Le equazioni di Maxwell Realizzato da Luigi Lombardo

Le equazioni di Maxwell Realizzato da Luigi Lombardo Rev. 5/11/15

Maxwell n n Nato a Edimburgo nel 1831, morì a Cambridge nel 1879. Maxwell pubblica le sue equazioni nel 1865.

Prima di Maxwell n n Teorema di Gauss per il campo elettrico: Teorema di Gauss per il campo magnetico: Legge di Faraday. Neumann-Lenz: Teorema di Ampère:

Cosa trova Maxwell n n n Prima delle equazioni di Maxwell, le leggi che descrivevano l’elettromagnetismo erano quelle appena elencate. La prima descrive il campo elettrostatico, la seconda e la quarta descrivono il campo magnetostatico. Solo la terza indica come un campo magnetico variabile generi un campo elettrico, cioè l’elettromagnetismo.

Manca qualcosa n n n Maxwell nota la non simmetria di queste equazioni (in fisica la simmetria è importante!) Perché un campo magnetico variabile dovrebbe generare un campo elettrico, e non viceversa? Nota quindi che manca qualcosa.

L’esperimento mentale (gedankenexperiment) n n Maxwell immagina quindi di eseguire il seguente esperimento mentale (un esperimento che non si svolge in laboratorio, ma solo nella mente). Prende un circuito contenente un condensatore che viene caricato a corrente costante (vedi schema seguente).

Lo schema dell’esperimento

La natura non fa salti. n n Maxwell nota che la circuitazione del campo magnetico lungo S 1 prima e dopo il condensatore è costante, mentre è nulla lungo S 2. Ricordando il fondamentale principio della fisica, “la natura non fa salti” (Natura non facit saltus), ipotizza l’esistenza, all’interno del condensatore, di una nuova corrente, di valore pari a quella di carica del condensatore.

Alla ricerca del termine mancante. n n n L’unica cosa presente nel condensatore è il campo elettrico. Pertanto trova la relazione tra questo e la corrente di carica i. La variazione di carica sul condensatore vale: Il campo E vale: dove la densità di carica vale: dove A è l’area dell’armatura del condensatore.

La variazione del flusso. n Quindi la variazione del flusso del campo elettrico nel condensatore è pari a (ci si poteva arrivare direttamente con Gauss):

Il calcolo della corrente di spostamento. n n E, ricordando che: segue: Ed esplicitando la corrente i, segue: Maxwell la chiama corrente di spostamento, che indicheremo col simbolo is. Quindi:

Il teorema di Ampère-Maxwell n n n Pertanto Maxwell modifica il teorema di Ampère nel seguente modo: Sostituendo is otteniamo: Così modificato prenderà il nome di teorema di Ampère-Maxwell.

Le equazioni di Maxwell n n Le quattro equazioni iniziali diventano pertanto: Così riscritte prenderanno (giustamente) il nome di equazioni di Maxwell.

La simmetria n n Si può notare come ora queste equazioni sono più simmetriche di prima. Infatti, non solo un campo magnetico variabile genera un campo elettrico, ma anche il viceversa, un campo elettrico variabile genera un campo magnetico.

L’importanza di Maxwell n n n Con l’aggiunta del suo termine mancante, Maxwell modifica profondamente le equazioni dei campi elettrici e magnetici, mostrando l’interdipendenza tra i due. Per questo da Maxwell in poi si potrà parlare di campi elettromagnetici. Questo è il motivo per cui le precedenti equazioni, scoperte dai predecessori di Maxwell, dove Maxwell aggiunge solo un piccolo termine, giustamente prendono il nome di equazioni di Maxwell.

Cosa succede nel vuoto? n n La simmetria di cui si è parlato è ancora più evidente riscrivendole nel caso ci si trovi nel vuoto. In tal caso non ci sono sorgenti, cioè Q = 0 ed i = 0, e le costanti sono quelle nel vuoto.

Le equazioni nel vuoto. n Pertanto le equazioni si riscrivono nel seguente modo:

L’ipotesi delle OEM n Lo stesso Maxwell scopre, solo dal punto di vista matematico, che queste equazioni hanno, come una delle possibili soluzioni, delle onde elettromagnetiche (OEM), cioè variazioni sinusoidali dei campi elettrici e magnetici, in particolare con fronti d’onda piani, allora ignote.

Le OEM n Il modello matematico di queste onde è:

La velocità della luce n n Si dimostra che queste equazioni sono compatibili con le equazioni di Maxwell, se la velocità c con cui si propagano è uguale a: Valore questo (stranamente) uguale alla velocità della luce nel vuoto, cosa che gli fa ipotizzare la natura elettromagnetica della luce.

La scoperta delle OEM n Nel 1885 Hertz scoprì sperimentalmente le OEM, aprendo la strada all’invenzione della radio, confermando così le geniali intuizioni di Maxwell, inclusa la natura elettromagnetica della luce.

Conclusioni. n n n La maggior parte dei turisti che visitano l’abbazia di Westminster, vanno a trovare la tomba di Newton. Pochi vanno a visitare il cenotafio di Maxwell, che si trova nella stessa abbazia, sebbene la genialità di Maxwell non sia inferiore a quella di Newton. Se visitate l’abbazia di Westminster, andate a trovare il cenotafio di Maxwell!