LECCIN 6 DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES
LECCIÓN 6: DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES DE El interés reside en la observación y análisis de más de una variable aleatoria • Variables aleatorias bidimensionales discretas (X, Y) es una variable aleatoria bidimensional discreta si los posibles valores de (X, Y) son finitos o infinitos numerables. (Xi, Yj) i=1, 2, . . , k j=1, 2, . . , p • Variable aleatorias bidimensionales continuas (X, Y) es una variable aleatoria bidimensional continua si puede tomar todos los valores posibles dentro de un par de valores dados.
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD O DE CUANTÍA CONJUNTA Sean X, Y dos variables aleatorias discretas, definimos la función de probabilidad conjunta o función de cuantía conjunta. Pij=P(X=xi; Y=yj) Y 1 Y 2 Y 3 . . . Yp P(xi) X 1 P 12 P 13 . . . P 1 p P(x 1) X 2 P 21 P 22 P 13 . . . P 2 p P(x 2) X 3 P 31 P 32 P 33 . . . P 3 p P(x 3) Xk Pk 1 Pk 2 Pk 3 . . . Pkp P(xk) P(yj) P(y 1) P(y 2) P(y 3). . . P(yp)
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTA (V. DISCRETAS) A cada elemento (X, Y) se le hace corresponder una F(X, Y) suma de los valores que toma la función de probabilidad en los puntos (X, Y) que verifica: F(x, y)=P(X x; Y y ) F(x, y)= P(X=xi; Y=yj ) Propiedades: • 0 F(x, y) 1 • F(x, y) es monótona creciente si x 1<x 2 entonces F(x 1, y) F(x 2, y) y si y 1<y 2 entonces F(x, y 1) F(x, y 2) x • Lim F(x, y)=1 x, y • Lim F(x, y)=0 x, y -
Una moneda corriente se lanza tres veces. Sea X =número de caras en los tres lanzamientos, e Y=diferencia en valor absoluto entre el número de caras y el de cruces en los tres lanzamientos. a) Obtener la distribución de probabilidad (X, Y) b) Obtener las distribuciones marginales de X e Y c) Distribución de X condicionada a que Y=3 d) Distribución de Y condicionada a que X=2
VARIABLES ALEATORIAS BIDEMENSIONALES CONTINUAS FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD CONJUNTA Definimos f(x. y) a partir de la derivada respecto de la función de distribución • f(x, y) 0 • - <x< , - <y<
VARIABLES ALEATORIAS BIDEMENSIONALES CONTINUAS FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTA La función de distribución F(x, y) viene dada por: Propiedades: F(x, y) 0 La probabilidad de la función en todo el espacio muestral es igual 1
La función de densidad conjunta de dos variables aleatorias continuas X e Y es: f(x, y)= x+y para 0<x<1 0 en otro caso ; 0<y<1 a) Probar su estructura de función de densidad b) Encontrar la función de distribución conjunta
Encuentre la densidad de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias X e Y cuya función de distribución conjunta es: F(x, y)= (1 -e-x)(1 -e-y) 0 para x>0; y>0 en otro caso Utiliza la función de densidad para determinar P(1<X<3; 1<Y<2)
DISTRIBUCIONES MARGINALES Conociendo la distribución conjunta de la variable (x, y) podemos conocer las distribuciones unidimensionales de X e Y por separado • La distribución marginal de Y es aquella distribución cuyas modalidades son las modalidades de Y y cuyas probabilidades son las probabilidades totales de Y. • La distribución marginal de X es aquella distribución cuyas modalidades son las modalidades de X y cuyas probabilidades son las probabilidades totales de X. Variables discretas P 1(x)= P(x, y) y P 2(y)= P(x, y) x Variables continuas
La función de densidad conjunta de dos variables aleatorias continuas X e Y es: f(x, y)= 2/3(x+2 y) 0 para 0<x<1 ; 0<y<1 en otro caso a) Hallar la distribución de densidad marginal de X y de Y b) Encuentre la densidad condicional de X dado Y=y, y úsela para evaluar P(X 1/2 Y=1/2)
FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN MARGINALES Variables discretas: Variables continuas 1) De X F 1(x)=P(X x; Y< )= P(xi) x 2) De Y F 2(y)=P(X< ; Y y)= P(yj) y 2) De Y
FUNCIONES CONDICIONADAS Función cuantía condicionada Función de densidad condicionada Variables discretas: Variables continuas: a un valor cualquiera X fijo P(y/x)=P(x, y)/P 1(x) P 1( x)>0 f(y/x)=f(x, y)/f 1(x) f 1( x)>0 a un valor cualquiera Y fijo P(x/y)=P(x, y)/P 2(y) P 2( y)>0 f(x/y)=f(x, y)/f 2(y) f 2( y)>0 Función de distribución condicionada de X F(x/y)=P(X x/Y=y)=F(x, y)/F 2(y) de Y F(y/x)=P(Y y/X=x)=F(x, y)/F 1(x)
VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES Momentos estadísticos M(r, s)(b, d)=E[(x-b)r(y-d)s MOMENTOS NO CENTRADOS O RESPECTO AL ORIGEN b=0 y d=0 Variables discretas r, s=E[(x)r(y)s = Pij. Xir. Yjs Variables continuas r, s=E[(x)r(y)s =
1, 0=E[(x) 0, 1=E[(y) 1, 0=E[(x)2 0, 2=E[(y)2 1, 1=E[(x)(y)
VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES MOMENTOS CENTRADOS O RESPECTO A LA MEDIA b=E(X) y d=E(Y) Variables discretas mr, s=E[(x-E(x))r(y-E(y))s = Pij(Xi-E(x))r(Yj-E(y))s) Variables continuas mr, s=E[(x)r(y)s =
m 1, 0=0 m 0, 1=0 m 2, 0= 2, 0 - 1, 0= x 2 m 0, 2= 0, 2 - 0, 1= y 2 m 1, 1=cov(xy)
CONDICIÓN DE INDEPENDENCIA ENTRE VARIABLES ALEATORIAS P(xi/yj)=P(xi) f(x/y)=f 1(x) P(yj/xi)=P(yj) f(y/x)=f 2(y) También Variables discretas pij=p(xi)p(yj) Variables continuas f(x, y)=f 1(x)f 2(y) F(x, y)=F 1(x)F 2(y)
Sea Z una variable aleatoria bidimenional formada por las variables X e Y y sea g(z)=g(x, y) una función de z. a) Variables discretas E[g(x, y) = g(xi, yj)Pij b) Variables continuas E[g(x, y) = Propiedades: E[g(x)+g(y) = E[g(x) +E[g(y) E[g(x)*g(y) = E[g(x) *E[g(y)
Sea Z una variable aleatoria bidimenional formada por las variables X e Y llamaremos vector de varianzas. z 2=( x 2, y 2) a) Variables discretas 2[g(x, y) = [g(xi, yj)-E[g(x, y) pij b) Variables continuas 2= Propiedades: 2 (x+y)= 2 x+ 2 y 2 (x-y)= 2 x+ 2 y
A partir de la siguiente distribución bidimensional Y X 2 4 6 8 P(yj) 1 0. 09 0. 3 0. 11 0. 21 0. 71 3 0. 05 0. 12 0. 08 0. 04 0. 29 P(xi) 0. 14 0. 42 0. 19 0. 25 a) Vector de medias b) Calcular E(g(x, y)) donde g(x, y)=x+y
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