Leggiamo la realt attraverso la statistica VARIABILIT Scuola

Leggiamo la realtà attraverso la statistica! VARIABILITÀ Scuola Secondaria 1°grado; Argomento: Leggiamo - Variabilità; (30. 09. 13); Pacchetto: S 1. A. 4

VARIABILITA' 1) 2) 3) 4) Che cos’è la VARIABILITA’? Ma come si misura la variabilità? La variabilità come misura di distanza da un centro 5) Varianza 6) Scarto quadratico medio (o deviazione standard) 7) Indici di variabilità relativi

Che cos’è la VARIABILITA’? E’ l’attitudine di un fenomeno ad assumere modalità diverse nelle unità statistiche del collettivo La variabilità è tanto maggiore quanto sono più grandi le differenze che i singoli casi individuali presentano tra loro Gli indici di tendenza centrale, come la media, la mediana o la moda, non ci informano su come le unità tendono ad assumere misure diverse l’una dall’altra 3

Basta la media per rappresentare i dati? Siamo alla fine del quadrimestre, per valutare l’andamento calcoliamo le medie dei voti in matematica, ecco i voti di tre studenti ottenuti MARCO LUCA LUIGI 6 6 4 5 6 7 6 6 6 4 8 8 MEDIA=6 Gli studenti hanno la stessa media ma i voti sono molto …DIFFERENTI 4

Ma come si misura la variabilità? La media non è informativa della variabilità dei dati, dobbiamo utilizzare un INDICE DI VARIABILITA’ Consideriamo che ogni pallino sia un unità statistica… 5

La variabilità come misura di distanza La variabilità aumenta all’aumentare della distanza tra le osservazioni. RANGE o CAMPO DI VARIAZIONE=MAX-min È lo strumento più semplice perché considera la posizione solamente di due unità statistiche è la differenza tra il massimo e il minimo osservato! 6

Tra i nostri studenti chi è il più variabile? Proviamo a calcolare subito il RANGE, prendendo il massimo e sottraendo ad esso il minimo osservato MARCO LUCA LUIGI 6 6 4 5 6 7 RANGE=7 -5=2 6 6 6 RANGE=6 -6=0 4 8 8 RANGE=8 -4=4 Luigi è il più variabile, mentre Luca non varia! 7

Il RANGE è una misura immediata ma… È sensibile, tiene conto solo dei valori estremi i quali possono essere influenzati da valori eccezionali e anormali, mentre prescinde da tutti gli altri valori osservati Una misura più adeguata deve TENER CONTO DI TUTTE LE UNITA’ STATISTICHE! Ma considerare tutte le possibili differenze tra tutte le unità statistiche … è troppo laborioso! Una soluzione è… 8

La variabilità come misura di distanza da un centro Un indice di variabilità più adeguato può essere dunque pensato come misura della distanza di ogni osservazione dalla media dei dati La variabilità aumenta all’aumentare della distanza tra le osservazioni e il centro delle osservazioni 9

Proviamo a costruire un indice di variabilità! Per misurare la distanza da ogni osservazione dalla media possiamo utilizzare l’operazione differenza!! Formalizziamo i nostri dati X indichiamo il fenomeno studiato (variabile statistica) x 1, x 2, x 3, …, xi, …, xn i valori osservati nelle n unità statistiche è la media aritmetica degli n valori osservati x 1 x 8 x 2 M x 8 x 7 10 x 3 x 6 x 5 x 4

Scarti o differenze dalla media Ma quale operazione matematica mi permette di misurare una distanza tra due valori osservati? La differenza! Se prendiamo tutte le differenze (chiamate anche SCARTI) e ne facciamo la somma otteniamo però… La media aritmetica è il punto di equilibrio dei dati, il valore della media bilancia i valori più bassi e quelli più alti, proprio per questa proprietà la somma degli scarti dalla media è NULLA.

I minimi quadrati!!! Tra le proprietà della media aritmetica potremo sfruttare quella denominata dei minimi quadrati, che afferma che La somma dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica è il Minimo della somma degli scarti da qualunque altro valore

La somma dei quadrati degli scarti… ü E’ sempre maggiore di zero ü E’ uguale a zero solo se la variabile non varia ü Aumenta all’aumentare della dispersione delle osservazioni dalla media üAumenta anche all’aumentare del numero delle osservazioni (n) üE’ espressa nel quadrato dell’unità di misura della variabile

Varianza Dividendo per n la somma degli scarti al quadrato, per eliminare l’effetto dovuto alla numerosità delle osservazioni Si ottiene la VARIANZA e viene generalmente indicato con s 2 (“sigma quadrato”) Per ottenere un indice di variabilità espresso nella stessa unità di misura dei dati osservati dobbiamo estrarre la radice quadrata della varianza! 14

Scarto quadratico medio (deviazione standard) La varianza è espressa nel quadrato dell’unità di misura della variabile osservata, quindi il suo valore non è di immediata interpretazione. Si usa più comunemente lo scarto quadratico medio (s. q. m. ) Proprietà: üStessa unità di misura del carattere üDefinisce la distanza media delle osservazioni dalla media aritmetica Se n osservazioni x 1, x 2, …, xn la formula è

Proviamo a fare i calcoli per Marco Nel caso di dati in SERIE Voti di MARCO Totale Scarti dalla media 6 5 6 7 24 (6 -6)=0 (5 -6)=-1 (6 -6)=0 (7 -6)=1 0 Varianza s. q. m. Quadrati degli scarti 0 1 2 0, 5 0, 71

Adesso anche per Luca e Luigi! Voti di LUCA Scarti dalla media 6 6 24 Quadrati degli scarti 0 0 0 Varianza s. q. m. 0 0 0 0 Voti di LUIGI 4 4 8 8 24 Scarti dalla media Quadrati degli scarti (4 -6)=-2 (8 -6)=2 0 Varianza s. q. m. Luigi è il più variabile, confermiamo quanto già evidenziato dal RANGE! 4 4 16 4 2

Scarto quadratico medio (o deviazione standard) Se dati sono sintetizzati in tabelle di frequenza, ogni scarto va pesato con la rispettiva frequenza assoluta Con i dati dei tre studenti costruiamo una tabella di frequenza e calcoliamo media e scarto quadratico medio, in totale avremo n=12 osservazioni

Esercitiamoci con i dati in tabella! 4 5 6 7 8 totale 19 2 1 6 1 2 12 8 5 36 7 16 72 4 1 0 1 4 10 8 1 0 1 8 18

Indici di variabilità Misurano la variabilità di un fenomeno, variabile, distribuzione. Si distinguono in: q Indici assoluti espressi nella stessa unità di misura del fenomeno in esame: ü campo di variazione o range ü scarto quadratico medio … • Indici relativi che prescindono dall’unità di misura, per cui sono adatti per confrontare fenomeni diversi. Si ottengono rapportando un indice assoluto ad una media o al suo massimo. Sono numeri puri, senza unità di misura.

Indici di variabilità relativi •

Indici di variabilità relativi Permettono il confronto fra la variabilità Di distribuzioni di caratteri espressi in unità di misura diverse (es. peso e altezze) Di distribuzione di caratteri espressi nella stessa unità di misura ma influenzati dall’intensità diversa dello stesso fenomeno (es. peso dei neonati e peso delle mamme) Il più noto è il coefficiente di variazione

Marco si confronta con suo fratello! Suo fratello frequenta l’università e nell’ultimo semestre ha preso i seguenti voti espressi in trentesimi. Voti del fratello di Marco 23 Scarti dalla media Quadrati degli scarti 25 (25 -22)=3 9 20 (20 -22)=-2 4 22 (22 -22)=0 0 21 (21 -22)=-1 1 88 0 14

Riassumiamo tutto in una tabella! Chi presenta maggiore variabilità ? Indice M Fratello di Marco 6 22 0, 5 3, 5 0, 7 1, 9 11, 8% 8, 6% Il più variabile è chi presenta il valore più alto del coefficiente di variabilità: Marco! 24

Proviamo con i dati reali! Quale delle tre variabili produzione di frumento, di riso, o di granoturco è più variabile? Produzione di alcuni tipi di cereali - Anni 1921 -2011 (quintali per ettaro) Frumento 120 Riso Granoturco La produzione di granoturco presenta il maggior campo di variazione, viceversa la produzione di frumento è la meno variabile! 100 80 60 40 2011 2008 2005 2002 1999 1996 1993 1990 1987 1984 1981 1978 1975 1972 1969 1966 1963 1960 1957 1954 1951 1948 1945 1942 1939 1936 1933 1930 1927 1924 0 1921 20 Fonte: Ministero di agricoltura, industria e commercio (fino al 1923); Istituto di economia e statistica agraria (anni 1924 -1926); Istat, Stima delle superfici e produzioni delle coltivazioni agrarie, floricole e delle piante intere da vaso (dal 1927)

…e adesso… buon lavoro! Rete per la promozione della cultura statistica