Le nouveau programme de 4me En application pour

Le nouveau programme de 4ème En application pour la rentrée 2007

Documents utilisés : • Nouveau programme de 4ème • Les documents d’accompagnement

Où trouver tous ces documents? http: //www. ac-guadeloupe. fr/

Rappels : • Obliger ou inciter le plus possible les élèves à se mettre en « activités mathématiques » . • Mettre les élèves (souvent passifs en cours) en situation de « recherche de problèmes » .

L’enseignant veillera régulièrement: • À se poser la question « Quel problème at -on posé à l’élève ? » • À ne pas se contenter « des applications de cours » , mais aider l’élève à se questionner dans l’acquisition de son apprentissage.

Justification du produit en croix 1. Calcul numérique avec habillage ou pas. On part d’un tableau de proportionnalité. 2. Introduction d’une seule lettre 3. On arrive à la généralisation 4. Réciproque du produit en croix

1)Calcul numérique (avec habillage ou pas) On part d’un tableau de proportionnalité Activité 1 : Mise en évidence du produit en croix On considère le tableau suivant : Nombre de fleurs Prix en € 3 5 8 4, 2 7 11, 2 Question : Le prix à payer est-il proportionnel au nombre de fleurs ?

1)Calcul numérique (avec habillage ou pas) On part d’un tableau de proportionnalité Activité 1 : Mise en évidence du produit en croix On considère le tableau suivant : Nombre de fleurs Prix en € 3 5 8 4, 2 7 11, 2 Question : Le prix à payer est-il proportionnel au nombre de fleurs ? Réponse attendue :

1)Calcul numérique (avec habillage ou pas) On part d’un tableau de proportionnalité Activité 1 : Mise en évidence du produit en croix On considère le tableau suivant : Nombre de fleurs Prix en € 3 5 8 4, 2 7 11, 2 Question : Le prix à payer est-il proportionnel au nombre de fleurs ? Réponse attendue : Quel est le prix d’une fleur ?

1)Calcul numérique avec habillage ou pas On part d’un tableau de proportionnalité Activité 1 : Mise en évidence du produit en croix On considère le tableau suivant : Nombre de fleurs Prix en € 3 5 8 4, 2 7 11, 2 Question : Le prix à payer est-il proportionnel au nombre de fleurs ? Réponse attendue : Quel est le prix d’une fleur ? Réponse attendue: car

• On choisit deux colonnes du tableau : 3 4, 2 5 7 Calculer 3 x 7 puis 4, 2 x 7 Comparer les résultats. Reprendre avec d’autres colonnes. Conjecturer. (Nécessité d’insister lors de la conjecture sur l’égalité des quotients. )

2. Introduction d’une seule lettre. • Activité 2 : ( Mise en évidence du produit en croix avec introduction d’une seule lettre. ) • Ce tableau est de proportionnalité : 5 7 17 x On regarde la démarche Quelle relation peut-on écrire entre les nombres : 5 ; 17 ; 7 et x ?

2. Introduction d’une seule lettre. • Activité 2 : ( Mise en évidence du produit en croix avec introduction d’une seule lettre. ) • Ce tableau est de proportionnalité : 5 7 17 x On regarde la démarche Quelle relation peut-on écrire entre les nombres : 5 ; 17 ; 7 et x ? Réponse attendue : 5 x x = 7 x 17

• Déterminer la valeur de x en utilisant l’expression précédente. • Réponse attendue :

Démontrons ce résultat ( A l’aide du coefficient de proportionnalité ) • Quel est le coefficient de proportionnalité k permettant de passer de la 1ère colonne à la 2ème colonne du tableau? 5 7 17 x

Démontrons ce résultat ( A l’aide du coefficient de proportionnalité ) • Quel est le coefficient de proportionnalité k permettant de passer de la 1ère colonne à la 2ème colonne du tableau? 5 17 7 • Réponse attendue : x puis

• Démontrons ce résultat : • ( A l’aide du coefficient de proportionnalité ) • Quel est le coefficient de proportionnalité k permettant de passer de la 1ère colonne • à la 2ème colonne du tableau. 5 7 • Réponse attendue : 17 x puis • Déterminer la valeur de x en utilisant • le coefficient de proportionnalité k.

Démontrons ce résultat ( A l’aide du coefficient de proportionnalité ) • Quel est le coefficient de proportionnalité k permettant de passer de la 1ère colonne à la 2ème colonne du tableau? 5 7 • Réponse attendue : 17 x puis • Déterminer la valeur de x en utilisant • le coefficient de proportionnalité k. • Réponse attendue :

Démontrons ce résultat : (Avec l’introduction du quotient) 5 17 Ce tableau étant de proportionnalité, quelle égalité sur les quotients peut on 7 x écrire ? Rappelez ce que cela signifie en terme de quotient. Réponse attendue : est le nombre qui multiplié par … donne. . Le quotient de 7 par 5 est égal au quotient de x par 17. Ainsi, exprimez x en utilisant les nombres 5; 17; 7. Réponse attendue :

3. On arrive à la généralisation Activité 3 : Généralisation du produit en croix Quelle égalité sur les quotients peut-on écrire, pour exprimer que ce tableau est un tableau de proportionnalité. a c b d réponse attendue: ou « ou les relations inverses » Que peut on écrire en terme de produits en croix ? réponse attendue : ou ad=bc

Résumé de cours : • a c Si ce tableau : est un tableau de proportionnalité b d • alors ad=bc.

Démontrons ce résultat à partir de l’interprétation du quotient. • En utilisant, l’égalité suivante : • Exprimer a en fonction de b, c et d. • Réponse guidée par l’enseignant : Cela signifie en terme de quotient que : • Autre démonstration de ce résultat à partir de la différence :

4. Réciproque du produit en croix Activité 4 : Réciproque du produit en croix Si on a : , quelle égalité de quotients peut-on écrire ? a) Justifier votre résultat à l’aide du quotient. b) Justifier votre résultat en utilisant la définition de l’inverse. c) Que peut-on alors dire de ce tableau ? a b c d