LES GRAPHES 1DEFINITION graphe simple orient DEFINITION Un

LES GRAPHES

1)DEFINITION graphe ( simple orienté )

DEFINITION • Un graphe ( simple orienté ) c’est un couple ( X, U ) avec X un ensemble fini et U une partie du produit cartésien X 2

Exemple : • X = • U = • Les éléments de X sont les sommets ou points du graphe • Les éléments de U sont les arcs du graphe • Un graphe est valué si à chaque arc est associé un nombre

Représentation X= U= Diagramme cartésien X 4 x x x 3 x x X 2 x x 1 x 2 x 3 x 4 tableau matriciel présucc x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 0 1 1 0 x 2 0 0 1 1 x 3 0 0 0 1 x 4 0 0 diagramme sagittal X 3 x 4 X 1 X 2

2)PLANIFICATION DE L’ORDONNANCEMENT DES TACHES :

Exemple Tâches A Tâches Durée antérieures / 5 B / 4 C B 6 D A B 2

DEUX METHODES • a)La méthode P. E. R. T • b)La méthode M. P. M.

a)La méthode P. E. R. T

méthode P. E. R. T • Chaque arc représente une tâche il est valué par la durée de la tâche A 5 D 2 B 4 C 6 Tâches antérieures Durée A / 5 B / 4 C B 6 D A B 2

méthode P. E. R. T • Chaque sommet représente une étape X 3 A 5 D 2 X 4 X 1 Tâches antérieures Durée A / 5 B / 4 C B 6 D A B 2 C 6 B 4 X 2

méthode P. E. R. T • Les arcs définissent les relations d’antériorité X 3 A 5 D 2 X 4 X 1 Tâches antérieures Durée A / 5 B / 4 C B 6 D A B 2 C 6 B 4 X 2

méthode P. E. R. T • Un seul arc X 3 entre deux sommets donc A 5 introduction de Fict tâches fictives X 1 ive Tâches antérieures Durée A / 5 B / 4 C B 6 D A B 2 duré B 4 e 0 X 2 D 2 X 4 C 6

b) La méthode M. P. M.

méthode M. P. M. • Chaque sommet représente une tâche. • A 5 B 4 D 2 C 6 Tâches antérieures Durée A / 5 B / 4 C B 6 D A B 2

méthode M. P. M. • . On a deux tâches fictives: DEBUT FIN • A 5 D 2 fin début B 4 C 6 Tâches antérieures Durée A / 5 B / 4 C B 6 D A B 2

méthode M. P. M. • Chaque sommet représente une tâche. début On a deux tâches fictives: DEBUT FIN • A 5 D 2 fin B 4 C 6 Tâches antérieures Durée A / 5 B / 4 C B 6 D A B 2

méthode M. P. M. • Les arcs définissent les relations d’antériorité A 5 D 2 fin début Tâches antérieures Durée A / 5 B / 4 C B 6 D A B 2 B 4 C 6

méthode M. P. M. • Chaque arc est valué par la durée de la A 5 tâche placée à son début. 0 • tâche DEBUT début durée 0 0 Tâches antérieures Durée A / 5 B / 4 C B 6 D A B 2 B 4 D 2 fin C 6

méthode M. P. M. • Chaque arc est valué par la 5 durée de la A 5 tâche placée à son début. 0 • tâche DEBUT début durée 0 0 Tâches antérieures Durée A / 5 B / 4 C B 6 D A B 2 B 4 D 2 fin C 6

méthode M. P. M. • Chaque arc est valué par la 5 durée de la A 5 D 2 tâche placée à son début. 0 4 • tâche DEBUT début durée 0 0 Tâches antérieures Durée A / 5 B / 4 C B 6 D A B 2 B 4 4 C 6 fin

méthode M. P. M. • Chaque arc est valué par la 5 durée de la A 5 D 2 tâche placée à son début. 0 4 • tâche DEBUT début durée 0 0 Tâches antérieures Durée A / 5 B / 4 C B 6 D A B 2 B 4 4 C 6 fin 6

méthode M. P. M. • Chaque arc est valué par la 5 durée de la A 5 D 2 tâche placée à son début. 0 4 • tâche DEBUT début durée 0 0 Tâches antérieures Durée A / 5 B / 4 C B 6 D A B 2 B 4 4 C 6 2 fin 6

méthode M. P. M. • Chaque arc est valué par la 5 durée de la A 5 D 2 tâche placée à son début. 0 4 • tâche DEBUT début durée 0 0 Tâches antérieures Durée A / 5 B / 4 C B 6 D A B 2 B 4 4 C 6 2 fin 6

4)DEFINITIONS ET AUTRES REPRESENTATIONS

• Si (x, y) U alors les sommets x et y sont adjacents, x est l’origine de l’arc et y l’extrémité. • x est un prédécesseur (précédent) d’y • y est un successeur (suivant) de x

• Un sommet c’est une sans prédécesseur entrée. sans successeur sortie.

Tableau ou dictionnaire des prédécesseurs sommets X 1 X 2 X 3 X 4 prédécesseurs

Tableau ou dictionnaire des prédécesseurs sommets prédécesseurs X 1 / X 2 X 1 X 3 X 1 X 2 X 4 X 2 X 3

sommets A B C D prédécesseurs

sommets prédécesseurs A / B / C B D A B

Tableau ou dictionnaire des successeurs sommets X 1 X 2 X 3 X 4 successeurs

sommets successeurs X 1 X 2 X 3 X 4 /

sommets A B C D successeurs

sommets successeurs A D B C D C / D /

Matrice adjacente ou booléenne A B 0 0 C D fin prsuc x 1 x 2 x 3 x 4 Début x 1 0 1 1 0 A x 2 0 0 1 1 B x 3 0 0 0 1 C 6 x 4 0 0 D 2 5 4 4 Dans un graphe valué on remplace les 1 par la valuation

5)ALGORITHME PERMETTANT D’OBTENIR LES NIVEAUX ( graphe sans circuit )

a) Définitions • Un chemin c’est une suite de points d’un graphe, telle que deux points qui se suivent sont reliés par un arc direct. • Ex: Chemins: ( x 1, x 3, x 4 ) ; ( x 1, x 2, x 3, x 4 ) N’est pas un chemin ( x 1, x 3, x 2 )

• Un circuit c’est un chemin non vide dont l’origine et l’extrémité sont confondus. • Une boucle c’est : (x, x) un arc

• La longueur d’un chemin ( au sens des arcs ) c’est le nombre d’arcs qu’il faut parcourir pour aller de l’origine à l’extrémité du chemin. • Ex: Le chemin longueur 3 ( x 1, x 2, x 3, x 4 ) est de

• Le niveau d’un la longueur du chemin au sens l’entrée et le • Ex: sommet x c’est plus long des arcs entre sommet x. x 3 est de niveau 2 et x 4 est de niveau 3

b) Recherche des niveaux • méthode : • sommets de niveau 0 : ceux qui n’ont pas de prédécesseurs. • sommets de niveau 1 : ceux qui n’ont pas de prédécesseurs quand on a supprimé ceux de niveau 0 , et ainsi de suite.

sommets de niveau 0 : ceux qui n’ont pas de prédécesseurs sommets Sommets précédents X 1 / X 2 X 1 X 3 X 1 X 2 X 4 X 2 X 3 NIVEAUX

sommets de niveau 0 : ceux qui n’ont pas de prédécesseurs sommets Sommets précédents X 1 / X 2 X 1 X 3 X 1 X 2 X 4 X 2 X 3 NIVEAUX N 0 : X 1

sommets de niveau 1 : ceux qui n’ont pas de prédécesseurs quand on a supprimé ceux de niveau 0 sommets Sommets précédents X 1 / X 2 X 1 / X 3 X 1 X 2 X 4 X 2 X 3 NIVEAUX N 0 : X 1 N 1:

sommets de niveau 1 : ceux qui n’ont pas de prédécesseurs quand on a supprimé ceux de niveau 0 sommets Sommets précédents X 1 / X 2 X 1 / X 3 X 1 X 2 X 4 X 2 X 3 NIVEAUX N 0 : X 1 N 1: X 2

et ainsi de suite sommets Sommets précédents X 1 / X 2 X 1 / X 3 X 1 X 2 X 4 X 2 X 3 X 3 NIVEAUX N 0 : X 1 / N 1: X 2 N 2: X 3

et ainsi de suite sommets X 1 Sommets précédents / X 2 X 1 / X 3 X 1 X 2 / X 4 X 2 X 3 X 3 NIVEAUX N 0 : X 1 N 1: X 2 N 2: X 3 / N 3: X 4

sommets de niveau 0 : ceux qui n’ont pas de prédécesseurs Sommets A Sommets précédents / B / C B D A B NIVEAUX

sommets de niveau 0 : ceux qui n’ont pas de prédécesseurs Sommets A Sommets précédents / B / C B D A B NIVEAUX N 0 : A B

sommets de niveau 1 : ceux qui n’ont pas de prédécesseurs quand on a supprimé ceux de niveau 0 Sommets A Sommets précédents / B / C B / D A B / NIVEAUX N 0: A B N 1: C D

3)ALGORITHME PERMETTANT D’OBTENIR LE CHEMIN DE VALEUR OPTIMALE. Cas du MPM.

Exemple Tâches A Tâches Durée antérieures / 5 B / 4 C B 6 D A B 2

Date de début au plus tôt d’une tâche: valeur du chemin maximal depuis le début.

Date de début au plus tôt d’une tâche: valeur du chemin maximal depuis le début. A 0 5 5 2 0 2 2 4 début B 0 D 4 0 tâche durée Début au plus tôt Début au plus tard fin 4 C 6 6

Date de début au plus tôt d’une tâche: valeur du chemin maximal depuis le début. A 0 5 5 2 0 2 2 4 début B 0 D 4 0 tâche durée Début au plus tôt Début au plus tard fin 4 C 4 6 6

Date de début au plus tôt d’une tâche: valeur du chemin maximal depuis le début. A 0 5 5 0 2 5 2 2 4 début B 0 D 4 0 tâche durée Début au plus tôt Début au plus tard fin 4 C 4 6 6

Date de début au plus tôt d’une tâche: valeur du chemin maximal depuis le début. A 0 5 5 0 2 5 2 2 4 début B 0 D 4 0 tâche durée Début au plus tôt Début au plus tard fin 4 C 4 6 6 10

Date de début au plus tard d’une tâche: durée totale moins la valeur du chemin maximal de cette tâche à la fin. (donc valeur minimale).

Date de début au plus tard d’une tâche: durée totale moins la valeur du chemin maximal de cette tâche à la fin. (donc valeur minimale). 5 A 0 5 D 0 5 2 2 4 début B 0 2 4 0 tâche durée Début au plus tôt Début au plus tard fin 4 C 4 6 6 10 10

Date de début au plus tard d’une tâche: durée totale moins la valeur du chemin maximal de cette tâche à la fin. (donc valeur minimale). 5 A 0 5 D 0 5 2 8 2 4 début B 0 2 4 0 tâche durée Début au plus tôt Début au plus tard fin 4 C 4 6 6 10 10

Date de début au plus tard d’une tâche: durée totale moins la valeur du chemin maximal de cette tâche à la fin. (donc valeur minimale). 5 0 A 5 D 0 3 5 2 8 2 4 début 0 2 B 4 0 0 tâche durée Début au plus tôt Début au plus tard fin 4 C 6 4 4 6 10 10

Date de début au plus tard d’une tâche: durée totale moins la valeur du chemin maximal de cette tâche à la fin. (donc valeur minimale). 5 A 0 5 D 0 5 2 8 2 4 début 0 2 B 4 0 0 tâche durée Début au plus tôt Début au plus tard fin 4 C 6 4 4 6 10 10

Date de début au plus tard d’une tâche: durée totale moins la valeur du chemin maximal de cette tâche à la fin. (donc valeur minimale). 5 0 A 5 D 0 3 5 2 8 2 4 début 0 2 B 4 0 0 tâche durée Début au plus tôt Début au plus tard fin 4 C 6 4 4 6 10 10

Graphe M. P. M. 0 A 5 0 3 5 2 8 2 4 début 0 D B 4 0 0 tâche durée Début au plus tôt Début au plus tard fin 4 C 6 4 4 6 10 10

Tâche critique • Une tâche est critique si tout retard apporté à son début au plus tôt retarde la date de fin au plus tôt du projet (date de début au plus tôt = date de début au plus tard ).

Tâche critique(date de début au plus tôt = date de début au plus tard ). 0 A 5 0 3 5 2 8 2 4 début 0 D B 4 0 0 tâche durée Début au plus tôt Début au plus tard fin 4 C 6 4 4 6 10 10

Chemin critique • Chemin critique : il est formé des tâches critiques • Une tâche est critique si tout retard apporté à son début au plus tôt retarde la date de fin au plus tôt du projet (date de début au plus tôt = date de début au plus tard ).

Chemin critique (date de début au plus tôt = date de début au plus tard ). 0 A 5 0 3 5 2 8 2 4 début 0 D B 4 0 0 tâche durée Début au plus tôt Début au plus tard fin 4 C 6 4 4 6 10 10

Marges

Marge totale d’une tâche • le retard maximal que l’on peut admettre au démarrage d’une tâche sans remettre en cause la durée du projet. • (date de début au plus tard de la tâche)-( date de début au plus tôt de la tâche)

Marge totale d’une tâche Marges totales date de début au plus tard de la tâche moins date de début au plus tôt de la tâche A: 3 - 0 = 3 B: 0 - 0 = 0 C: 4 - 4 = 0 D: 8 - 5 = 3

Marge libre d’une tâche : • le retard maximal que l’on peut admettre au démarrage d’une tâche sans remettre en cause le début au plus tôt des tâches suivantes. • (plus petit début au plus tôt qui suit)-(Date de début au plus tôt de la tâche)-(durée de la tâche))

Marge libre d’une tâche : Marges libres plus petit début au plus tôt qui suit Date de début au plus tôt de la tâche moins durée de la tâche A: 5 - 0 - 5 =0 B: 4 - 0 - 4 =0 C: 10 - 4 - 6 =0 D: 10 - 5 - 2 =3

• fin

6)ALGORITHME PERMETTANT D’OBTENIR LES CHEMINS DE LONGUEUR p

a) Définitions • Un chemin c’est une suite de points d’un graphe, telle que deux points qui se suivent sont reliés par un arc direct. • Ex:

• La longueur d’un chemin ( au sens des arcs ) c’est le nombre d’arcs qu’il faut parcourir pour aller de l’origine à l’extrémité du chemin. • Ex:

b)Propriété • Soit M la Matrice adjacente ou booléenne d’un graphe et soit Mp =(ci, j) la puissance p de M • • alors ci, j est le nombre de chemins de longueur p allant du sommet i au sommet j.

c)Remarques • Soit n le nombre de sommets • Si Mn 0 le graphe contient des circuits et si le terme diagonal ai, i 0 il existe au moins un chemin de longueur n de i à i (c’est à dire un circuit ) •

c)Remarques • Soit n le nombre de sommets • Si Mn 0 le graphe contient des circuits et si le terme diagonal ai, i 0 il existe au moins un chemin de longueur n de i à i (c’est à dire un circuit ) • • Les colonnes de zéros de Mn permettent de retrouver les nivaux.

c)Remarques • Soit n le nombre de sommets • Si Mn 0 le graphe contient des circuits et si le terme diagonal ai, i 0 il existe au moins un chemin de longueur n de i à i (c’est à dire un circuit ) • • Les colonnes de zéros de Mn permettent de retrouver les nivaux.

Exemple a • M = c b

Exemple a • M = b c M 2 =

Exemple a • M = b c M 2 = • Chemins de longueur 2 : • de a à a : (a, c, a) et (a, a, a ) • de a à c : (a, a, c)

Exemple a • M = b c M 2 = M 3 =

Exemple a • M = b c M 2 = M 3 = • Chemins de longueur 3 : • de a à a : a->c->a->a et a->a->c->a et a->a->a->a • de c à a : c->a->a->a et c->a->c->a

7) ALGORITHME PERMETTANT D’OBTENIR LA FERMETURE TRANSITIVE.

A) Opérations sur les relations • a)Union • Soit R et R’ deux relations sur un ensemble E, leur réunion R R’ c’est la relation dont le graphe est la réunion des arcs de R et de R’. • Exemple

R R’ b a • M= c R R’ b a M’= b a c M M’ = Somme Booléenne La matrice de R R’ c’est M M’ c

b)composition : R suivi de R’

R R’ b a • M= R suivi de R’ b c a M’= c b a M M’ = Produit Booléen La matrice de R suivi de R’ c’est M M’ c

B) Fermeture transitive de R : • Transitivité • Une relation est transitive si : • ( x)( y)( z) • (( x. Ry et y. Rz ) x. Rz )

Pour la fermeture transitive si on a x. Ry et y. Rz on ajoute x. Rz par transitivité • R fermeture transitive b b a • c c a sa matrice =

• Remarque : • La matrice de la fermeture transitive est = M M[2] M[3] M[4] +……

• fin

3)DEFINITIONS ET AUTRES REPRESENTATIONS

• Si (x, y) U alors les sommets x et y sont adjacents, x est l’origine de l’arc et y l’extrémité. • x est un prédécesseur (précédent) d’y • y est un successeur (suivant) de x

• Un sommet c’est une sans prédécesseur entrée. sans successeur sortie.

Tableau ou dictionnaire des prédécesseurs

sommets X 1 X 2 X 3 X 4 prédécesseurs

sommets prédécesseurs X 1 / X 2 X 1 X 3 X 1 X 2 X 4 X 2 X 3

sommets A B C D prédécesseurs

sommets prédécesseurs A / B / C B D A B

Tableau ou dictionnaire des successeurs

sommets X 1 X 2 X 3 X 4 successeurs

sommets successeurs X 1 X 2 X 3 X 4 /

sommets A B C D successeurs

sommets successeurs A D B C D C / D /

Matrice adjacente ou booléenne