Leccin 22 CAPITULO XIII CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Lección 22

CAPITULO XIII : • CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS Lección 22 2

Lección 22 : • • 22. 1. - Cálculo matricial de estructuras: Introducción. 22. 2. - Discretización. 22. 3. - Grado de libertad. 22. 4. - Rigidez y flexibilidad de una barra. Matriz de rigidez. • 22. 5. - Métodos de cálculo. Método de la rigidez. • 22. 6. - Sistemas de referencia. Transformación de coordenadas. • 22. 7. - Matriz de rigidez de una estructura. Lección 22 3

22. 1. - Cálculo matricial de estructuras: Introducción. • Se basan en los teoremas energéticos de Maxwell, Mohr y Castigliano (S. XXIX). • El objetivo del Cálculo matricial es relacionar las acciones que actúan sobre una estructura con los desplazamientos por medio de las matrices de Rigidez y Flexibilidad. • Siguen siendo de aplicación las hipótesis de la Resistencia de materiales: Trabajamos en zonas donde se cumple la Ley de Hooke, rigidez relativa, principio de superposición, Principio de Saint Venant, Hipótesis de Bernouilli. • Se estudian estructuras articuladas planas formadas por barras rectas unidas entre si por nudos o nodos. Lección 22 4

22. 2. - Discretización. • El estudio se concretará en puntos llamados “nodos” (sean o no de unión de barras) donde actuarán las acciones exteriores y cuyos desplazamientos queremos calcular. • Se llaman variables nodales a dichas acciones y desplazamientos • Se llaman elementos a las distintas barras. • Conocidos los esfuerzos y desplazamientos de los nodos, la Resistencia de los Materiales permite analizar cualquier otro punto del un elemento (solución discreta). • Las acciones a lo largo de las barra se trasladan a los nodos. Lección 22 5

22. 2. - Discretización. Ejemplo de distribuir las cargas a nudos A B MA q P HA = E C Lección 22 RA RB MB HB + MA HA RA R B MB HB P D 6

22. 3. - Grado de libertad. • Grado de libertad de una estructura es el nº de coordenadas necesarias para determinar la deformada respecto a su posición anterior a la aplicación de las acciones. • Será necesario y suficiente conocer los desplazamientos de los nodos: – En un plano: Desplazamientos en eje X, Y. Giro en Z. – En el espacio: Desplazamientos en ejes X, Y, Z. Giros en X, Y, Z. – Si algún desplazamiento está restringido (ligaduras) baja el grado de libertad. • Distinguir entre grado de libertad e Hiperestaticidad. • Las coordenadas de la estructura necesarias para definir la posición de sus nodos serán tantas como su grado de libertad. Lección 22 7

22. 3. - Grado de libertad. Sistema plano. 3 2 5 1 6 4 Acciones Deformaciones Acciones P 1 d 4 P 2 d 5 P 3 (momento) d 3 (giro) d 6 (giro) P 6 (momento) Lección 22 8

22. 4. - Rigidez y flexibilidad de una barra. Matriz de rigidez. Rigidez: resistencia u oposición a la deformación MA HA S x A L RA B P M B x P M = (12·E·Iz) L 3 (6·E·Iz) L 2 (4·E·Iz) L * d f y Flexibilidad: facilidad de permitir la deformación d f = - L 2. L 3. (3·E·Iz) (2·E·Iz) - L 2. (2·E·Iz) L. (E·Iz) * P M También llamadas matrices nodales del nodo B Lección 22 9

22. 4. - Rigidez y flexibilidad de una barra. Matriz de rigidez. 2 3 5 1 P 1 K 12 K 13 K 14 K 15 K 16 d 1 P 2 K 21 K 22 K 23 K 24 K 25 K 26 d 2 K 31 K 32 K 33 K 34 K 35 K 36 P 4 K 41 K 42 K 43 K 44 K 45 K 46 d 4 P 5 K 51 K 52 K 53 K 54 K 55 K 56 d 5 P 6 K 61 K 62 K 63 K 64 K 65 K 66 d 6 P 3 Lección 22 = · 6 4 d 3 10

22. 5. - Métodos de cálculo. Método de la rigidez. Hipótesis consideradas Siguen siendo de aplicación las hipótesis de la Resistencia de materiales: Ley de Hooke, rigidez relativa, principio de superposición, Principio de Saint Venant, Hipótesis de Bernouilli La estructura ha de estar en “equilibrio” Cada punto o sección de la estructura tiene un solo valor de desplazamiento: “compatibilidad” Los desplazamientos de los apoyos son compatibles con los enlaces: “contorno” En el método de rigidez las incognitas son los desplazamentos de los nodos, no importa el grado de hiper-estaticidad. Sólo importa el grado total de libertad. F=K. D Se trata de ensamblar las distintas matrices de rigidez de las barras de la estructura. Lección 22 11

22. 6. - Sistemas de referencia. Transformación de coordenadas Px Py axx’ axy axz’ Px’ ayy ayz’ Py’ ’ = Pz ’ azx’ azy’ azz’ · Pz’ Coordenadas globales Coordenadas locales Coordenadas nodales B C E D Lección 22 12

22. 7. - Matriz de rigidez de una estructura. F=K. D P=k. d Ensamblaje de las matrices elementales P 1 = P 4 P 2 2 K 11 K 14 · d 4 K 41 K 44 = P 4 K 22 K 24 d 1 · d 2 d 4 K 42 K 44 2 P 3 1 1 4 = P 4 3 K 34 · d 3 d 4 K 43 K 44 3 Pi Pj Lección 22 = Kii Kij Kji Kjj · di dj 13