LE EQUAZIONI PROF ROBERTO CAMPANARDI Guardate queste situazioni

LE EQUAZIONI PROF. ROBERTO CAMPANARDI

Guardate queste situazioni incontrate tante volte nel corso del triennio:

Che cosa hanno in comune tutte le scritture? Che cosa è quindi una EQUAZIONE? una EQUAZIONE è una uguaglianza di due espressioni algebriche di cui almeno una deve possedere un termine incognito …

Un’equazione assomiglia a una bilancia a due piatti 3 3 x 3 3 3+3+3 = x =6 3+x 4 20 x 4 4 4+4+4+x = 20 x =8

Quante soluzioni ha una equazione? •

Guardate queste equazioni e cercate di risolverle. (clicca per verificare la soluzione di ciascuna)

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SCRITTURA DI UNA EQUAZIONE IN FORMA NORMALE EQUAZIONE DETERMINATA Esempio 4 x=20 x=5 3 x=0 EQUAZIONE INDETERMINATA Esempio 0 x=0 x= infinti numeri EQUAZIONE IMPOSSIBILE Esempio 0 x=3 x= non esiste

Un po’ di terminologia 3 x + 4 = x – 5 PRIMO MEMBRO SECONDO MEMBRO 3 x +4 = x – 5 TERMINI CON INCOGNITA TERMINI NOTI +4 -5

torniamo alle bilance I PRINCIPI DI EQUIVALENZA 4 20 x 4 4 4+4+4+x = x =8 20 È ovvio che se modifichiamo qualcosa ad un braccio della bilancia, per mantenere l’equilibrio, occorre modificare nello stesso modo anche l’altro braccio.

4 20 4 x 4 4 4+4+4+x = 12 20 +4 Aggiungiamo 7 Togliamo 4 7 4 x 4 4+4+4+x +7 7 4 = 20 4+20 +7 x = vale sempre 12 x 4 4 4+4+x = 4 20 20 x = vale sempre 12

I principio di equivalenza In una equazione si può aggiungere o sottrarre uno stesso numero, o una stessa espressione contenente la x, si ottiene sempre una equazione equivalente alla data (cioè il valore di x, o radice, non cambia) 3 x+4=x+10 dove x =+3 infatti 3 ∙ 3 + 4 = 3 + 10 9 + 4 = 13 13 = 13 Aggiungiamo 8 3 x+4+8=x+10+8 x =+3 infatti 3 ∙ 3 + 4 + 8 = 3 + 10 + 8 9 + 4 + 8 = 13 + 8 21 = 21 Sottraiamo x 3 x+4 -x=x+10 -x x =+3 infatti 3 ∙ 3 + 4 – 3 = 3 + 10 – 3 9 + 4 – 3 = 13 – 3 10 = 10 RICORDA: La soluzione è quel valore di x che fa sì che le due espressioni (1° membro e 2° membro) assumano lo stesso risultato

Applicazione del 1° principio di equivalenza legge del trasporto Nella risoluzione di una equazione occorre portare tutti i termini con l’incognita al 1° membro e tutti i termini noti al 2^ membro, durante il loro trasporto, cambiano di segno. Trasportandolo diventa – 4 3 x+4 = x+10 Trasportandolo diventa –x 3 x+4 = x+10 3 x+4 – 4 = x+10 – 4 3 x– x = x+10 – 4 –x 3 x – x = +10 – 4 2 x = +6 x = +3 tolgo 4 ad entrambi i termini perché nel 1°membro deve scomparire 3 x– x = x+10 – 4 –x tolgo x ad entrambi i termini perché nel 2°membro deve scomparire

10 4 x x 4+2 x Moltiplichiamo x 2 = x =3 10 Dividiamo per 2 x x 4 8+4 x 10 10 = 20 x = vale sempre 3 5 2 x 2+x = 5 x = vale sempre 3

II principio di equivalenza In una equazione si può moltiplicare o dividere per uno stesso numero (diverso da 0) si ottiene sempre una equazione equivalente alla data (cioè il valore di x, o radice , non cambia) 2 x+4=10 dove x =+3 infatti 2 ∙ 3 + 4 = 10 6 + 4 = 10 10 = 10 Moltiplichiamo per 5 (2 x +4 ) ∙ 5 = 10 ∙ 5 x =+3 Dividiamo per 2 (2 x +4 ) : 2 = 10 : 2 x =+3 infatti (2 ∙ 3 + 4 ) ∙ 5 = 50 (6 + 4 ) ∙ 5 = 50 10 ∙ 5 = 50 50 = 50 infatti (2 ∙ 3 + 4 ) : 2 = 5 (6 + 4 ) : 2 = 5 10 : 2 = 5 5=5 RICORDA: La soluzione è quel valore di x che fa sì che le due espressioni (1° membro e 2° membro) assumano lo stesso risultato

Applicazione del 2° principio di equivalenza 1 - togliere i denominatori cioè rendere una equazione con tutti i termini interi

Riassumendo nella risoluzione di una equazione: 1. Eseguo moltiplicazioni e divisioni, fino a ottenere una addizione algebrica di termini noti e termini incogniti 2. Levo i denominatori, moltiplicando per il mcm fra tutti i denominatori presenti ai due membri 3. Effettuo la legge del trasporto 4. Riduco alla forma normale ax=b 5. Calcolo il valore di x x= b: a 6. Eseguo la verifica della soluzione trovata

fine PROF. ROBERTO CAMPANARDI