Landasan Matematika Untuk Kriptografi Bahan kuliah ke3 IF

Landasan Matematika Untuk Kriptografi Bahan kuliah ke-3 IF 5054 Kriptografi Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 1

Pendahuluan n Perlu latar belakang matematika untuk memahami kriptografi. n Materi matematika yang utama untuk kriptografi adalah matematika diskrit. Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 2

Materi Matematika untuk Kriptografi: 1. 2. 3. 4. Relasi dan Fungsi Teori Bilangan - Integer dan sifat 2 pembagian - Algoritma Euclidean - Aritmetika modulo - Bilangan prima Kombinatorial Probabilitas dan Statistik Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 3

5. 6. 7. n n Kompleksitas algoritma Teori informasi Aljabar Abstrak (field, ring, group, Galois field) No. 1 s/d 5 sudah dipelajari di kuliah Matematika Diskrit dan Probabilitas dan Statistik Nomor 6 dan 7 Tidak akan diulang lagi di dalam kuliah ini Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 4

Teori Informasi n Mendefinisikan jumlah informasi di dalam pesan sebagai jumlah minimum bit yang dibutuhkan untuk mengkodekan pesan. n Contoh: - 1 bit untuk mengkodekan jenis kelamin - 3 bit untuk mengkodekan nama hari - 4 bit untuk mengkodekan 0 s/d 9 Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 5

n n Entropy: ukuran yang menyatakan jumlah informasi di dalam pesan. Biasanya dinyatakan dalam satuan bit. Entropi berguna untuk memperkirakan jumlah bit rata-rata untuk mengkodekan elemen dari pesan. Contoh: entropi untuk pesan yang menyatakan jenis kelamin = 1 bit, entropi untuk pesan yang menyatakan nama hari = 3 bit Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 6

n Secara umum, entropi pesan dihitung dengan rumus: X = pesan pi = peluang kemunculan simbol ke-i Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 7

n Contoh: pesan X = ‘AABBCBDB’ n = 4 (A, B, C, D) p(A) = 2/8, p(B) = 4/8 p(C) = 1/8, p(D) = 1/8 H(X) = – 2/8 log 2(2/8) – 4/8 log 2(4/8) – 1/8 log 2(1/8) – 1/8 log 2 (1/8) = 14/8 = 1, 75 Berarti setiap simbol dikodekan sebanyak 1, 75 bit Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 8

n Entropi sistem kriptografi adalah ukuran ruang kunci, K. n Misal, sistem kriptografi dengan kunci 64 bit mempunyai entropi 64 bit. n Makin besar entropi, makin sulit memecahkan cipherteks. Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 9

Medan (Field) n Medan adalah himpunan elemen dengan dua jenis operasi, perkalian dan penjumlahan. n Sebuah medan disebut berhingga (finite field) jika himpunannya memiliki jumlah elemen yang berhingga. Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 10

Medan Berhingga Fp n Fp adalah himpunan bilangan bulat {0, 1, 2, …, p – 1} dengan p prima dan operasi aritmetika sbb: 1. Penjumlahan Jika a, b Fp, maka a + b = r r adalah sisa hasil pembagian a + b dengan p 0 r p-1 Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 11

2. Perkalian Jika a, b Fp, maka a b = s s adalah sisa hasil pembagian a b dengan p 0 r p-1 Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 12

Contoh: F 23 mempunyai anggota {0, 1, 2, …, 22}. Contoh operasi aritmetika: 12 + 20 = 9 (karena 32 mod 23 = 9) 8 9 = 3 (karena 72 mod 23 = 3) Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 13

Medan Galois (Galois Field) n n n Medan Galois adalah medan berhingga dengan pn elemen, p adalah bilangan prima dan n 1. Notasi: GF(pn) Kasus paling sederhana: bila n = 1 GF(p) dimana elemen-elemennya dinyatakan di dalam himpunan {0, 1, 2, …, p – 1} dan operasi penjumlahan dan perkalian dilakukan dalam modulus p. Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 14

GF(2): + 0 0 1 GF(3): + 0 0 1 2 1 0 1 0 1 2 0 1 2 0 1 0 0 01 0 1 2 0 0 0 Rinaldi Munir/IF 5054 Kriptografi 0 1 2 0 2 1 15