LAnalisi della Varianza ANOVA ANalysis Of VAriance 1

L’Analisi della Varianza ANOVA (ANalysis Of VAriance) 1

Concetti generali (1/3): • Confronto simultaneo tra più di due popolazioni, esempi. . . • La analisi della varianza estende il confronto a p gruppi con p>2. 2

Concetti generali (2/3) • Fattore: variabile utilizzata per differenziare un gruppo da un altro gruppo. • Livello (o trattamento): uno dei possibili valori/stati/caratteristiche il fattore può assumere • Variabile risposta: variabile quantitativa oggetto dello studio Esempio: Si vuole verificare se la razza dei vitelli (FATTORE) considerando tre razze (LIVELLI) influenza il peso (VARIABILE RISPOSTA) di 20 vitelli : bovini Razza 1 Razza 2 Razza 3 1 63, 3 72, 8 82, 3 2 . . . 20 . . . 3

Il disegno completamente randomizzato §E’ il disegno sperimentale più semplice §Si utilizza quando si considera un solo fattore sperimentale a più livelli. §I trattamenti/livelli sono assegnati alle unità sperimentali in modo casuale (randomizzazione). §Se il numero di repliche è uguale per tutti i trattamenti il disegno è detto bilanciato (preferibile), altrimenti è detto sbilanciato. 4

Concetti generali (3/3) In genere i livelli o gruppi possono essere non solo numerici ma anche qualitativi. I fattori che definiscono i gruppi possono essere più di uno. Con un solo fattore analisi della varianza ad un fattore o ad una via Con due (o più) fattori analisi della varianza a due ( o più) fattori o a due vie (o più vie) 5

Predisposizione dei dati Fattore repliche 1 2 . . . i 1 y 11 y 21 . . yi 1 yp 1 2 y 12 y 22 . . yi 2 yp 2 . . . y 1 j y 2 j . . yij ypj Yin(i) Ypn(i) J . . . ni Medie Y 1 n (i) . . p . . Y 2 n(i) . . . . 6

ESEMPIO: peso di 20 vitelli 7

Il modello lineare: 8

Il modello lineare Il modello può essere rappresentato in questa forma: Yij = + αi + εij • con μ media di tutte le popolazioni rappresentate nell’esperimento • αi = μ − μi effetto dell’i-esimo trattamento/livello Generalmente si assume: • i = 1, . . . , p (p numero dei livelli) • j = 1, . . . , ni (ni numero di repliche all’interno di un livello) • nt= n. ro totale di osservazioni Se il disegno è bilanciato, n 1 = n 2 =. . . = np 9

IDEA DI FONDO: Scomposizione della variabilità totale Variabilità all’interno dei gruppi (SSE) errore sperimentale Variabilità tra i gruppi (SSA) effetti del trattamento/livello Si ha che: SST = SSA + SSE 10

Come fare inferenza Assumendo che i p gruppi (popolazioni) da cui vengono estratte casualmente le osservazioni siano distribuiti normalmente e abbiano uguali varianze, l’ipotesi sottoposta a verifica è: H 0: 1 = 2 = … = p oppure H 0 : α i = 0 HA: non tutte le i sono uguali 11

Come costruire il test? Il test è basato sulle seguenti considerazioni: • Se è vera l’ipotesi nulla, i dati differiscono tra loro per il solo effetto della variabilità casuale. • Se invece è vera l’ipotesi alternativa (quindi rifiuto l’H 0), entrambe le fonti di variabilità contribuiscono a determinare la variabilità complessiva. • Il test è quindi basato sull’analisi della variabilità complessiva in funzione delle diverse cause (da cui il termine Analisi della Varianza). 12

Scomposizione della variabilità totale La VARIABILITA’ TOTALE è descritta dalla SST: Devianza totale: 13

Scomposizione della variabilità totale La VARIABILITA’ TRA I GRUPPI è descritta dalla SSA (devianza tra i gruppi) Devianza tra i gruppi: FORMULA CALCOLATORIA: 14

Scomposizione della variabilità totale La VARIABILITA’ NEI GRUPPI (o ENTRO I GRUPPI) è descritta dalla SSE: devianza entro i gruppi Devianza entro i gruppi: FORMULA CALCOLATORIA

Cosa ci aspettiamo? • Se l’ipotesi nulla è vera, ci possiamo attendere uno scarso contributo della devianza tra gruppi alla devianza totale. • Sell’ipotesi nulla è falsa, ci possiamo attendere che entrambe le devianze contribuiscano a determinare la devianza totale. • A questo livello non è però possibile fare confronti, perchè le devianze hanno un numero di addendi diverso. • Dobbiamo quindi rendere confrontabili le devianze. . 16

I gradi di libertà Ad ognuna delle devianze sono associati i gradi di libertà: • la devianza totale ha nt − 1 gradi di libertà • la devianza tra gruppi ha p − 1 gradi di libertà • la devianza entro i gruppi ha nt - p gradi di libertà Dividendo ciascuna devianza per i rispettivi gradi di libertà si ottengono le VARIANZE, cioè le medie dei quadrati: Varianza tra i gruppi Varianza entro i gruppi 17

Test F per la ANOVA a un fattore Per verificare l’ipotesi di uguaglianza delle medie utilizzo il test F che confronta MSA e MSE. Il test F segue una distribuzione F di Fisher con (p-1, nt-p) gradi di libertà. La regola decisionale è: Rifiuto H 0 se F>Fα 18

Test F per la ANOVA a un fattore Il valore critico della F viene determinato in funzione del livello di significatività a del test. I valori critici si individuano nelle tavole della distribuzione F in base ai gradi di libertà e al livello di significatività scelto Se H 0 è falsa ci aspettiamo che F assuma valori maggiori rispetto ai valori tabulati nella tavola della F la variabilità totale è dovuta soprattutto all’effetto del trattamento/fattore. Se H 0 è vera ci aspettiamo che il valore osservato di F sia minore al 19 valore tabulato.

Test F per la ANOVA a un fattore I risultati del test F per la ANOVA a un fattore vengono sintetizzati in una tabella come quella seguente: 20

Esempio: Peso dei vitelli di 3 razze diverse: Output di excel: 21