LECTURA 2 Seales y Sistemas Instructor Humberto de

LECTURA 2 Señales y Sistemas Instructor: Humberto de J. Ochoa Domínguez Universidad Autónoma de Ciudad Juárez hochoa@uacj. mx

TRANS ………… QUEEEEE?

TRANS ………… QUEEEEE? Existen muchas transformaciones las cuales se utilizan para obtener información que no esta disponible en el tiempo. La transformación mas popular es la de Fourier. Magnitud de la transformada de Fourier de la suma de las tres funciones anteriores

TRANS ………… QUEEEEE? PERO CUIDADO, SI ENCUENTRAS UNA SENAL ASI, ALEJALA DE FOURIER INMEDIATAMENTE Y CUENTASELO A QUIEN MAS SEPA DE TRANSFORMACIONES.

Funciones periódicas Para n= 0, 1, 2…. . T es el periodo Para señales seno o coseno Esto es O sea que la amplitud se repite cada 360º

Funciones pares e impares Función par Ejemplo Función impar Ejemplo

Funciones pares e impares De acuerdo con lo anterior una señal par y una impar pueden ser expresadas de la siguiente forma. Por lo tanto, cualquier señal, sea par, impar o incluso que no pertenezca a ninguno de estos dos grupos, puede ser expresada en forma de suma de una señal par y una impar. Entonces

Producto punto y ortogonalidad Producto punto Ortogonalidad

Producto punto y ortogonalidad Asumimos: Sabemos que: Entonces: De igual forma

Producto punto y ortogonalidad Luego tenemos También

Producto punto y ortogonalidad Quiere decir que yo puedo definir También La T. F. es compleja, o sea es de la forma de a+jb Lo que da como resultado la transformada de Fourier. Este producto interno descompone la señal f(t) en senos y cosenos. Dicho de otra forma, la ortogonalidad de la transformada permite detectar el contenido frecuencial de la Senal f(t).

El operador J en la transformada de Fourier Pero como la parte REAL y la parte IMAGINARIA de la señal pueden tomar cualquier valor esto nos sirve para conocer el ángulo de fase o arranque de la señal

En general Se dice que el conjunto de funciones para n = 1, 2, 3, …. es un conjunto de funciones ortogonal en el ontervalo (0, L). O sea: La norma cuadrada es cuando las dos funciones son iguales Entonces:

Cómo se visualiza el producto punto y la ortogonalidad Producto punto

Visualización fasorial de la transformada de Fourier de f(t) Real (+) Imaginaria (+) F(ω) ω rads/sec Imaginaria (-) Real (-)

Series de Fourier § Las series de Fourier se aplican a señales periódicas. Fueros descubiertas por el matemático francés Joseph Fourier en 1807. § Con el uso de las series de Fourier, “una señal periódica que satisface ciertas condiciones, puede ser expandida a una suma infinita de funciones seno y coseno. ”

Series de Fourier Tiempo Continuo Considere una señal periódica real de tiempo x(t), con periodo T De el teorema de Fourier, bajo ciertas circunstancias, la forma trigonométrica con coeficientes reales de la serie de Fourier, está dada por: Frecuencia angular 0=2 /T

Obtención de los coeficientes § En estas integrales n 0 es un parámetro, los coeficientes an y bn están en función de n 0, es decir an = an (n 0) y bn = bn (n 0).

Obtención de los coeficientes § Debido a la periodicidad, es más conveniente utilizar los límites de integración de t=0 a t=T. note que el coeficiente a 0/2 da el valor promedio de x(t) en el intervalo de un periodo, es decir:

Armónicos En la fórmula de expansión de la serie de Fourier, n=1 define el armónico fundamental, n=2 da el segundo armónico, etc. Una señal senoidal de frecuencia angular n 0, se llama el armónico n. Para muchos coeficientes reales an y bn decaen muy rápido a cero a medida que n incrementa, por esto, las señales pueden ser aproximadas por la serie truncada de Fourier Donde N es el número de armónicos incluidos en la aproximación.

Cálculo de los coeficientes de la Serie Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la siguiente función de periodo T: 1 f(t) t . . . -T/ 2 0 -1 T/ 2 Solución: La expresión para f(t) en –T/2<t<T/2 es

Cálculo de los coeficientes de la Serie Coeficientes an:

Cálculo de los coeficientes de la Serie Coeficiente a 0:

Cálculo de los coeficientes de la Serie Coeficientes bn:

Cálculo de los coeficientes de la Serie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourier queda como En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para 0=p, es decir, T=2:

Cálculo de los coeficientes de la Serie 1. 5 Componentes de la Serie de Fourier Componentes 1 0. 5 0 -0. 5 Suma fundamental tercer armónico quinto armónico septimo armónico -1 -1. 5 -1 -0. 5 0 t 0. 5 1

Espectros de Frecuencia Discreta El espectro de amplitud se muestra a continuación 0. 7 Espectro de Amplitud de f(t) Cn 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0 -30 -20 -10 0 n 10 20 Frecuencia negativa ? Frecuencia Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia, armónico = múltiplo de 0). 30 (n=número de

De la Serie a la Transformada de Fourier Si el periodo del tren de pulsos aumenta: 1. 5 p=1, T=2 f(t) 1 0. 5 0 -20 -10 1. 5 t 0 10 20 p=1, T=5 f(t) 1 0. 5 0 -20 -10 0 t 1. 5 p=1, T=10 f(t) 1 0. 5 0 -20 -10 1. 5 t 10 20 0 t 10 20 p=1, T=20 1 f(t) 0 0. 5 0 -20 -10

De la Serie a la Transformada de Fourier En el límite cuando T , la función deja de ser periódica: 1. 5 p=1, T= f(t) 1 0. 5 0 -20 -10 0 t 10 20 ¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de Fourier?

De la Serie a la Transformada de Fourier 0. 6 cn p=1, T=2 0. 4 0. 2 0 -0. 2 -50 0 =n 0 50 0. 3 p=1, T=5 0. 2 0. 1 0 -0. 1 -50 0 0. 15 50 p=1, T=10 0. 1 0. 05 0 -0. 05 -50 0. 06 0 50 p=1, T=20 0. 04 0. 02 0 -0. 02 -50 0 50

De la Serie a la Transformada de Fourier Si hace T muy grande (T ): El espectro se vuelve ¡continuo!

De la Serie a la Transformada de Fourier El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia n 0, sino como una función continua de la frecuencia . Así, la serie Al cambiar la variable discreta n 0 (cuando T ) por la variable continua , se transforma en una integral de la siguiente manera:

De la Serie a la Transformada de Fourier Como La serie queda O bien, cuando T , n 0 y 0 d y la sumatoria se convierte en

De la Serie a la Transformada de Fourier Es decir, Identidad de Fourier Donde Transformada De Fourier Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F(ω) (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa

De la Serie a la Transformada de Fourier Notación: A la función F(ω) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F, es decir En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de F(ω) se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F – 1 , es decir

De la Serie a la Transformada de Fourier Ejemplo. Calcular F(ω) para el pulso rectangular f(t) siguiente 1 -p/ 0 2 f(t) p/ 2 t Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es

De la Serie a la Transformada de Fourier Integrando Usando la fórmula de Euler Obsérvese que el resultado es igual al obtenido para cn cuando T , pero multiplicado por T.

De la Serie a la Transformada de Fourier En forma gráfica F(ω) con p=1 1 0. 5 0 -50 0 50 ω

De la Serie a la Transformada de Fourier Tarea. Calcular la Transformada de Fourier de la función escalón unitario u(t): u(t) 1 t 0 Graficar U( )=F [u(t)] ¿Qué rango de frecuencias contiene U( )? ¿Cuál es la frecuencia predominante?