Lekcia 8 Pravdepodobnos a rozdelenie pravdepodobnosti 1 OBSAH

Lekcia 8 Pravdepodobnosť a rozdelenie pravdepodobnosti 1

OBSAH: 8. 0. Úvod 8. 1. Pravdepodobnosť 8. 2. Rozdelenie pravdepodobnosti v štatistike 8. 3. Záver 8. 4. Kontrolné otázky Zoznam použitej literatúry 2

Kľúčové slová: - pravdepodobnosť, - rozdelenie pravdepodobnosti. Účel kapitoly: Účelom kapitoly je získanie základných vedomostí, ktoré sú pod pojmom pravdepodobnosť. Oboznámenie o správnom rozdelení a použití pravdepodobnosti. Cieľ kapitoly: Po preštudovaní tejto kapitoly by mal študent pochopiť význam pojmu pravdepodobnosť a rozdelenie pravdepodobnosti a získané schopnosti bude vedieť využiť pri tvorbe štatistického projektu. 3

8. 0. ÚVOD Pod pojmom pravdepodobnosť si predstavujeme určitú istotu alebo neistotu javu, ktorý môže nastať. Táto kapitola je svojím obsahom zameraná na vysvetlenie pojmu pravdepodobnosť z rôznych pohľadov. Následne je zameraná na náhodné veličiny, ktoré sú zhrnuté v druhej kapitole a to rozdelenie pravdepodobnosti. 4

8. 1. Pravdepodobnosť je hodnota vyčíslujúca istotu resp. neistotu výskytu určitej udalosti. Pravdepodobnostné hodnoty nadobúdajú náhodné premeny. Príbuzným pojmom k pravdepodobnosti je pojem šanca, ktorý vyjadruje pomer relatívnej početnosti výskytu priaznivých a nepriaznivých prípadov – zatiaľ čo pravdepodobnosť padnutia mince na lícnu stranu je 0, 5, šanca je 1: 1. Pravdepodobnosť ma viacej ekvivalentných definícií. Pravdepodobnosťou sa zaoberá a skúma ju teória pravdepodobnosti. 5

8. 1. Pravdepodobnosť Definícia: Definícia Teória pravdepodobnosti je odvetvie matematiky, ktoré umožňuje podľa pravdepodobnosti náhodných udalostí nájsť iné náhodné udalostí, ktoré nejakým spôsobom súvisia s prvými. Definícia: Intuitívne laické chápanie pravdepodobnosti je spojené s každou ľudskou činnosťou. Hovoríme napríklad o počasí (na 100% bude pršať) alebo šanci, že stihneme autobus MHD. 6

8. 1. Pravdepodobnosť Príklad: Pri hode nepoškodenou mincou z dostatočnej výšky na rovnú pevnú plochu existuje rovnaká možnosť, že padne ktorákoľvek z oboch strán mince. Rovnaký predpoklad platí ak sa tento experiment za rovnakých podmienok opakuje. V tomto prípade sa rovnaká možnosť padnutia každej strany prejaví rovnakou absolútnou i relatívnou početnosťou padnutia každej strany mince. Očakávame, že pri rastúcom počte pokusov sa početnosť ustáli na hodnote 0, 5. Hod mincou mnohokrát opakujeme a do grafu vnášame pomer medzi počtom hláv a počtom hodov. Relatívna početnosť = počet hláv / počet hodov Obr. 1 Pomer medzi počtom hláv a počtom hodov 7

8. 1. Pravdepodobnosť Klasická definícia pravdepodobnosti Definícia: Pravdepodobnosť = počet relevantných prípadov/počet všetkých možných prípadov. Štatistická definícia pravdepodobnosti Definícia: Pravdepodobnosť = číslo (presnejšie limita), ku ktorej sa pri mnohonásobnom opakovaní pokusov blíži relatívna frekvencia javu. Pravdepodobnosť ako miera dôvery Definícia: Pravdepodobnosť je číslo medzi 0 a 1, ktoré je mierou pre našu vieru v realizáciu. Axiomatická definícia Definícia: Pravdepodobnosť P(A) náhodnej udalosti A je v tomto prípade reálna funkcia, ktorá každej náhodnej udalosti A priradí určité číslo P(A), 8

8. 2. Rozdelenie pravdepodobnosti v štatistike Jednou z úloh štatistiky je odhad (výpočet) hodnôt štatistického znaku xi, ktoré sa nachádzajú: Ø medzi hodnotami získanými štatistickým zisťovaním, Ø nachádzajú sa mimo variačného rozpätia Rv. Takáto úloha je typická v prípadoch keby bolo skúmanie všetkých štatistických jednotiek zdĺhavé, neekonomické alebo fyzicky nemožné. 9

8. 2. Rozdelenie pravdepodobnosti v štatistike Vymedzenie hraníc mesačných príjmov [Čk] Stred trieda k xd-xh 1. 2. 3. 4. 5. 6. SUMA do 20) <20; 25) <25; 30) <30; 35) <35; 40) <40 a viac x Trieda Absolútna početnosť Relatívna početnosť xi ni 17, 5 22, 5 27, 5 32, 5 37, 5 42, 5 x 12 32 20 8 6 2 80 Kumulatívna početnosť absolútna relatívna [%] pi kni kpi 0, 15 0, 40 0, 25 0, 10 0, 08 0, 02 1, 00 12 44 64 72 78 80 x 0, 15 0, 55 0, 80 0, 98 1, 00 x Tab. 1 Skupinové triedenie mesačných príjmov 80 rodín Úlohami môžu byť v tomto prípade: Ø odhad relatívnej početnosti pre príjem 10 000 Kč alebo 50 000 Kč na jednej alebo druhej strane otvorených intervalov, Ø odhad počtu rodín a ich príjmov vyskytujúcich sa s relatívnou početnosťou na úrovni 0, 50. 10

8. 2. Rozdelenie pravdepodobnosti v štatistike Najjednoduchšou možnosťou by bolo vykonať aproximáciu pre najbližšie sa vyskytujúce hodnota zľava a sprava. Lepšie riešenie vychádza zo štatistickej definície pravdepodobnosti, ktorá považuje relatívnu početnosť pi zároveň za pravdepodobnosť výskytu príslušnej hodnoty štatistického znaku. Riešenie tejto úlohy spočíva v hľadaní takých funkcií, ktoré by dokázali s dostatočnou presnosťou popísať priebeh relatívnej početnosti hodnôt štatistického znaku. Jedná sa o nájdenie tzv. rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej, ktorou je výskyt hodnôt štatistického znaku. Obr. 2 Prechod od histogramu relatívnej početnosti k frekvenčnej funkcii 11

8. 2. Rozdelenie pravdepodobnosti v štatistike Definícia: Náhodná veličina je taká veličina, ktorá vplyvom náhodných okolností nadobúda vždy jeden z množstva možných znakov. Pravdepodobnostné chovanie náhodných veličín je možné opísať: Ø popis frekvenčnej funkcie alebo funkcie pravdepodobnosti, ktorých tvar podáva obraz o dôležitých vlastnostiach rozdelenia, Ø popis distribučnej funkcie. Obe spôsoby charakterizujú rozdelenie náhodných veličín úplne, teda napríklad pokiaľ majú dve veličiny rovnaké distribučné funkcie, majú aj rovnaké rozdelenie. 12

8. 2. Rozdelenie pravdepodobnosti v štatistike Definícia: Spojitá náhodná veličina môže byť ľubovoľnej náhodnej hodnoty. Definícia: Diskrétna veličina nadobúda iba izolované hodnoty. Pre diskrétne náhodnú veličinu je typická izolovanosť jej hodnôt. Táto veličina dokonca často nadobúda hodnoty z odboru celých alebo prirodzených čísel ( počet chybných výrobkov vo výrobnej sérii, počet porúch zariadení v určitom časovom intervalu a i. ). 13

8. 2. Rozdelenie pravdepodobnosti v štatistike 14

8. 2. Rozdelenie pravdepodobnosti v štatistike Príklad: Považujme za diskrétne náhodnú veličinu počet detí zistených v skúmanej vzorky rodín. Na základe vykonaného štatistického šetrenia sme získali zjednodušenú frekvenčný tabuľku a hodnoty frekvenčnej funkcie. Tab. 3 Rozdelenie pravdepodobnosti výskytu počtu detí v rodine Počet detí 0 1 2 3 4 Relatívna početnosť = 0, 411 0, 0081 0, 0756 0, 2646 0, 2401 pravdepodobno 6 sť p(x) Celkom 1 Obr. 3 Rozdelenie pravdepodobnosti výskytu počtu detí v rodine 15

8. 2. Rozdelenie pravdepodobnosti v štatistike 16

8. 2. Rozdelenie pravdepodobnosti v štatistike Tab. 3 Pravdepodobnosť počtu detí v rodine Počet detí x 0 1 2 3 4 Relatívna početnosť= pravdepodobnosť P(x) 0, 0081 0, 0756 0, 2646 0, 4116 0, 2401 Kumulatívna relatívna početnosť = súčtová pravdepodobnosť F(x) 0, 0081 0, 0837 0, 3483 0, 7599 1 Obr. 4 Distribučná funkcia pre pravdepodobnosť počtu detí v rodine 17

8. 3. ZÁVER V tejto kapitole sme sa snažili o priblíženie základných poznatkov z oblasti pravdepodobnosti a rozdelenia pravdepodobnosti. V prvej časti kapitoly bol definovaný a rozobratý pojem pravdepodobnosť. Pravdepodobnosť je zadefinovaná z hľadiska Klasickej definície pravdepodobnosti, štatistickej definície pravdepodobnosti, pravdepodobnosti ako miery dôvery a axiomatická definícia. Druhá časť kapitoly bola zameraná na rozdelenie pravdepodobnosti. Súčasťou tejto kapitoly bolo definovanie náhodnej veličiny, spojitej a diskrétnej a následné uvedenie príkladov. 18

8. 4. Kontrolné otázky 1. 2. 3. 4. 5. Čo je to pravdepodobnosť? Definujte náhodnú veličinu. Definujte distribučnú funkciu. Uveďte príklad rozdelenia pravdepodobnosti. Načrtnite pravdepodobnostný model normálneho rozdelenia a uveďte príklad. 6. Definujte definičný obor pravdepodobnosti. 7. Definujte rozdiely medzi relatívnou a kumulatívnou početnosťou. 19

Zoznam použitej literatúry [1] SIPKOVÁ, L´, SODOMOVÁ, E. , Modelovanie kvantilovými funkciami, Bratislava: Ekonom, pp. 175, 2007. [2] Statistical office of the Slovak Republic, Statistical Yearbook of the regions of Slovakia 2013, [on line]. [cit. 2014 -7 -18], Dostupné na: http: //slovak. statistics. sk/ [3] LÁMOŠ, F. , POTOCKÝ, R. , Pravdepodobnosť a matematická štatistika, Bratislava: Vydavatelstvo UK, pp. 125 -127, 1998. [4] BOLAND, P. J. 2007. Statistical and Probabilistic Methods in Actuarial Science. London : Chapman&Hall/CRC, 2007. 351 s. ISBN 1 -58488 -695 -1. [5] CIPRA, T. 2006. Pojistná matematika: teorie a praxe. Praha : Ekopress, 2006. 411 s. ISBN 80 -86929 -11 -6. 20

[6] HAVIERNIKOVÁ, K. 2014. The analysis of industrial branches in the Trencin region suitable for the cluster creation. In: Metal 2014 : 23 rd international conference on metallurgy and materials. - Ostrava : Tanger, 2014. - ISBN 978 -80 -87294 -52 -9. - [6 s], CD ROM. Accession Number: WOS: 000350641700280. [7] STATGRAPHICS: Software Statgraphics Centurion XVII. 2014. [Online]. [Cit. 10 May 2015]. Available at: http: //info. statgraphics. com/statgraphics-home. [8] ŠOLTÉS, E. 2015. Štatistické metódy pre ekonómov – zbierka príkladov. Vydavateľ Wolters Kluwer, 2015, 352 s. ISBN 978 -80 -8168234 -6. [9] VOSE, D. : Risk Analysis – A quantitative Guide. New York : John Wiley & Sons. 2008. ISBN 978 -0 -470 -51284 -5. [10] YIU-KUEN TSE. 2009. Nonlife Actuarial Models – Theory, Methods and Evaluation. Cambridge University Press , 2009, 50 -53 s. ISBN 21 978 -0 -521 -76465 -0.