Le isometrie 1 Cosa sono le isometrie Avete

Le isometrie 1

Cosa sono le isometrie? Avete un album di fotografie? Provate a spostare una di queste per dare una sistemazione migliore all’album! La vostra foto non cambierà né in forma né in grandezza: rimarrà la stessa, cambierà solo la posizione. 2

Cosa sono le isometrie? Anche in geometria è possibile “spostare” una figura geometrica lasciandone inalterate forma e dimensioni. Questi movimenti che trasformano figure assegnate in altre congruenti (cioè sovrapponibili) prendono il nome di isometrie. 3

LA TRASLAZIONE 4

Costruire con carta e forbici • Ritaglia un triangolo e fora due punti al suo interno • Appoggia il triangolo su un foglio, con un lato su un righello. Ricalca il suo contorno e, attraverso i fori, segna anche i punti al suo interno. 5

Costruire con carta e forbici Fai scorrere il triangolo sul righello Scopri che le distanze tra i punti corrispondenti nei due triangoli sono uguali: AA’=BB’=CC’=EE’=FF’ Hai eseguito una traslazione. Quando una figura nel piano subisce una traslazione tutti i suoi punti sono spostati a distanze uguali in una certa direzione. 6

Il vettore Alcuni allievi avranno effettuato uno spostamento considerevole, altri un piccolo spostamento. Ogni allievo avrà spostato la figura nella direzione e nel verso preferito. Quindi, per stabilire la posizione di F’ è necessario conoscere: a) di quanto si sposta la figura, cioè l’intensità dello spostamento; b) in che direzione si sposta la figura, cioè la direzione dello spostamento; c) in che verso si sposta la figura, cioè il verso dello spostamento. 7

Composizione di due traslazioni • Considera la figura F e il vettore v indicato nella figura seguente. • Costruisci la figura F’ corrispondente della F nella traslazione di vettore assegnato. 8

La simmetria assiale … foglia, stecchino e altre foglie sono stati incollati su una lastra trasparente. La lastra trasparente è stata ribaltata attorno allo stecchino. Dopo il ribaltamento si nota che: - tutte le foglie mostrano la pagina inferiore, ma mantengono la stessa forma; - solo la foglia attraversata dallo stecchino è rimasta nella stessa posizione, mentre le altre appaiono spostate a sinistra ma alla stessa distanza dallo stecchino. 9

La simmetria assiale Che cosa possono rappresentare in geometria la lastra, la foglia e lo stecchino? - La lastra trasparente rappresenta un piano - Le foglie rappresentano varie figure geometriche r - Lo stecchino rappresenta una retta r del piano 10

Costruzione geometrica Per costruire la figura simmetrica di una figura poligonale, costruisci il simmetrico di ogni suo vertice e uniscili. Due figure sono simmetriche rispetto ad una retta se tutti i punti dell’una sono i simmetrici dei punti dell’altra. ’ Si può verificare che segmenti ed angoli corrispondenti hanno rispettivamente la stessa lunghezza ed ampiezza. 11

. . . verso le figure con assi di simmetria interni • La figura poligonale ha un punto in comune con l’asse di simmetria… • La figura poligonale ha più punti in comune con l’asse di simmetria… B B´ A A´ Le figure sono dotate di asse di simmetria 12

ROTAZIONE La maniglia di una porta che viene abbassata e il pendolo di un orologio che oscilla compiono uno stesso tipo di movimento: una ROTAZIONE. Tutti i punti dell’oggetto descrivono degli archi di circonferenza della stessa ampiezza ed aventi lo stesso centro. 13

Costruzione geometrica Con l’aiuto del goniometro e di una riga esegui la rotazione di un quadrato, con: • centro di rotazione O esterno alla figura • ampiezza di rotazione 60° • senso antiorario 14

Costruzione geometrica UNA ROTAZIONE DI CENTRO O E AMPIEZZA E’ UNA ISOMETRIA CHE SPOSTA UNA FIGURA NEL PIANO NEL SENSO INDICATO. IN MODO CHE A E A’ SONO DUE PUNTI CORRISPONDENTI E L’ANGOLO TRA LORO COMPRESO SIA DI AMPIEZZA a. 15

SIMMETRIA CENTRALE H. N. Z. 16

La simmetria centrale Unendo i punti A e A’, B e B’, C e C’ otteniamo i segmenti AA’, BB’, CC’. Puoi verificare che : il punto O appartiene ai segmenti AA’, BB’, CC’ ed è il loro punto medio. Infatti AO = OA’, BO = OB’ e CO = OC’ Per questa caratteristica i punti si dicono simmetrici rispetto al punto O e lo spostamento che porta il 17 triangolo ABC in A’B’C’ è detto simmetria centrale.

Simmetria centrale In generale vale la seguente: Una simmetria centrale, di cui O è il centro di simmetria, è una rotazione di 180°, con verso orario o antiorario, di centro O. E’ un’isometria che conserva la lunghezza dei lati e l’ampiezza degli angoli. 18