LES 1 Arbeid en energie methoden Hans Welleman

LES 1 : Arbeid- en energie methoden Hans Welleman V 2021 -2

Leermiddelen n Boek (VSSD) n website: - sheets, oefenbundel - opdrachten en - oefenmateriaal met - MAPLE bestanden - tentamens Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 2

Indeling n Bijeenkomst 1 n Bijeenkomst 2 n Bijeenkomst 3 Hans Welleman Arbeid en energie hfst 1 en 2 Castigliano hfst 2 en 3 Potentiële energie hfst 3 en 4 Arbeid, energieprincipes 3

Les 1 (hfst 1 en 2) n Begrippen – Arbeid, virtuele arbeid, wederkerigheid – Vervormingsenergie n Arbeidsmethoden – Virtuele arbeid – Vervormingsenergie – methode met eenheidslast – Rayleigh Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 4

Arbeid u. F F u scalar Eenheid van arbeid is Joule Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 5

Vervormingsenergie F=0 kracht F u u onbelaste toestand Hans Welleman belaste toestand Arbeid, energieprincipes veerkarakteristiek 6

Virtuele Arbeid : Puntdeeltje y x Bij een virtueel mogelijke verplaatsing leveren de krachten virtuele arbeid. z Puntdeeltje evenwichtsvergelijkingen van een puntdeeltje in 3 D Evenwicht : Virtuele arbeid is gelijk aan nul. Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 7

STAR LICHAAM (x-y vlak) Vrijheidsgraden in het vlak: n 2 translaties en 1 rotatie Neem oorsprong in O: O Hans Welleman 8

VERPLAATSING van punt i ? n n n Horizontale verplaatsing van O Verticale verplaatsing van O Rotatie om O Hans Welleman bijdrage ten gevolge van de rotatie ! 9

VERPLAATSING door een kleine rotatie c= Horizontale verplaatsing = verticale afstand tot draaipunt maal de rotatie Verticale verplaatsing = horizontale afstand tot draaipunt maal de rotatie Hans Welleman 10

RESULTAAT voor punt i Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 11

TOTALE ARBEID Fyi Fxi Hans Welleman 12

VIRTUELE ARBEID star lichaam in het platte vlak e. v. 1 e. v. 2 kracht maal verplaatsing e. v. 3 moment maal rotatie Evenwicht : Virtuele arbeid is gelijk aan nul. Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 13

MECHANISMEN Geen van de aanwezige verbindingskrachten levert n Kinematisch onbepaald arbeid ! n Welke mogelijkheden ? Scharnier, N, V geen M Glij-scharnier, N, M geen V Telescoop, V, M geen N Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 14

RESULTAAT n Voor mechanismen geldt dat de totale virtuele arbeid de arbeid is die wordt verricht door alleen de van buiten op de constructie aangrijpende krachten Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 15

MECHANISMEN ? ? ? n Geen zinvolle constructie n Dat is juist maar ……. arbeid = 0 = M Hans Welleman M Arbeid, energieprincipes alleen M kan arbeid verrichten ! 16

NU MET BELASTING …. . n Totale (virtuele) arbeid moet nul zijn ! F M = M F M eis totale arbeid = 0 ! levert : M Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 17

VOORBEELD : M t. p. v. F F x-as l z-as a b F M Hans Welleman M Arbeid, energieprincipes 18

AANPAK Laat de krachtsgrootheid die je wilt weten (virtuele) arbeid verrichten n Dit kan alleen door de bij de kracht of moment behorende vrijheidsgraad een (virtuele) verplaatsing of rotatie te geven n Hierdoor ontstaat bij S. B. constructies een mechanisme. Alleen de belasting en de gevraagde grootheid verrichten arbeid. (geen vervorming in de constructie) n Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 19

VOORBEELD : AV F AV z-as l a b F AV Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 20

“SMAKEN” VOOR LIGGERS n n n Oplegreacties Dwarskracht Inklemmingmoment Moment Normaalkracht Hans Welleman - neem de oplegging weg - schuifscharnier - telescoop Arbeid, energieprincipes 21

Voorbeeld : vakwerk Horizontale verplaatsing Kracht in staaf DE ? = Rotatie afstand Stap 1: maal maakverticale de tot draaipunt verplaatsingsgrootheid behorende bij N vrij Stap 2: bepaal de virtuele verplaatsingen in het mechanisme Stap 3 : stel de VA vergelijking Nu de arbeid op berekenen … Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 22

Opdracht : Virtuele Arbeid Scharnierligger met q en F last 50 k. N 2, 5 m S example 1. 1, blz 15 5 k. N/m x-as 3, 5 m z-as Gevraagd: Inklemmingsmoment en oplegreactie t. p. v. de roloplegging. Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 23

Arbeid en wederkerigheid 1 : eerst Fa en dan Fb (!) Fa A Fb uba uaa ubb B 2 : eerst Fb en dan Fa (!) uab Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 24

Arbeid is gelijk n Volgorde van belasten is onbelangrijk n Gelijkstellen van arbeid levert: theorema van BETTI Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 25

Wederkerigheid van Maxwell Verplaatsing = invloedsgrootheid x kracht Herschrijf BETTI tot: Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 26

Resultaat Betti - Maxwell Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 27

gegeneraliseerde spanning Vervormingsenergie n Extensie (trek en druk) n Afschuiving n Wringing n Buiging n Normaal- en schuifspanningen Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 28

Extensie * energie per eenheid van staaflengte dx kracht N N toename energie N dx rek d oppervlak (LE) Lineair Elastisch Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 29

Vervormingsenergie n Uitgedrukt in de spanningscomponent EC n Uitgedrukt in de verplaatsingscomponent EV Voor LE geldt : EC = EV Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 30

Overzicht Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 31

Arbeidsmethoden n Arbeid verricht door externe krachten wordt opgeslagen in vervormbare delen d. m. v. vormveranderingsenergie (Clapeyron) n Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 32

Toepassing Clapeyron Gevraagd: Vind een uitdrukking voor de zakking ter plaatse van de puntlast. Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 33

Voorbeeld 2 : Arbeid en energie F A EI B x-as wmax z-as Hans Welleman 0, 5 l Arbeid, energieprincipes 34

Arbeid = Energie ? Onbekende is wmax n Bepaal M-lijn en vervolgens de vormveranderingsenergie (MAPLE) n Stel deze gelijk aan de uitwendige arbeid (Clapeyron) n Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 35

Momentenlijn ? n Basismechanica ? n Neem de halve ligger i. v. m. symmetrie Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 36

Oplossing Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 37

Huiswerkopdracht dunwandig Leid de uitdrukking af voor de vervormingsenergie t. g. v. buiging voor een niet-symmmetrische en/of inhomogene doorsnede. n Controleer je gevonden resultaat met: uy = 2, 00 mm; uz = 5, 33 mm. n Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 38

Oplossing Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 39

Resulaat (willekeurige doorsnede) Als assenstelsel samenvalt met hoofdrichtingen: Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 40

Clapeyron en verdeelde belasting n Arbeid q A w(x) EI B l = zakking x belasting n Vormveranderingsenergie uit M-lijn onbekend, w(x) gemiddelde zakking ? ? n Zakking Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 41

Andere aanpak: Arbeidsmethode met eenheidslast n Breng op de plek waar je de zakking wilt weten eenheidslast aan. n Zakking w en M-lijn M(x) door feitelijke belasting ( b. v. de q-last ) n Zakking w en M-lijn m(x) door eenheidslast ( 1, 0 k. N ) Eerst eenvoudig voorbeeld met een puntlast Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 42

1, 0 k. N Aanpak EI l Breng eenheidslast aan (0. . 1, 0) n Breng belasting aan (0. . F of q) m(x) n Totale arbeid ? n Vervormingsenergie ? n F EI l M(x) (!) Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 43

Resultaat Integraal is product van veelvoorkomende functies. In de “oude” tijd was hiervoor een standaard tabel. Kan nu natuurlijk met MAPLE Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 44

Arbeidsmethode met eenheidslast Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 45

Voorbeeld met verdeelde belasting 1, 0 k. N q EI 0, 5 l Hans Welleman wmax 0, 5 l Arbeid, energieprincipes 46

Aanpak n Bepaal M(x) t. g. v. q (zie boek example 2. 2) n Bepaal m(x) t. g. v. eenheidslast (zie boek example 2. 1) Uitwerken … Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 47

Toepassing A&E Eulerse knik EI, EA F l Fk (-) Fk (+) u Voor uitknikken, alleen extensie u. F Na uitknikken, alleen nog buiging CONCLUSIE : Toename van de arbeid tijdens uitknikken wordt opgeslagen in vervormingsenergie t. g. v. buiging Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 48

Knik (overgang) n Normaalkracht onveranderd n Vervorming door extensie heeft geen invloed DUS n Arbeid door additionele verplaatsing t. g. v. buigen van de staaf is gelijk aan de vervormingsenergie t. g. v. buiging Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 49

Additionele verplaatsing dx w z, w du. F x, u w dx dw Taylorbenadering Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 50

Clapeyron : A = Ev Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 51

Voorbeeld uitwerking boek blz 43 F f l Voldoet aan de kinematische randvoorwaarden n Neem een kinematisch toelaatbare uitbuigingsvorm aan n Werk de integralen uit … Hans Welleman Arbeid, energieprincipes De exacte kniklast is altijd lager dan de berekende kniklast volgens Rayleigh (ONVEILIG) 52

Toepassing, bepaal Fk x, u EI drukstaaf met extra belasting halverwege z, w l Knikfactor Aanpak Rayleigh: - Kies een kinematisch toelaatbaar verplaatsingsveld - Stel de Ev gelijk aan de Auitw β Hans Welleman Arbeid, energieprincipes 53