Leren ontwerpen voor probleemoplossen Jos van den Bergh

Leren ontwerpen voor probleemoplossen Jos van den Bergh Avans Hogeschool Breda Redacteur Ei van Columbus aritmofiel

Uit: AIVD-kerstpuzzel 2015 Een traditioneel begin, incomplete woordreeksen. Makkelijk om in te komen. Welk getal completeert de reeks? KEELKLANK, ENTRECOTE, RESERVOIR, SPITSMUIS, TOERTOCHT, DRUKDOEND, AROMATICA, GOEDGEVIG, EXPRESSIE? Context Reflecteren Oplossing Betekenis geven Uitvoeren Bewerking

Gegevens netjes ordenen K E R S T D A G E E N E P O R R O X E T S I E U O E P L R E T R K M D R K E R S T D A G E L C V M O O T E S A O O U C E I V S N T I I H N C I I K E R S T D A G E en goed kijken…

KERSTDAGEN! 3 × K E R S T D A G E N E P O R R O X E T S I E U O E P L R E T R K M D R K E R S T D A G E N L C V M O O T E S A O O U C E I V S N T I I H N C I I K E R S T D A G E N Welk getal completeert de reeks?

Dus…. K E R S T D A G E N E P O R R O X E E T S I E U O E P G L R E T R K M D R E K E R S T D A G E N L C V M O O T E S T A O O U C E I V S I N T I I H N C I I E K E R S T D A G E N Welk getal completeert de reeks?

Programma • Probleemoplossen • Voorbeelden • Heuristieken • Problemen ontwerpen • Voorbeelden • Ontwerpheuristieken

Problemen die … • het redeneren stimuleren (rups van 100), • het ontdekken van patronen bevorderen (wat is de volgende in de rij? ), • het logisch denken stimuleren (schipper mag ik overvaren? ), • je laten zien wat wiskunde is (dubbelvouwen), • de wiskundige attitude stimuleren (lettersom).

de rups van 100 3 12 15 27 42 Deze rupsenfamilie heeft een bijzondere eigenschap. Zie jij ook welke? Probeer met twee zelf gekozen begingetallen een rups te maken met als laatste getal 100. Hoeveel rupsen zijn er met 100 als laatste getal? Helder Camara, 11 maart 2010

Schipper mag ik overvaren? Een bataljon soldaten trekt ten strijde en moet een rivier oversteken. Het is te gevaarlijk om het zwemmend te doen. De commandant ziet echter een roeibootje varen met twee kinderen erin en beveelt het tweetal naar de kant te komen. In het kleine bootje past één kind en één soldaat, meer niet. Hoe kan de commandant zijn bataljon met behulp van dit bootje veilig naar de overkant krijgen?

De twee kinderen varen samen naar de overkant, één blijft daar, de andere komt terug. Het kind vaart samen met één soldaat over. Het andere kind vaart in zijn eentje terug. Nu is één soldaat aan de overkant en zijn de kinderen ieder aan één kant. Zo zet je alle soldaten over!

Wiskundige attitude • algemeen positieve houding algemeen positieve – plezier in het maken van (wiskundige) opgaven • reflectieve houding reflectieve – steeds het eigen denken onder de loep nemen • onderzoekende houding onderzoekende – nieuwsgierig zijn, willen weten hoe het zit • communicatieve houding communicatieve – samenwerken, wiskundetaal gebruiken • doelgerichte houding doelgerichte – efficiënt en nauwkeurig werken

Naar een ‘problem solving mindset’ • Niet leren van het zoeken van antwoorden, maar wiskunde leren via denkactiviteiten. • Hoe kunnen leerlingen zich ontwikkelen tot probleemoplossers? • Hoe ziet rekenwiskunde-onderwijs eruit daaraan bijdraagt? Phil Daro: ‘against answer getting’ (2014)

Alleen voor… • bovenbouw? • bollebozen? Nee, voor… • alle kinderen • in alle leerjaren, • maar dat vraagt wel veel van de leerkracht op naar de problemen…

Goede problemen … zijn uitdagend, uitdagend zijn op verschillende niveaus op te lossen stimuleren het wiskundig denken zijn verbonden met reguliere leerstof reguliere hebben een oplossing die niet voor de hand ligt • zorgen voor oefening(en) tijdens oplossen oefening(en • te schematiseren • genereren nieuwe producties nieuwe • • • naar Menne (2006)

Achtrondjes Plaats de getallen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 en 8 zodanig in de cirkels dat cirkels die met elkaar verbonden zijn niet twee opeenvolgende getallen bevatten. Hoeveel verschillende manieren zijn er ?

Goed probleem?

Minder goede problemen… • Hebben niet alle kenmerken, bijv. – een oplossing die voor de hand ligt – dagen niet voldoende uit • Je ziet het of je ziet het niet • Zijn te moeilijk – ingewikkeld taalgebruik – (te) complexe wiskundige structuur

Mooi, maar niet zo GOED 192 219 273

Kan het moeilijker?

Wiskundig denken • Jij kunt (leren) wiskundig (te) denken! • Wiskundig denken is te verbeteren door oefening en reflectie • Wiskundig denken wordt gestimuleerd door paradoxen, verbazing en … • dat je vast komt te zitten! • Wiskundig denken vraagt om een sfeer van vragenstellen, uitdagen en reflecteren • Wiskundig denken helpt je jezelf en de wereld om je heen beter te begrijpen een voorbeeld… Mason, Thinking mathematically (1985)

Palindromen met 4 cijfers zijn deelbaar door 11. Denk je dat het waar is? Wat doe je? Zoom in (probeer eens wat): 1221 : 11 = 111 3003 : 11 = 273 6996 : 11 = 636 7557 : 11 = 687 Vast? Wat is het kleinste palindroom? En het op één na kleinste? Dus: 1001, 1111, 1221, 1331, … A man, a plan, a canal: Panama!

Palindromen •

meer wiskundig… Algemene gedaante: 1000 a + 100 b + 10 b + a = 1001 a + 110 b = 11 × 91 a + 11 × 10 b = 11 × (91 a + 10 b) Zoom uit: En hoe zit het met palindromen van 5 of meer cijfers?

Mason e. a. Betekenisverlenen Plannen Zoom in Ik weet • • Lees de vraag zorgvuldig door Maak het specifiek Welke ideeën lijken relevant? Heb je dit al eens eerder gezien? Ik wil weten • • • Classificeer en sorteer de info Pas op voor dubbelzinnigheden Specialise to discover the real question • • • Maak een plaatje, schema, Symboliseer Teken een grafiek • • Berekeningen Denkstappen Logische stappen Past de uitkomst bij de vraag? Reflecteren • • • Op momenten in het oplossingsproces Kan het duidelijker? Kan het korter? Uitbreiden • Kun je het resultaat algemener maken? Kun je het nog anders oplossen? Door de gegevens te variëren Introduceer Uitvoeren STUCK AHA Zoom uit Controleren Terugblikken • •

Verschillende modellen • Pólya – Wat is het probleem? – Wat ga je doen? – Doe het! – Wat deed ik precies? Context Reflecteren Betekenis geven • Drieslagmodel (van Groenestijn 2010) Oplossing Uitvoeren • Beertjes van Meichenbaum • 5 of 6 stappen modellen Bewerking

Heuristieken eurisk uitvinden • Wat is het probleem precies? – – Lees de tekst rustig door. Zeg het probleem nog eens in je eigen woorden. Zeg het probleem op een andere manier. Herinner je je een soortgelijk probleem? • Vereenvoudig je probleem en los het dan op • Bekijk het eens van de andere kant – Blikwisselen – Werk van achter naar voor • Schematiseer, symboliseer, concretiseer, materialiseer • Maak een tekening, schema, tabel, grafiek • Kun je dit probleem generaliseren? Goffree, Wiskunde & didactiek 2 (1991)

Intermezzo • Bekijk de problemen • Scoor ze op kenmerken ‘goed’ probleem op het laatste blad

Hoe ontwerp je GOEDE problemen? PROBLEMEN ONTWERPEN

Een voorspoedig 2016 Maak de optelling kloppend. Elke letter stelt een cijfer voor; verschillende letters zijn verschillende cijfers. 2 A D G 0 B E H 1 C F I 6 + Er is meer dan één correcte oplossing. De winnaar wordt degene die het juiste aantal oplossingen als eerste mailt aan jwm. vandenbergh@avans. nl vóór 31 -12 -2015 23: 59.

dus oplossen… A B C D E F G H I + 2 0 1 6 C + F + I = 6 B + E + H = 11 A + D + G = 19

dus oplossen… A B C D E F G H I + 2 0 1 6 I II IV C + F + I = 6 C + F + I = 16 B + E + H = 11 B + E + H = 21 B + E + H = 10 B + E + H = 20 A + D + G = 19 A + D + G = 18

Alle 16 basisoplossingen 7 6 5 20 9 8 4 1 3 2 1+ 6 8 7 4 20 5 3 2 1 9 6 1+ 6 8 7 4 20 6 5 0 1 3 2 1+ 6 8 7 4 20 6 3 2 1 5 1 0+ 6 8 7 4 20 6 3 1 1 9 5 2+ 6 8 6 5 20 7 4 0 1 3 2 1+ 6 8 6 5 20 7 3 1 1 4 2 0+ 6 8 6 5 20 7 2 1 1 9 4 3+ 6 8 6 4 20 9 7 5 1 3 2 1+ 6 8 7 4 20 9 1 0 1 7 6 3+ 6 9 8 2 20 5 4 1 1 7 6 3+ 6 9 6 4 20 5 3 2 1 8 7 1+ 6 9 7 3 20 5 4 1 1 8 6 2+ 6 9 8 2 20 6 3 1 1 7 5 4+ 6 9 6 4 20 7 2 1 1 8 5 3+ 6 9 5 4 20 8 7 6 1 3 2 1+ 6

Is het een goed probleem? ü Uitdagend: Je kunt er zo aan beginnen o Op verschillende niveaus op te lossen: Vooral trial and error ü Verbinding met de reguliere leerstof: cijferend optellen ü Oplossing ligt niet voor de hand: Je moet veel proberen ü Genereert weer nieuwe producties: Ja, kan elk jaar o Wiskundige structuur te ontdekken: Nee ü Oefenen tijdens oplossen: R 20 ü Schematiseren: Systematisch werken helpt oplossingen te vinden, onmisbaar

Hoe ontwerp je GOEDE problemen? PROBLEMEN ONTWERPEN

Tovervierkanten 3 bij 3 • Tovervierkant 1 • Tovervierkant 2 • 12 varianten

optelregels

gemiddelde-regels

Is dit een goed probleem? Nog DOEN!

Ervaringen met sterke rekenaars • Sommige (plus)leerlingen • Hoe komt dat? – schrijven niets op – haken snel af Bron: VB 24 -2 ‘Alles of niets’ – opschrijven is niet de gewoonte – niet vaak genoeg uitgedaagd

Ontwerpheuristieken Is het een goed probleem? Daagt het uit tot onderzoek? Zorgt voor probleemoplossend oefenen Vraag steeds om de gedachten te noteren Doe het met enige regelmaat (in elke groep) Maak van een bestaande opgave een open probleem (zie Van Galen en Oosterwaal in VB 27 -2) • Benut de diverse bronnen • • •

In elke groep • • • Groep 3 Groep 4 Groep 5 Groep 6 Groep 7 Groep 8 • • • Vierkubers Magisch vierkant Wolf, geit en kool Raad mijn getal Graankorrels Touwtje om de aarde

Bronnen • • Ei van Columbus in Volgens Bartjens jrg 20 -35 Rekenkalender 2012, 2013 Junior Olympiade Kangoeroe Rekenbeter Pythagoras …

Enkele ontwerpideeën 1. 8 blokjes 2. munten pakken • Kies een van de voorbeeldproblemen of een van de volgende problemen of een eigen probleem • Ga na of het een goed probleem is • Hoe maak je hier onderwijs van? Gebruik trefwoorden. • Noteer je ideeën en vul je emailadres in om ook alle andere ontwerpen te ontvangen

8 blokjes Hoeveel kubussen kun je maken met deze 8 blokjes, waarbij elk zijvlak vier verschillende kleuren heeft?

8 blokjes = Dus er is maar één oplossing.

27 blokjes Hoeveel kubussen kun je maken met deze 27 blokjes, waarbij elk zijvlak drie verschillende kleuren heeft?

Verschillend of niet?

Wie het eerst bij 20 is Om het meer geschikt te maken voor groep 3: • Doe 20 munten in een pot en één gouden munt. • Je spelt het spel met zijn tweeën, om de beurt. • Als je aan de beurt bent, mag je 1 of 2 munten pakken. Je mag geen beurt overslaan. • Je mag alleen de gouden munt pakken als er geen enkele andere munt meer in de pot is. • Wie de gouden munt pakt is winnaar. • Wie begint kan altijd winnen; weet jij hoe?

Variëren • Wijzig 20 munten in 31. • Wijzig de regel dat je 1 of 2 munten mag pakken in 1, 2, 3, 4 of 5 • Doe het op papier door op te tellen tot 31.