LEM TANIM A ve A B olsun Her
İŞLEM TANIM : A ve A B olsun. Her, f: AXA B fonksiyonuna, A da bir ikili işlem veya işlem denir. İşlemi tanımlarken; “ , , � , O , , . . . ” gibi semboller kullanılır. A X A B ye “*” işlemi verildiğinde , her (x, y) AXA sıralı çifti, bir tek Z B ye eşlenecektir. Bunu (x, y) x * y = z biçiminde gösterir, “x işlem y eşit z “ diye okuruz.
ÖRNEK A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesi verilsin x, y A için x*y = x. y+2 işlemi veriliyor. “*” işlemine göre 0 * 1 = ? , 1*2 = ? , 3 * 3 = ? , 3*4 = ? ikililerinin sonuçlarını bulunuz. ÇÖZÜM: 0*1 = 0. 1 + 2 = 2 1*2 = 1. 2 + 2 = 4 3*3 = 3. 3 + 2 = 11 3*4 = 3. 4 + 2 = 14
ÖRNEK A= { -1, 0, 1, 2 } veriliyor. A x A nın B= { (-1, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, -1), (1, 0) } alt kümesini alalım. *: B A , x * y = x + y + 1 işlemi tanımlanıyor. A) İşlemi şema ile gösteriniz. B) İşlemi tablo ile gösteriniz.
Çözüm: A) Önce * işlemi altında B ’ nin her elemanının görüntüsünü bulalım: A B Ax. A * (-1) = (-1) + 1 = -1 (-1) * 0 = (-1) + 0 + 1 = 0 0 * (-1) = 0 + (-1) + 1 = 0 1 * (-1) = 1 + (-1) + 1 = 1 1*0 = 1+0+1=2 ( -1, -1 ) ( -1, 0 ) ( 0, -1 ) ( -1, -1 ) ( 1, 0 ) -1 0 1 2
B) Tabloyu hazırlarken A kümesinin elemanlarını sırasıyla birinci satır ve birinci sütun olarak yazarız. İşlemde (-1) * 0 = 0 olduğunu tabloda şöyle işaretleriz: Birinci bileşen olan (-1) in bulunduğu satır ile ikinci bileşen olan 0 ın bulunduğu sütunun kesiştiği yere 0 yazarız. Yani, x * y =z ise, x elemanının bulunduğu satır ile y elemanının bulunduğu sütunun kesim yerine z yazılır.
İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ 1. KAPALILIK ÖZELLİĞİ: A kümesi üzerinde tanımlanan bir * işlemi verilsin. x, y A için , x*y A ise A kümesi “*” işlemine göre kapalidır denir. . 2. DEĞİŞME ÖZELLİĞİ: A kümesi üzerinde tanımlanan bir “*” işlemi verilsin. x, y A için , x*y = y*x oluyorsa ; “*” işleminin değişme özelliği vardır denir. .
İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ 3. BİRLEŞME ÖZELLİĞİ: A kümesi üzerinde tanımlanan bir “ * ” işlemi verilsin. x , y , z A için , ( x * y ) * z = x * ( y * z ) oluyorsa * işleminin birleşme özelliği vardır denir. . 4. DAĞILMA ÖZELLİĞİ: A kümesi üzerinde tanımlanan iki işlem * ve olsun. x, y , z A için , x * ( y z ) = ( x * y ) (x * z ) ve ( y z )*x = ( y * x ) (z*x) oluyorsa “ * ”işleminin “ ”işlemi üzerine soldan ve sağdan dağılma özelliği vardır denir. .
İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ 5. BİRİM ( ETKİSİZ ) ELEMAN ÖZELLİĞİ: A kümesi üzerinde bir “*” işlemi tanımlansın. x A için, x * e = e * x = x koşulunu gerçekleyen bir e A varsa; e ye “ * “ işleminin birim (etkisiz)elemanı denir. . . 6. BİR ELEMANIN TERSİ: A kümesi üzerinde tanımlanan “* ” işleminin birim elemanı e olmak üzere , x A için, x * y = y * x = e koşulunu gerçekleyen bir y A varsa, y ye “* ” işlemine göre x in tersi denir ve y= x-1 biçiminde gösterilir.
ÖRNEK Reel sayılar kümesinde tanımlanan, “ x y = xy + y ” işleminin birim elemanını ( varsa ) bulunuz. Çözüm: 1. YOL : işleminin birim elemanı (e) varsa; a R için. a e = e a = a olmalıdır. a e = ae + e e a = ea + a olduğundan a e e a dır. işleminin değişme özelliği olmadığından, birim elemanını bulamayız.
2. YOL: işleminin birim elemanı (e) varsa, a R için. a e = a olmalıdır. O halde, a e = a ae + e = a e (a+1) = a e= a a+1 e= a dir. a+1 ifadesinde, a ya vereceğimiz her farklı değer için, farklı bir e bulunur. Ayrıca , a = -1 için , e tanımsızdır. Bir işlemin birim elemanı varsa, en çok bir tane olacağından, reel sayılar kümesinde tanımlanan * işleminin birim elemanı yoktur.
ÖRNEK ÇÖZÜM Rasyonel sayılar kümesinde, x y=x+y+ xy işlemi tanimlanıyor. Bu işleme göre, 5 in tersini bulunuz. Önce “ ”işleminin birim elemanını bulalım. ” ”işleminin değişme özelliği oldugundan, sagdan birim elemanı bulmak yeterlidir. a -1 ve a Q için, a e=a olmalıdır. a +e +ea=a e (1+a)=0 e= 0/1+a e=0 dır. “ ”işleminin birim elemanı 0 dır. Şimdi, işlemine göre, 5 in tersini bulalım. ( 5 -1=y olsun. )
Şimdi, işlemine göre, 5 in tersini bulalım. ( 5 -1=y olsun. ) 5 y=e olmalıdır. 5+y+5 y=0 6 y = -5 y= -5/6 dır. “ ”işlemine göre, 5 in tersi -5/6 dır.
ÖRNEK A={a, b, c, d, e} kümesi üzerinde tanımlanan“ ” işlemi alttaki tablo ile veriliyor. “ ” işleminin “ birim “ elemanını bulalım. ÇÖZÜM a b=a, b d=b, c d=c, d d=d, e d = e olduğundan “ “ işleminin birim elemanı d dir. UYARI Tablodan birim elemanı bulurken; değişmeyen satır ile değişmeyen sütunun kesiştiği elemanı, birim eleman olarak alırız
ÖRNEK Tabloda , A = { x , y , z , t } kümesi üzerinde bir “ • ”işlemitanımlanıyor, “ • ” işlemine göre, A kümesindeki elemanların tersini bulunuz ;
Çözüm: “ • ” işleminin birim elemanı x tir. Şimdi elemanların tersini bulalım. x • x = x olduğundan , x -1 = x y • t = x olduğundan , y -1 = t z • z = x olduğundan , z -1 = z t • y = x olduğundan , t -1 = y dir.
- Slides: 15