C D E F G Sommet sélectionné 0 A(0) 45 B 35 A 1. Déterminer le poids de la chaîne: F-G-C-D. 2. Compléter le tableau ci-contre en appliquant l’algorithme de Dijkstra. Bac Economie&Gestion A 3. Donner les plus courtes chaînes et les poids de chacune de ces chaînes, reliant: a) A à C b) A à D c) A à G MME HSAIRI AMEL
Le tableau complété A B C D E F G 0 Sommet sélectionné A(0) 0+35 35(A) 0+33 33(A) 33+75 108(F) 33+40 73(F) B(35) 35+45 80(B) 108(F) 73(F) G(73) 73+8 80(B) 108(F) C(80) 80+80 108(F) E(108) 35(A) 80+75 155(C) 108+130 155 (C) Bac Economie&Gestion F(33) D(155) MME HSAIRI AMEL
Activité 3: Un fournisseur se prépare à livrer un produit à ses clients d’une ville A à une ville F. Le tableau ci-contre indique les livraisons de ville à ville ainsi que la longueur du trajet, en kilométres, entre deux villes. 1. Représenter les liaisons possibles par un graphe pondéré. 2. Déterminer la chaîne donnant la durée minimale du trajet de A à F. Bac Economie&Gestion A A B B C 20 20 C 60 E 80 E 60 80 F G H 90 80 10 10 D D 20 20 F 40 70 70 G 90 H 80 30 20 20 40 30 20 20 MME HSAIRI AMEL
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