Les coniques Elles sont obtenues par intersection dun

Les coniques Elles sont obtenues par intersection d’un plan avec un cône infini. Une définition plus précise : Une conique est le lieu géométrique des points du plan dont la distance à un point fixe égale le produit de leur distance à une droite fixe ne comprenant pas ce point par le réel . Une conique est le lieu géométrique des points dont les distances à un point fixe et à une droite fixe ne comprenant pas ce point ont un rapport constant. Foyer : c’est le point fixe Directrice : la droite fixe associée au foyer Excentricité : rapport constant Axe focal : droite perpendiculaire à la directrice passant par le foyer Sommet : point d’intersection entre la conique et son axe focal

LA PARABOLE Lieu des points situés à égale distance d’un point fixe F et d’une droite fixe d (F d) L’axe focal est l’axe de symétrie de la parabole Le sommet est le point commun de l’axe focal et de la parabole L’excentricité vaut 1 Pour représenter une parabole, il suffira de construire des cercles de centre F et de rayon variable r ainsi que des droites parallèles à la directrice d’une distance r et d’en prendre les intersections.

EQUATION DE LA PARABOLE = Equation focale Equation cartésienne réduite

L’ELLIPSE : Méthode 1 : un foyer, une directrice et l’excentricité Lieu des points du plan dont la distance à un point fixe F (foyer) vaut le produit de leur distance à une droite d (directrice), F d, par un réel (excentricité) avec 0 < <1. Pour représenter une ellipse, il suffira de construire des cercles de centre F de rayon variable k ainsi que des droites parallèles à la directrice d’une distance k et d’en prendre les intersections.

L’ELLIPSE : Méthode 2 : ses deux foyers Lieu des points du plan dont la distance à deux points fixes F et F’ (foyers) ont une somme constante 2 a. Pour représenter une ellipse, il suffira de construire des cercles de centre F de rayon variable r et des cercles de centre F’ de rayon 2 a - r et d’en prendre les intersections.

L’ELLIPSE : Propriétés L’axe focal est l’axe de symétrie déterminé par la droite passant par les foyers. L’axe non focal est déterminé par la médiatrice du segment de droite limité aux foyers. Le centre de symétrie correspond à l’intersection des deux axes de symétries. Les sommets qui sont aux nombres de 4, sont les points communs de l’ellipse et des axes de symétrie. La longueur de l’axe focal (distance entre les deux sommets du grand axe) vaut 2 a. La longueur du petit axe vaut 2 b.

EQUATION DE L’ELLIPSE (méthode 1) P Equation focale de l’ellipse Equation cartésienne réduite de l’ellipse

EQUATION DE L’ELLIPSE (méthode 2) Equation cartésienne réduite de l’ellipse

REMARQUES Si l’ellipse possède ses foyers sur l’axe des ordonnées, l’équation devient Si a = b, l’équation devient x² + y² = a² qui est l’équation d’un cercle de centre (0, 0) et de rayon a, Un cercle est donc une ellipse particulière.

L’HYPERBOLE : Méthode 1 : un foyer, une directrice et l’excentricité Lieu des points du plan dont la distance à un point fixe F (foyer) vaut le produit de leur distance à une droite d (directrice), F d, par un réel (excentricité) avec > 1. Pour représenter une hyperbole, il suffira de construire des cercles de centre F de rayon variable k ainsi que des droites parallèles à la directrice d’une distance k et d’en prendre les intersections.

L’HYPERBOLE: Méthode 2 : ses deux foyers Lieu des points du plan dont la distance à deux points fixes F et F’ (foyers) ont une différence, en valeur absolue, constante 2 a. Pour représenter une hyperbole, il suffira de construire des cercles de centre F de rayon variable r et des cercles de centre F’ de rayon 2 a + r et d’en prendre les intersections.

L’HYPERBOLE : Propriétés L’axe focal est l’axe de symétrie déterminé par la droite passant par les foyers. L’axe non focal est déterminé par la médiatrice du segment de droite limité aux foyers. Le centre de symétrie correspond à l’intersection des deux axes de symétries. Les sommets qui sont aux nombres de 2, sont les points communs de l’hyperbole et de l’axe focal. La distance entre les deux sommets vaut 2 a.

EQUATION DE L’HYPERBOLE (méthode 1) P(x; y) Equation focale de l’hyperbole Equation cartésienne réduite de l’hyperbole

EQUATION DE L’HYPERBOLE (méthode 2) Equation cartésienne réduite de l’hyperbole

REMARQUE Si l’hyperbole possède ses foyers sur l’axe des ordonnées, l’équation devient ou

SYNTHESE : comment reconnaître la nature d’une conique ? Considérons la parabole de foyer et de directrice associée Définition P Parabole (P, F) = (P, d) Equation y² = 2 px Sommet un seul sommet : S(0, 0) Axe de symétrie un seul axe : OX Excentricité =1 La parabole centrée en (xc, yc) a pour équation (y – yc)² = 2 p(x – xc)

Considérons 2 foyers F (c, 0) et F’ (–c, 0) et a > 0. ELLIPSE HYPERBOLE Définition P Ellipse (P, F) + (P, F’) = 2 a P Hyperbole | (P, F) - (P, F’)| = 2 a Conditions a > c ; b² = a² - c² a < c ; b² = c² - a² Equation Sommets ou ou S 1 (a, 0); S 2 (–a, 0); S 3 (0, b) et S 4 (0, –b) Centre Axes de symétrie Distance focale S 1 (a, 0) et S 2 (–a, 0) (0, 0) 2 axes de symétrie : OX (axe focal) et OY (axe non focal) 2 c tel que c = Grand axe 2 a Petit axe 2 b Asymptotes et Excentricité 0< = Directrices associées = < 1 et L’ellipse/hyperbole centrée en (xc, yc) a pour équation >1

Considérons l’équation générale mx² + ny² = p avec m, n 0 et p . Si m et n sont de même signe (mn > 0) p = 0 conique dégénérée en un point (0, 0) signe de p opposé au signe de m et de n conique vide p 0 m<n ellipse (d’axe focal OX) m > n ellipse (d’axe focal OY) m n signe de p est celui de m et de n m=n cercle Si m et n sont de signe opposé (mn < 0) p = 0 conique dégénérée en 2 droites sécantes en (0, 0) p 0 signe de p est celui de m hyperbole (d’axe focal OX) signe de p est celui de n hyperbole (d’axe focal OY) m = -n hyperbole équilatère (c. -à-d. asymptotes perpendiculaires)

Positions relatives d’une droite et d’une conique 1) Si la droite est parallèle distincte à une asymptote de l’hyperbole, alors la droite et l’hyperbole ont un point commun. 2) Si la droite est parallèle à l’axe focal de la parabole, alors la droite et la parabole ont un point commun.

Tangente à l’ellipse au point (r; s) T y – s = f’(r) (x – r) et l’ellipse b² x² + a² y² = a² b² s > 0 s < 0 s = 0 donc r = a Il s’agit de tangentes verticales aux sommets de l’ellipse. Les équations sont x = a et x = – a Or b 2 r 2 + a 2 s 2 = a 2 b 2 Donc T b 2 r x + a 2 s y – a 2 b 2 = 0

Tangente à l’hyperbole au point (r; s) T y – s = f’(r) (x – r) et l’hyperbole b² x² – a² y² = a² b² s > 0 s < 0 s = 0 donc r = a Il s’agit de tangentes verticales aux sommets de l’hyperbole. Les équations sont x = a et x = – a Or b 2 r 2 – a 2 s 2 = a 2 b 2 Donc T b 2 r x – a 2 s y – a 2 b 2 = 0

Tangente à la parabole au point (r; s) T y – s = f’(r) (x – r) et la parabole y² = 2 px s > 0 s < 0 s = 0 donc r = 0 Il s’agit de la tangente verticale au sommet de la parabole. L’équation est x = 0 Or s 2 = 2 pr Donc T s y = p (x + r)

Tangente à la conique à un point extérieur (r; s) Pour déterminer les tangentes, il faudra résoudre le système suivant : On rechera uniquement les intersections qui donneront un seul point commun, c’est-à-dire celle dont le réalisant sera nul.

Propriétés optiques des coniques L’angle aigu formé par les droites a et b est donné par la formule : , où ma et mb sont les coefficients angulaires respectifs de a et b. En effet, tan = ma et tan = mb et tan = |tan ( – )|.

Propriété optique de la parabole La droite joignant un point quelconque de la parabole au foyer et la droite issue de ce point et menée parallèlement à l’axe de la parabole forment des angles aigus de même amplitude avec la tangente à la parabole en ce point. Soit le repère tel que l’équation est y² = 2 px Soit le point M (r, s) et Ainsi donc, dans tout miroir parabolique, a) tout rayon issu du foyer se réfléchit parallèlement à l’axe ; b) tout rayon parallèle à l’axe se réfléchit en passant par le foyer.

Propriété optique de l’ellipse Les droites joignant un point quelconque de l’ellipse aux foyers de celle-ci forment des angles aigus de même amplitude avec la tangente à l’ellipse au point considéré. Soit le repère tel que l’équation est b² x² + a² y² =a² b² Soit le point P (r, s) Ainsi donc, dans tout miroir elliptique, tout rayon issu d’un foyer se réfléchit en passant par l’autre foyer.

Propriété optique de l’hyperbole Les droites joignant un point quelconque de l’hyperbole aux foyers de celle-ci forment des angles aigus de même amplitude avec la tangente à l’hyperbole au point considéré. Soit le repère tel que l’équation est b² x² – a² y² =a² b² Soit le point P (r, s) Ainsi donc, dans tout miroir hyperbolique, tout rayon issu d’un foyer se réfléchit en passant par l’autre foyer.