Laboratorio Processi Stocastici Annalisa Pascarella Istituto per le

Laboratorio Processi Stocastici Annalisa Pascarella Istituto per le Applicazioni del Calcolo "M. Picone" Consiglio Nazionale delle Ricerche

Processi di Poisson

Processi di Poisson v. a. indipendenti che rappresentano il tempo intercorrente tra il verificarsi di due eventi consecutivi v. a. che modellizza il tempo di arrivo dell’n-esimo evento. Sotto l’hp che due eventi non accadano simultaneamente si ha che numero eventi che occorrono fino all’istante t; rappresenta un processo di Poisson omogeneo

Processi di Poisson n Il Processo di Poisson è un processo discreto di conteggio, continuo nel tempo n n n è caratterizzato da una funzione N(t), definita per t>0 e detta processo di conteggio che rappresenta il numero degli eventi che si sono verificati nel periodo da 0 a t per t=0 intendiamo il momento in cui cominciamo ad osservare se gli eventi casuali specificati si verificano o meno. Il tempo 0 è il tempo di inizio dell'osservazione, anche se in quel momento non vi è nessun arrivo. N(t) è una v. a. a valori interi come si simula un processo di Poisson?

Simulazione n Dato l’intervallo di tempo in cui voglio simulare il processo di Poisson di parametro l il modo più semplice (ma meno efficiente in Matlab) per simulare tale processo consiste nel campionare le variabili esponenziali Xi, una alla volta e arrestarsi non appena superi l’estremo superiore; poi conto gli eventi occorsi q il processo è interamente descritto dalla sequenza dei tempi di arrivo Si, dal numero di eventi verificatesi tra 0 e gli istanti Si (il numero di eventi è una funzione crescente che incrementa di 1 ogni qual volta si verifica un evento)

Algoritmo n Occorre allora costruire un algoritmo che q q n n genera valori i. i. d. con legge esponenziale assume che quelli generati siano i tempi in cui si verificano gli eventi Un primo modo di simulare è quello in cui si fissa a priori il numero di eventi Altro approccio q q q fissiamo prima un orizzonte temporale T ad esempio 50. generiamo un gran numero di tempi esponenziali osserviamo i tempi in cui si verificano gli eventi fino a T.

Esempio: distribuzione esponenziale Generare numeri distribuiti secondo la legge esponenziale: se i numeri {ui} sono distribuiti secondo la legge uniforme, {F-1(ui)} hanno F come funzione di ripartizione. La variabile X ~exp(l) ha funzione di ripartizione La variabile X può essere ottenuta come trasformazione di una variabile uniforme

Simulazione n Simulare un processo di Poisson nell’intervallo [0, T] con l = 1 e T = 30 q q n memorizzare un vettore S contenente tutti i tempi di arrivo e un vettore N contenente il numero cumulativo di eventi scrivere una function Verificare ripetendo un numero elevato di volte la simulazione del processo di Poisson che la v. a. N(T) ha una distribuzione di Poisson con parametro l q usare la function poisspdf e poisscdf

Simulazione n n Dato l’intervallo di tempo in cui voglio simulare il processo di Poisson di parametro l il modo più semplice (ma meno efficiente in Matlab) per simulare tale processo consiste nel campionare le variabili esponenziali Xi, una alla volta e arrestarsi non appena superi l’estremo superiore; poi conto gli eventi occorsi Simulare un processo di Poisson nell’intervallo [0, T] con l = 1 e T = 30 q q memorizzare un vettore S contenente tutti i tempi di arrivo e un vettore N contenente il numero cumulativo di eventi scrivere una function

Simulazione n Si può dimostrare che condizionando a N(T) = n le n v. a. Sn sono indipendenti e uniformemente distribuite in [0, T]. Si può sfruttare questo fatto per simulare un processo di Poisson nel modo seguente q q q n campionare la variabile N(T) ~ P(l. T) campionare N(T) variabili indipendenti uniformi in [0, T] ordinare i valori ottenuti al punto precedente; i valori cosi ottenuti rappresentano un campionamento delle variabili Sn , n = 1, …, N(t) Utilizzare questo metodo per simulare un processo di Poisson di parametro l = 1 in [0, 30]