Le dbat scientifique en classe un exemple concret

Le débat scientifique en classe un exemple concret en cours de maths (niveau BAC) Julien Douady enseignant-chercheur (sc. physiques) et conseiller pédagogique Université J. Fourier, Grenoble (France) julien. douady@ujf-grenoble. fr Atelier de formation – École Polytechnique de Montréal – jeudi 26 février

2 / 37 Titre original : « dépoussiérons l’enseignement… »

3 / 37 Les étapes de l’atelier 1) Le débat scientifique a) deux modes cognitifs fondamentaux b) la place et les objectifs du débat 2) L’exemple des intégrales (calcul de surface ou volume) a) vivre la situation en tant qu’apprenant b) découvrir la puissance du dispositif 3) Comment procéder demain ? a) les points cruciaux pour réussir un débat b) une méthodologie pour la préparation

4 / 37 Les étapes de l’atelier 1) Le débat scientifique a) deux modes cognitifs fondamentaux b) la place et les objectifs du débat 2) L’exemple des intégrales (calcul de surface ou volume) a) vivre la situation en tant qu’apprenant b) découvrir la puissance du dispositif 3) Comment procéder demain ? a) les points cruciaux pour réussir un débat b) une méthodologie pour la préparation

5 / 37 Le débat scientifique deux modes cognitifs fondamentaux : des rôles différents Le mode magistral Le mode (socio-)constructiviste Le professeur montre-démontre-explique tout de manière cohérente cherche à problématiser un savoir qu’il juge essentiel Les étudiants doivent comprendre le discours et la logique du professeur : auditeur Logique de l’explication doivent rentrer dans une problématique commune : auteur Logique de la problématisation

6 / 37 Le débat scientifique deux modes cognitifs fondamentaux : forces et faiblesses Le mode magistral Le mode (socio-)constructiviste Forces et dynamique • Discours à la fois rigoureux, cohérent, exhaustif • Rassurant pour l’enseignant • Économe en temps • Doute, incertitude de l’auteur • Prise d’initiative, responsabilité engagée par les étudiants • Richesse et diversité des points de vue exprimés Faiblesses et limites • Passivité de l’auditoire • Impuissance face à des concepts ardus (obstacles épistémologiques) • Difficulté à donner du sens profond (à quoi ça sert tout ça ? ) • Coût élevé en temps • Prise de risque pour l’enseignant • Improbable capacité à faire émerger des savoirs complets, justes et bien ordonnés

7 / 37 Le débat scientifique les objectifs du débat Objectifs du débat scientifique = créer du sens • en générant du doute, en faisant ressurgir les contradictions • en autorisant des rapprochements abusifs • en engageant une responsabilité d’opinion Attention : les étudiants ne construisent pas le savoir mais ils : • s’associent à une problématique commune • construisent du sens • développent de l’intérêt pour les savoirs que le professeur va leur enseigner

8 / 37 Le débat scientifique la place du débat Les deux modes sont opposés et complémentaires Le mode magistral Enseigner des méthodes, des techniques opératoires… Le mode (socio-)constructiviste Enseigner des concepts fondamentaux, des notions difficiles… Un débat se termine par une phase magistrale où l’enseignant • met de l’ordre dans les idées • apporte le contenu qui fait défaut • fait émerger le sens lié à la problématique L’alternance entre les deux modes doit respecter leurs dynamiques propres

9 / 37 Les étapes de l’atelier 1) Le débat scientifique a) deux modes cognitifs fondamentaux b) la place et les objectifs du débat 2) L’exemple des intégrales (calcul de surface ou volume) a) vivre la situation en tant qu’apprenant b) découvrir la puissance du dispositif 3) Comment procéder demain ? a) les points cruciaux pour réussir un débat b) une méthodologie pour la préparation

10 / 37 Exemple des intégrales règles du jeu • 1ère phase = débat privé (quelques minutes) vous pouvez discuter (du sujet) avec qui vous voulez. . . dans le but de vous forger une opinion personnelle • un vote vous déterminez personnellement en fonction des réponses proposées, en étant capable de justifier votre choix • 2ème phase = débat public vous défendez votre point de vue en donnant vos arguments à vos collègues (et non à moi), pour les convaincre. Le débat privé est alors interdit, tout comme la critique. . .

11 / 37 Exemple des intégrales la consigne • Vous avez 3 propositions à examiner • Pour chacune d’elles, vous devez vous positionner en étant capable de justifier votre choix… q OK (j’adopte cette démonstration) q NON (je refuse ce raisonnement) q Autre (vraiment impossible de choisir OK ou NON)

12 / 37 Situation n° 1 Pour calculer le volume V d’une sphère de rayon R, on la découpe en tranches élémentaires parallèles au plan (x. Oy). z Le volume d. V d’une tranche de petite épaisseur dz située à l’altitude z est donnée par : r dz z Le volume total V est donc R O r(z) y x OK NON Autre

13 / 37 Situation n° 2 Pour calculer l'aire latérale du cylindre de rayon R et de hauteur H, on découpe de même en tranches élémentaires parallèles au plan (x. Oy). z L'aire latérale d. S d'une tranche de petite épaisseur dz située à l'altitude z est : H R dz L'aire totale est donc donnée par : (z) z O OK NON Autre x y

14 / 37 Situation n° 3 Pour calculer le volume V de la sphère de rayon R, on peut aussi découper la demi -sphère supérieure en n tranches de même épaisseur Δz. Le volume ΔVi de la tranche Ci située à l’altitude zi est donné par : z Comme R ri zi Δz on a donc (par passage à la limite) y O Le volume total V est donc OK x NON Autre

15 / 37 Situation n° 4 z En suivant une procédure analogue, pour calculer l'aire latérale d'un cône de hauteur H et de base circulaire de rayon R, on peut découper le cône en tranches élémentaires parallèles à (x. Oy). H r(z) dz z L'aire latérale d. S d’une tranche de petite épaisseur dz située à l’altitude z est celle du cylindre de rayon r(z) correspondant : O Par Thalès, on obtient y H-z L'aire latérale totale S est donc z r(z) R On retrouve ainsi que : l'aire latérale du cône est la moitié de l'aire latérale du cylindre (même base et même hauteur) OK NON x Autre

16 / 37 Institutionnalisation autour des procédures infinitésimales La procédure infinitésimale est pertinente pour évaluer une grandeur G d'un objet Ω �longueur �aire �volume �masse �travail �potentiel �etc. . . Ω z l(z) dont le calcul ne peut pas se faire simplement car G dépend d’un paramètre qui varie dans l’objet.

17 / 37 La procédure infinitésimale est inutile si le paramètre ne varie pas (cylindre) ! Ω l

18 / 37 Philosophie de la procédure infinitésimale : • découper Ω en tranches Ωi “assez fines” pour que, Ωi sur chaque tranche, le paramètre gênant ne varie quasiment plus h li • le calcul partiel de Gi sur chaque tranche est facile G i = li · h • le résultat global est la somme des parties G = ∑ Gi

19 / 37 Dans la pratique : • le professeur choisit un paramétrage astucieux • il considère la tranche ∆Ω ou dΩ, d’épaisseur ∆z ou dz, il appelle ∆G ou d. G le résultat correspondant • les symboles d ou ∆ sont accompagnés des mots magiques « petit » ou « infiniment petit » Et ensuite… • d. G = f(z)·dz où f(z) est une fonction qu’on « arrive à calculer » • on passe de ∑ d. G à ∫ f(z)·dz puis à G = F(b) - F(a) même si cela tend à montrer que 1 = 0 (évitons paradoxes et contradictions)

20 / 37 1 er paradoxe disparition des ennuis = disparition de matière ! • Si l’épaisseur de la tranche est nulle : �le paramètre ne varie plus �il n’y a plus de matière “que vaut une somme infinie de riens ? ? ? ” • Si l’épaisseur de la tranche est non nulle : �le paramètre varie toujours un peu �le calcul exact sur la tranche redevient impossible sauf si la procédure est inutile. . .

21 / 37 1 er paradoxe ce qui n’est jamais dit… • L’épaisseur de la tranche est non nulle • Gi reste incalculable • On prend un modèle Mi qui facilite le calcul Δz f(z)

22 / 37 1 er paradoxe comment s’en sortir ? • Par honnêteté, on reconnaît que GMi ≠ Gi Réel Découpage Modèle • Il se crée sur chaque tranche une erreur de mesure

23 / 37 2 nd paradoxe disparition de l’erreur = disparition de la mesure ! Pour avoir sur chaque tranche. . . on les rend de plus en plus fines : Dès lors tout devient infiniment petit ! l'erreur et le résultat local

24 / 37 2 nd paradoxe ce qui n’est jamais dit… Comme et on aura donc La méthode n’est utile que si

25 / 37 2 nd paradoxe comment s’en sortir ? • Si l’erreur est du 1 er ordre : εi = Δz = H/n alors erreur globale incompressible • Si l’erreur est du 2 nd ordre : εi = Δz² = H²/n² alors erreur globale nulle en passant à la limite • En général, sur chaque tranche, il faut : GMi >> εi

26 / 37 Synthèse validité de la procédure infinitésimale si on parvient à écrire : Gi = f(z) x Δz + ε(Δz) et si l’erreur est du 2 nd ordre : ε(Δz) < Cste x (Δz)² alors la théorie nous assure que : égalité « absolue » ! sinon, on fait n’importe quoi !

27 / 37 Retour sur les situations examinées Situation 1 : aucune vérification, on est chanceux Situation 2 : aucun paramètre variable, inutile Situation 3 : vérification faite, on est certain L'erreur (∆z) est majorée par la différence de volume des cylindres de hauteur ∆z et de rayons respectifs r(z+ ∆z) et r(z) donc du second ordre : (∆z ) ≤ Cste · (∆z)2

28 / 37 Retour sur les situations examinées Situation 4 : aucune vérification, foutaise ! L'erreur commise est de l'ordre de 2 R ( l - z) < z·[ 2 R · (1/cos( ) – 1)] donc de l'ordre de z (si ≠ 0) R

29 / 37 Les étapes de l’atelier 1) Le débat scientifique a) deux modes cognitifs fondamentaux b) la place et les objectifs du débat 2) L’exemple des intégrales (calcul de surface ou volume) a) vivre la situation en tant qu’apprenant b) découvrir la puissance du dispositif 3) Comment procéder demain ? a) les points cruciaux pour réussir un débat b) une méthodologie pour la préparation

30 / 37 Les étapes de l’atelier 1) Le débat scientifique a) deux modes cognitifs fondamentaux b) la place et les objectifs du débat 2) L’exemple des intégrales (calcul de surface ou volume) a) vivre la situation en tant qu’apprenant b) découvrir la puissance du dispositif 3) Comment procéder demain ? a) les points cruciaux pour réussir un débat b) une méthodologie pour la préparation

31 / 37 Comment procéder demain ? les points cruciaux pour réussir un débat Quatre ingrédients essentiels • • objectif du cours : consistance épistémologique situation proposée : pertinente et polémique débat : dévolution de responsabilité, neutralité institutionnalisation : contextualisée et percutante

32 / 37 Comment procéder demain ? la consistance épistémologique : avec ou sans ? • Une situation sans consistance épistémologique « Quelle est l’aire de ce parallélogramme ? » 3 m 4 m θ A = 12 x sin(θ) (en m²) • Une situation avec consistance épistémologique « Quelle est l’aire de ce parallélogramme ? » 3 m 4 m A = 12 m²

33 / 37 Comment procéder demain ? la consistance épistémologique - suite Ici, la consistance épistémologique consiste à imaginer, à partir de la situation proposée, d’autres situations possibles : Situations cruciales

34 / 37 Comment procéder demain ? la gestion du débat Pendant le débat, le professeur doit absolument : • • laisser assez de temps pour l’appropriation assurer la dévolution du problème noter et reformuler les opinions sans les déformer rester neutre vis-à-vis des arguments exprimés aplanir les difficultés « secondaires et bruyantes » faire ressortir les opinions divergentes et incompatibles épingler intérieurement les arguments-clés qui serviront dans son institutionnalisation

35 / 37 Comment procéder demain ? l’institutionnalisation : étape clé ! L’institutionnalisation est l’étape la plus difficile ; elle doit : • réorganiser les propos exprimés pour en faire un ensemble construit et cohérent • s’appuyer sur les idées émises, et renvoyer aux questions débattues • apporter les concepts manquants • ne pas éviter l’obstacle épistémologique • éviter tout jugement sur les opinions : « nos tâtonnements ont permis de franchir une étape » « contextualisée » et « percutante »

36 / 37 Comment procéder demain ? une méthodologie pour la préparation Un canevas temporel robuste pour préparer un débat • Avant : ▫ identifier un obstacle épistémologique et une situation pertinente ▫ tester la situation auprès de collègues issus d’autres domaines ▫ imaginer toutes les réponses possibles pour ne pas être pris au dépourvu • Pendant : ▫ ▫ ▫ Présenter clairement le nouveau contrat 1ère phase = débat privé (10 -15 min) : dévolution du problème le vote : permet la prise de responsabilité 2ème phase = débat public (20 -60 min) : confrontation des idées 3ème phase = institutionnalisation (10 min) : réorganisation des savoirs Les premières fois, sollicitez un collègue ou un conseiller pour vous observer

37 / 37 Merci pour votre attention avez-vous des réactions / des questions ? Le diaporama et le « mémento » sont disponibles sur le site du BAP : http: //www. polymtl. ca/bap/doc/index. php julien. douady@ujf-grenoble. fr