Lagrange punten Oberonseminarie Goethals Ivan 12042003 Wat zijn

Lagrange punten • Oberonseminarie • Goethals Ivan 12/04/2003

Wat zijn Lagrange punten Neem twee groterende massa’s (bvb. Aarde/zon). Men kan aantonen dat er vijf punten zijn waar een derde kleine massa relatief in evenwicht is ten opzichte van de twee grote massa’s.

Iets over planeetbanen • De planeten bewegen op ellipsvormige banen met de zon in één van de brandpunten • Hoe verder van de zon, hoe langer de omloopstijd • In dit praatje: cirkelvormige banen

Absoluut en relatief assenstelsel • We beschouwen een absoluut assenstelsel (onveranderlijk) • … en een relatief assenstelsel (verankerd aan de as aarde-zon)

Schijnkrachten Bij overgang naar het relatieve stelsel wordt de rotatie omgezet in een schijnkracht, de zogenaamde centrifugale kracht. Op een stabiele cirkelbaan zijn kracht en schijnkracht precies gelijk kracht Schijnkracht

Schijnkrachten kracht Draait een planeet te snel voor haar baan, dan is de kracht kleiner dan de schijnkracht en wordt de planeet hoger gedwongen Schijnkracht Draait een planeet te traag voor haar baan, dan is de kracht groter dan de schijnkracht en wordt de planeet lager gedwongen kracht Schijnkracht

L 1 en L 2 Punten L 1 en L 2 bewegen met een zelfde omloopsperiode als de aarde. L 1 draait dus eigenlijk te traag L 2 draait dus eigenlijk te snel

L 1 en L 2 intuïtief • L 1 draait te traag en dreigt in de zon te vallen, maar de extra aantrekking van de aarde lost het tekort aan schijnkracht op. • L 2 draait te snel en dreigt weggeslingerd te worden, maar de extra aantrekking van de aarde lost het tekort aan gravitatiekracht op L 1 L 2

L 1 en L 2 wiskundig • Men kan bewijzen dat voor een constante omloopsperiode T, voor een punt op een afstand r van de zon, de schijnkracht gegeven wordt door: Fschijn = (4 2 m/T) r. • De aantrekkingskracht van de zon wordt gegeven door: Fgravitatie = GMm/r 2

L 1 en L 2 wiskundig kracht Schijnkracht Fschijn = (4 2 m/T)r Fgravitatie = GMm/r 2 De baan van het object bevindt zich op het snijpunt van beide curves

L 1 en L 2 wiskundig Onder invloed van de extra gravitatie van de aarde onstaan L 1 en L 2

L 3 volgens hetzelfde principe L 1 L 3 L 2

L 4 en L 5 zijn intuïtief veel moeilijke te begrijpen. Eigenlijk is een grondige wiskundige afleiding nodig. We doen toch een poging. . .

L 4 en L 5 In werkelijkheid draait de aarde niet rond de zon, maar rond het massa -middelpunt van het aarde-zon systeem. Dit massamiddelpunt zich echter zeer dicht bij de zon (onder het oppervlak).

L 4 en L 5 Je verwacht dat de invloed van het weinig verplaatsen van het rotatiecentrum weinig invloed heeft, hetgeen ook het geval is voor L 1, L 2 en L 3. MAAR. . . , voor L 4 en L 5 is deze verplaatsing zeer belangrijk.

L 4 en L 5 Schijnkracht Je kan bewijzen dat op het bovenste punt van deze gelijkbenige driehoek de som van de twee gele krachtvectoren exact gelijk is aan de inverse van de schijnkracht. Dit geldt voor alle mogelijke massaverdelingen.

Stabiliteit van Lagrangepunten We weten nu dat er evenwichtspunten zijn in het zonnestelsel. De vraag is echter of deze punten stabiel zijn. Men kan aantonen dat L 4 en L 5 stabiel zijn. L 1, L 2 en L 3 niet. . .

Elliptische banen De banen in ons zonnestelsel zijn ellipsvormis. Men kan bewijzen dat ook voor elliptische banen de Lagrangepunten blijven bestaat

Banen rond Lagrangepunten. . . Verscheidene stabiele banen zijn mogelijk door het bestaan van Lagrangepunten. Er zijn de banen rond L 4 en L 5 afzonderlijk, en ook lange termijn banen rond zowel L 4 als L 5 waar ingevangen hemellichamen redelijk lang kunnen vertoeven. Tweede maantje van de aarde, Cruithne, met een omloopstijd van 770 jaar.

Lagrangepunten en ruimtevaart • Lagrangepunten gedragen zich voor een ruimtetuig eigenlijk net zo als een planeet. Een tuig kan er rond cirkelen, en er op landen (stil liggen op het Lagrange punt). • Ruimtetuigen in Lagrangepunten hebben geen last van atmosferische storingen, hetgeen deze punten ideaal maakt voor observatoria.

Ruimtevaart verleden • Het U. S. -European Solar and Heliospheric Observatory (SOHO) bevindt zich op dit moment in L 1 en doet van daaruit zonne-observaties. • Het U. S. Advanced Composition Explorer bevindt zich eveneens in L 1 ter studie van de zonnewind. L 1 L 2 • NASA's International Sun-Earth Explorer 3 werd reeds in 1978 in L 1 geplaatst.

Ruimtevaart toekomst • NASA's Next Generation Space Telescope zal in L 2 geplaatst worden. Daar bevindt het zich steeds in de schaduw van de aarde L 1 L 2 • Verscheidene ruimtetuigen zullen de komende jaren naar Lagrangepunten vertrekken. • Zelfs clusters van satellieten worden gepland (zoals voor Interferometrie)

Conclusie • Door het samenspel van gravitatie en de rotatie van hemellichamen ontstaan evenwichtspunten in het zonnestelsel • 2 van deze punten zijn stabiel. De overigen zijn onstabiel. • Lagrangepunten zijn zeer belangrijk voor de ruimtevaart.