LAnalyse de Variance 2 1 LANOVA 2 fixe

L’Analyse de Variance 2 1. L’ANOVA 2 fixe à r répétitions 2. L’ANOVA 2 sans répétition

L’Analyse de Variance 2 Les plans d’expérience de l’ANOVA 2 : comparaison de pq moyennes Objectifs : tester les effets sur la variable Y • du facteur A (p modalités) • du facteur B (q modalités) • de l’interaction Ax. B

L’Analyse de Variance 2 Les plans d’expérience de l’ANOVA 2 Plans à facteurs croisés B 1 B 2 … Bj … Bq A 1 y 112 … Ai … Ap yijk nij mesures par case Ex : A : souche, B : température, Y : rythme cardiaque

L’Analyse de Variance 2 Les plans d’expérience de l’ANOVA 2 * A et B fixe : plan fixe * A et B aléatoires : plan aléatoire * A ou B aléatoire : plan mixte * nij = 1 : ANOVA 2 sans répétition * nij = r constant : ANOVA 2 avec nombre égal de répétitions * nij = variable : ANOVA 2 avec nombre inégal de répétitions

L’Analyse de Variance 2 Les plans d’expérience de l’ANOVA 2 Notion d’interaction Interaction : B a un effet différent suivant la modalité de A considérée (ou réciproquement) Ex : souche A : le rythme cardiaque augmente quand t° augmente souche B : reste stable souche C : diminue L’interaction peut masquer un effet principal

L’Analyse de Variance 2 Les plans d’expérience de l’ANOVA 2 Graphiquement y y 15 18 21 24 27 30 Pas d’interaction 15 Conséquence les effets principaux ne peuvent être étudiés qu’en tenant compte de l’interaction

L’ANOVA 2 fixe à r répétitions 1. Données et notations 1≤i≤p; 1≤j≤q; 1≤k≤r B 1 B 2 … Bj … Bq A 1 y 112 n 11 … y 11 k T 11. … y 11 r A 2 … Ai Ap n. 1 T. 1. yijk n 1. T 1. . … nij Tij. ni. Ti. . n. j T. j. N T

L’ANOVA 2 fixe à r répétitions 2. Modèle et décomposition de la variation Yijk = m + ai + bj + gij + eijk m : moyenne ai : effet de la ième modalité de A bj : effet de la jème modalité de B gij : effet de l’interaction dans la ijème case eijk : erreur : N(0, s) : à tester! SCET = SCEA + SCEB + SCEAx. B + SCER

L’ANOVA 2 fixe à r répétitions 3. Calculs pratiques

L’ANOVA 2 fixe à r répétitions 4. Tableau d’ANOVA SV SCE ddl CM F A SCEA p-1 CMA FA = CMA/CMR B SCEB q-1 CMB FB = CMB/CMR Ax. B SCEAx. B (p-1)(q-1) CMAx. B FAx. B = CMAx. B/CMR R SCER pq(r-1) CMR T SCET pqr-1

L’ANOVA 2 fixe à r répétitions 4. Tests de l’ANOVA 2 Ho : gij = 0 Ho : ai = 0 Ho : bj = 0

L’ANOVA 2 fixe à r répétitions 5. Sélection de modèles dans l’ANOVA 2 Partir du modèle le plus complexe: Interaction S : Yijk = m + ai + bj + gij + eijk Interaction NS, A et B S : Yijk = m + ai + bj + eijk Interaction et B NS, A S : Yijk = m + ai + eijk Interaction et A NS, B S : Yijk = m + bj + eijk Interaction, A et B NS : Yijk = m + eijk

L’ANOVA 2 sans répétition 1. Le modèle r = 1. Dans le cas du modèle fixe : Yij = m + ai + bj + gij + eij Décomposition : A B Ax. B e=0 Pas d’estimation de la variance intra-case = résiduelle Ou : Les variances résiduelle et d’interaction sont confondues.

L’ANOVA 2 sans répétition 3. Exemple rendement agricole en fonction du sol et de la variété nij = 1

L’ANOVA 2 sans répétition 3. Exemple analyse graphique de l’interaction

L’ANOVA 2 sans répétition 3. Exemple SV SCE ddl CM F sol 186 2 93 15, 5 variété 54 2 27 4, 5 R 24 4 6 T 264 8