Laddizione e la sottrazione nellInsieme N dei numeri

L’addizione e la sottrazione nell'Insieme N dei numeri naturali Proprietà Struttura in N

Impareremo a … Ü Conoscere e comprendere il concetto di operazione aritmetica Ü Conoscere e comprendere le operazioni di addizione e sottrazione Ü Conoscere e comprendere come esse sono strutturate nell'insieme N: le loro proprietà, il "comportamento", gli elementi neutri Ü Lo 0 nelle due operazioni 2

Cos'è un'operazione aritmetica? Ü Eseguiamo una piccola operazione 2+3=5 Abbiamo operato su due numeri, 2 e 3, con un certo procedimento che ci ha permesso di arrivare a un terzo numero, il 5. Il procedimento in questo caso è indicato dal simbolo + 3

Diciamo che L'operazione aritmetica è un procedimento che ci permette di associare a due numeri dati in un certo ordine, un terzo numero che rispetti certe condizioni. Ü I due numeri dati si dicono termini dell'operazione, il numero a cui si perviene si dice risultato dell'operazione. Ü 4

Addizione in N Ü Operazione e termini Ü Procedimento Ü Definizione addizione Ü Operazione interna Ü Commutativa Ü Associativa Ü Dissociativa Ü Elemento neutro 5

Operazione e suoi termini Ü Eseguiamo delle piccole addizioni considerando elementi appartenenti ad N, cioè numeri naturali 10+5=15 8+8=16 5+2=7 addendi somma 6

Procedimento Ü Quale procedimento ci permette di ottenere le somme, cioè i risultati delle addizioni? Ü Si tratta di porsi, nel primo esempio, la domanda: dal numero 10 come arriviamo al numero 15? Ü Ma, dal 10 si arriva al 15 … contando! Ü E precisamente dal numero 10 contiamo tante unità quante sono indicate dal secondo addendo, il 7

Definizione di addizione Ü L’addizione è dunque l’operazione aritmetica che ci permette di associare due numeri detti addendi ad un terzo numero detto somma, al quale si arriva (o si perviene), contando successivamente al primo addendo tante unità quante sono le unità del secondo. 8

Operazione interna Eseguendo un'addizione con numeri naturali qualsiasi, notiamo che i risultati sono ancora dei numeri naturali, cioè elementi di N. In generale: " a, b ÎN a+b=c c ÎN Questo ci fa dire che l'addizione è un’operazione INTERNA ad N. L’insieme N è chiuso rispetto all’addizione. N In un 8 + 8 = 16 5 + 2 = 7 diagramma di Eulero-Venn: 7 + 4 = 11 4+1=5 15 + 5 = 20 10 + 5 = 154 + 4 = 8 9

Le proprietà: l'addizione è commutativa 5+6=11 6+5=11 In generale, il linguaggio degli insiemi ci aiuta nella sintesi, " a, b ÎN a+b = b+a 10

l'addizione è associativa 4+5+3=12 associo il 4 con il 5 (4+5) + 3 = 9 + 3 = 12 È la proprietà associativa " a, b, c Î N a+b+c = (a+b)+c = = a+(b+c) 11

Gode della proprietà dissociativa 3 + 25 = 28 3 + 20+ 5 = 28 ho dissociato l'addendo 25 Questa è la proprietà dissociativa " a, b, c, d Î N a+b = a+(c+d) con (c+d)=b 12

Ha l'elemento neutro 6+5+0 = 11 8+9+5+0= 22 11+5+4+0+2+3 = 25 25 Ü Noto 6+5 = 11 8+9+5 = 22 11+5+4+2+3 = che quando lo zero appare come addendo, non modifica il risultato dell’addizione Ü Lo zero è perciò chiamato elemento neutro dell’addizione 13

La sottrazione Ü Procediamo come per l’addizione … 10 – 8 = 2 minuendo sottraendo differenza (o resto) 14

Procedimento Ü Quale procedimento ci permette di ottenere le la differenza, cioè il risultato della sottrazione? Ü Dal numero 10 come arriviamo al numero 2? Ü Considera: c’è un legame tra addizione e sottrazione? 10 -8=2 2+8=10 e anche 10 -2=8 8+2=10 La sottrazione è l’operazione inversa 15

Definizione della sottrazione Ü Il numero 2 dunque è quel numero che sommato al numero 8 ci fa ottenere il 10! Perciò: La sottrazione è l’operazione aritmetica che ci permette di associare due numeri detti rispettivamente minuendo e sottraendo, ad un terzo numero, se esiste (in N), detto differenza o resto, che addizionato al sottraendo dia 16

Operazione interna? Rappresentiamo l’operazione di sottrazione con un diagramma di Eulero-Venn N 8 – 8 = 0 5 – 2 = 3 10 – 15 = 7– 4=3 15 – 5 = 10 3 – 7 = ? ? Ci accorgiamo che non sempre è possibile eseguire l’operazione restando in N. La sottrazione non è un’operazione INTERNA ad N: il risultato non sempre appartiene a N. L’insieme N non è chiuso rispetto alla sottrazione 17

Le proprietà: la sottrazione non è commutativa 9 -6=3 6 -9≠ 3 In generale " a, b ÎN a-b ≠ b-a 18

Gode della proprietà invariantiva Ü Consideriamo la sottrazione 12 – 7 = 5 Operiamo nel seguente modo: (12+2) – (7+2) = 14 – 9 = 5 E ancora (12 -4) – (7 -4) = 8 – 3 = 5 Il risultato di una sottrazione non cambia se al minuendo e al sottraendo si somma o si sottrae uno stesso numero: è la proprietà invariantiva 19

Brevi considerazioni Ü Non possiamo dire che la sottrazione ha l’elemento neutro poiché anche se 5 -0=5 Essendo falso: 0 -5=5 lo zero non può considerarsi elemento neutro. Ü La sottrazione, come anche le altre operazioni inverse, poiché operazione non interna all’insieme N, ci pone di fronte all’esigenza dell’ampliamento di N, ci porta a conoscere nuovi insiemi 20

E ancora … In generale sulle operazioni: Ü Le proprietà delle operazioni sono importanti, ai fini del nostro studio, per il calcolo. Opportunamente utilizzate ci permettono i calcoli rapidi. Ü Per le operazioni esaminate abbiamo considerato in questa presentazione le caratteristiche più generali. Ü Di particolare interesse è l’osservazione delle tabelle relative alle due operazioni in cui possiamo riconoscere le proprietà o notare che l’aspetto stesso delle tabelle è determinato dalle proprietà delle operazioni. Ü Per lo studio delle altre due operazioni 21