Le simmetrie nellarte Roberto Casalbuoni Dipartimento di Fisica

Le simmetrie nell’arte Roberto Casalbuoni Dipartimento di Fisica, Sezione INFN, Istituto G. Galilei per la Fisica Teorica (GGI), Open. Lab Firenze - casalbuoni@fi. infn. it Notte blu - Firenze - 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 1

Sommario ● Introduzione ● Simmetrie e trasformazioni ● Estensioni della simmetria (Escher) ● Conclusioni 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 2

Introduzione 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 3

Simmetrie Lunga storia nel pensiero umano ed usate con significati diversi. Secondo Hermann Weyl (“La Simmetria” Feltrinelli 1962) essenzialmente due diversi significati: 1) Un modo piu’ antico in cui la parola simmetrico si riferisce a qualcosa di ben proporzionato, ben bilanciato, e simmetria indica una concordanza di varie parti che si integrano in un unico oggetto. 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 4

Esempio piu’ famoso: L’uomo vitruviano Tutte le parti del corpo umano sono strettamente correlate le une alle altre tramite dei rapporti fissati di proporzionalita’ 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte Vitruvio ~ 70 -23 AC 5

L’idea di ben bilanciato porta al secondo significato di simmetria: 2) Identita’ tra destra e sinistra. Questa idea e’ strettamente geometrica e diversamente dalla vaga nozione precedente si puo’ dare a questa definizione un senso completamente preciso e rigoroso. Questa simmetria bilaterale appare come il primo caso di un concetto geometrico che fa riferimento ad operazioni come le riflessioni e le rotazioni. 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte Statua Greca 6 IV Secolo AC

Medio Impero, 12 a Dinastia (Al tempo di Sestorio III, 1887 -1842 AC) Gioiello di Sat-Hathor (Cairo, Museo Egizio) (quasi) bilaterale-simmetrico 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 7

L Di centrale importanza e’ stata la simmetria bilaterale del corpo umano che ha sicuramente stimolato molti artisti. I Sumeri apprezzavano particolarmente la simmetria bilaterale o Destra. Sinistra, D/S In seguito fu perfezionata nell’aquila a doppia testa 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 8

Emblema dell’Impero Bizantino. L’aquila a doppia testa all’ingresso del Patriarcato Ecumenico di Costantinopoli. 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 9

Un quadrato e’ invariante rispetto a riflessioni sui 4 assi a rotazioni di 90 gradi ed alle loro combinazioni. In totale 4 rotazioni e 4 riflessioni. 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 10

Invariante sotto due rotazioni di 180 gradi e 2 riflessioni. Meno simmetrico del quadrato. Simmetrico solo sotto una riflessione ed una rotazione di 360 gradi. 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 11

Simmetrie e Trasformazioni 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 12

Teoria dei gruppi Una teoria matematica che include le trasformazioni, ma la sua origine e’ nella teoria delle equazioni algebriche. Évariste Galois (1811– 1832) mori’a causa di ferite subite in un duello originato da circostanze oscure all’eta’ di venti anni. Stette alzato tutta la notte prima del duello per comporre quello che sarebbe diventato il suo testamento matematico, la famosa lettera ad Auguste Chevalier in cui spiegava la sue idee sui gruppi. Hermann Weyl, ha detto del suo testamento, “ Questa lettera, per la profondita’ e originalita’ del suo contenuto, e’ forse tra gli Lescritti fondamentali di tutta la 13 storia 11/03/2010 simmetrie nell'arte dell’umanita’ ”

R. P. Feynman: Un oggetto e‘ detto simmetrico, se gli possiamo fare qualcosa senza cambiarlo. Le simmetrie corrispondono all’insieme di trasformazioni che lasciano invariante una figura. Piu’ simmetrie = piu’ proprieta’ di invarianza Ma quali sono le trasformazioni che possiamo effettuare? Per semplicita’ considereremo trasformazioni sul piano 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 14

Trasformazioni elementari Riflessione 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte b in d 15

Caravaggio – Narciso (1597 -99) Palazzo Barberini Roma 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 16

L’ultima cena – Salvador Dali (1904 -1989) 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 17

Rotazioni b in q 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 18

Invariante per rotazioni di 3600/3=1200 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte Trinacria, la bandiera della Sicilia 19

Rotazioni di 3600/20=180 Museo del Bardo a Tunisi 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 20

Traslazioni b in b (in una posizione diversa) 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 21

Palazzo di Dario a Susa 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 22

Glisso riflessioni 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 23

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Le trasformazioni si possono combinare Due riflessioni = rotazione 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 25

UN RISULTATO MOLTO IMPORTANTE: Le simmetrie planari indipendenti sono date dalle precedenti trasformazioni: ● Riflessioni ● Rotazioni ● Traslazioni ● Glisso riflessioni Le rotazioni e le traslazioni non cambiano l’orientazione della figura, mentre le altre due lo fanno Questi due triangoli hanno orientazioni diverse. Non si possono sovrapporre usando rotazioni e/o traslazioni. 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 26

Come si possono costruire figure simmetriche? 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 27

Figure simmetriche si possono ottenere partendo da figure con nessuna simmetria! 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 28

Classificazione delle simmetrie piane 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 29

Le simmetrie dei rosoni si ottengono con rotazioni e riflessioni 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 30

Riflessioni + Rotazioni = infinite trasf. Rosoni dell’Alhambra 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 31

Escher: Rotazione (1800) + Riflessione 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 32

Simmetrie dei fregi Riflessioni +Traslazioni in una dimensione + Glisso riflessioni in una dimensione 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 33

Ci sono solo 7 simmetrie dei fregi 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 34

Simmetrie di pavimentazione o tassellature del piano 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 35

Rotazioni, riflessioni + traslazioni + glisso riflessioni in due dimensioni 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 36

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LE Traslazioni Riflessioni 2 Riflessioni Glisso riflessioni Riflessioni + Glisso Riflessioni + Rotazioni (1800) 9/05/2010 Rotazioni (1800) + Glisso Rotazioni (1800) + 2 riflessioni Le simmetrie nell'arte 17 P O S S I B I L I T A S S E L L A T U R E 38

L E Rotazioni (900) Rotazioni( 1200) Rotazioni (900) + Riflessioni Rotazioni (1200) + Riflessioni 0) Rotazioni (60 9/05/2010 Rotazioni (900) + Riflessioni Rotazioni (1200) + Riflessioni Rotazioni (60 Le simmetrie nell'arte R I M A N E N T I T A S S S E L L A T U R E 39

Esempi di simmetrie di tessallatura Maestro della tasselatura 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 40

M. C. Escher Maurits Cornelis Escher (1898 -1972) , incisore e grafico, ebbe un interesse spiccato per la Geometria. Un interesse che si sviluppo’anche grazie alla sua visita all’Alhambra a 24 anni (1922). Nel 1926 lesse un libro di Polya sulla Teoria dei Gruppi. Non pote’ apprezzarne le parti piu’ matematiche ma rimase affascinato dalle 17 simmetrie planari delle tassellature. Inizio’ allora una serie di piu’ di 150 lavori sulla tassellatura regolare del piano. Ma Escher aggiunse una idea importante, l’uso del colore nel contesto della simmetria! 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 41

Questa figura e’ ancora simmetrica ma in senso piu’ ampio. In questo modo si possono avere molte piu’ tassellature. Riflessione + cambio colore 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 42

L‘arte di M. C. Escher Simmetrie: • Traslazione & Scambio di colore • Traslazione & Riflessione & Scambio di colore 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 43

Ancora una estensione della Simmetria (Escher) 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 44

Dopo tutti suoi lavori sulle tassellature regolari Escher comincio’ a chiedersi se fosse possibile rappresentare l’intero piano con le sue tassellature su uno spazio finito come un pezzo di carta. In precedenza aveva gia’ affrontato un simile problema Sviluppo II (1939) Sempre piu’ piccolo (1956) Prendendo figure sempre piu’ piccole dall’esterno verso il centro, Escher otteneva una figura limitata ma partendo da un contorno arbitrario. Tutti questi disegni avevano un solo punto limite. 45 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte

Escher miglioro’ il risultato nel 1957 realizzando una figura con una linea limite. Un importante passo concettuale: associare alla trasformazione una compressione (dilatazione) Divisione del piano. VI (1957) 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 46

1) Traslare il segmento 2) Dividere la lunghezza in 2 3) Contemporaneamente ridurre le proprie dimensioni di 2 Il segmento piu’ piccolo vi appare della stessa grandezza dell’originale. Siete diventato insensibile alla dimensione degli oggetti. Questa e’ una importante estensione matematica e porta al concetto di self-similarity ed alla moderna teoria dei frattali (Mandelbrot 1975). Questa idea risale a Leibniz (17 mo secolo) che pero’pensava in termini di rette. Il primo esempio non banale di una curva self-similar si deve a von Koch (1904). 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 47

La curva di Koch Ad ogni scala l’aspetto della curva non cambia Il fiocco di neve di Koch 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 48

Il punto limite di Escher si ottiene con traslazioni piu’ compressioni. Come trasformare una semi-retta (infinita) in un segmento L L + L/2 + L/4 + L/8 + … = 2 L 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 49

Nel 1954 Escher incontro’ Coxeter (1907 -2003) in un meeting internazionale di matematica e gli espose i suoi problemi. Coxeter era un famoso geometra. In seguito, nel 1957, Coxeter invio’ a Escher una illustrazione del piano di Poincare’, un modo per rappresentare una superficie infinita su una finita (un cerchio). Escher ebbe qualche difficolta’ con il testo di Coxeter, ma guardando la tassellatura triangolare del cerchio di Poincare’, riusci’ a capire le regole del gioco. 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 50

Il piano nel cerchio di Poincare’ Traslazioni + compressioni 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 51

Usando queste regole, Escher produsse quattro casi di cerchi limite. Cerchio Limite I- 1958 Cerchio Limite II 1959 Ma Escher non era ancora soddisfatto dato che nella compressione si produceva una notevole deformazione delle immagini Cerchio Limite III - 1959 Cerchio Limite IV - 1960 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 52

Quadrato limite -1964 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 4 anni piu’ tardi Escher trovo’ una soluzione. Partendo dal centro del quadrato e facendo delle compressioni in entrambe le direzioni. In questo modo ottenne delle figure self-similar e poteva rappresentare tutto il piano in un quadrato. Adesso la figura limite era un quadrato! 53

Costruzione del quadrato limite 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 54

● Escher invio’ a Coxeter una bozza del suo quadrato e gli scrisse : “Ho paura che l’argomento non sia troppo interessante sul piano matematico, non essendo altro che una tassellatura del piano. D’altra parte per me e’ stato un vero rompicapo trovare un modo per realizzarlo nella maniera piu’ semplice. ” ● Alcuni anni dopo, Thurstone, un matematico di Berkeley, al fine di illustrare l’idea di una tassellatura self-similar uso’un esempio molto simile al “Quadrato limite”, senza sapere niente di Escher. 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 55

Le strutture self-similar hanno una “dimensione frattale” (generalizzazione della normale dimensione) che non e’ intera. Per esempio, la dimensione frattale della curva di Koch e’ (Log[4]/Log[3]) ~ 1. 262, intermedia tra 1, una linea, and 2, un piano. In relazione ad Escher questa e’ una vera curiosita’ dato che lui ha sempre giocato con dimensioni diverse. Le sue “figure impossibili” sono state rese “possibili” disegnando oggetti 3 dimensionali su un foglio e quindi su un supporto a 2 dimensioni! 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 56

Il cubo di Escher 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 57

Conclusioni ● Le simmetrie sono centrali in tutte le scienze (matematica, fisica, ecc. ). E questo e’ particolarmente vero per le teorie moderne sulla materia e le sue interazioni. ● Alcuni fisici pensano che questo derivi dall’amore della natura per la bellezza e la simmetria e’ bellezza. ● In questo senso simmetria ed arte hanno un legame molto forte. 9/05/2010 Le simmetrie nell'arte 58